高考数学 导数单元测试卷

导数单元测试卷

(满分：150分 时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2

D.e 2

2 答案：D

解析：y ′＝e x ，y ′|x ＝2＝e 2＝k .

∴切线为y －e 2＝e 2(x －2)，y ＝e 2x －e 2的图象与坐标轴围成的图形如图所示．

∵|OA |=1，|OB |=e 2，

∴S △AOB =12×e 2×1=e 2

2

.故选D.

2．(2008·福建文)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是

( )

答案：A

解析：由y =f (x )的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y =f ′(x )的函数值依次为正负正负．由此可排除B 、C 、D.故选A.

3．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是( )

A ．(0，43)

B ．(4

3

，＋∞)

C ．(－∞，0)

D ．(－∞，0)∪(4

3

，＋∞)

答案：A

解析：∵f (x )＝2x 2－x 3，∴f ′(x )＝4x －3x 2，

由f ′(x )>0，得4x －3x 2>0，∴0

3

.故选A.

4．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a g (x ) B ．f (x )

C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )

D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案：C

解析：∵f ′(x )>g ′(x )，∴f ′(x )－g ′(x )>0，∴函数f (x )－g (x )为增函数，又∵a f (a )－g (a )，移项得f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．故选C.

5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋px 2＋qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值＝－4，那么p 、q 的值分别为( )

A ．6,9

B ．9,6

C ．4,2

D ．8,6 答案：A

解析：y ′＝3x 2＋2px ＋q ，令切点为(a,0)，a ≠0，则f (x )＝x (x 2＋px ＋q )＝0有两个不相等实根a,0，(a ≠0)，∴x 2＋px ＋q ＝(x －a )2，∴f (x )＝x (x －a )2，f ′(x )＝(x －a )(3x －a )，令f ′(x )

＝0，得x ＝a 或x ＝a

3

.

当x ＝a 时，f (x )＝0≠－4，∴f (a 3)＝y 极小值＝－4，即4

27a 3＝－4，a ＝－3，∴x 2＋px ＋q ＝

(x ＋3)2，∴p ＝6，q ＝9.故选A.

6．已知x ≥0，y ≥0，x ＋3y ＝9，则x 2y 的最大值为( )

A ．36

B ．18

C ．25

D ．42 答案：A

解析：由x ＋3y ＝9，得y ＝3－x

3

≥0，∴0≤x ≤9.

将y ＝3－x

3，代入u ＝x 2y ，

得u ＝x 2

(3－x 3)＝－x 3

3＋3x 2.

u ′＝－x 2＋6x ＝－x (x －6)．令u ′＝0，得x ＝6或x ＝0. 当00；6

7．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )

①f (x )>0的解集是{x |0

②f (－2)是极小值，f (2)是极大值． ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①② 答案：D

解析：f (x )>0?(2x －x 2)e x >0?2x －x 2>0?02或x <－2，

由f ′(x )>0得－2

∴f (x )的极大值为f (2)，极小值为f (－2)，故②正确．

∵x <－2时，f (x )<0恒成立． ∴f (x )无最小值，但有最大值f (2)． ∴③不正确．故选D.

8．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )

A ．0

B ．0

C ．0

D ．0

解析：f ′(2)、f ′(3)为x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)

3－2，

∴f (3)－f (2)为图象上x 为2和3时对应两点连线的斜率，所以选B.

9．设a ∈R 若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1

C ．a <－1e

D ．a >－1

e

答案：A

解析：函数y ＝e x ＋ax 的导数为y ′＝e x ＋a .

令y ′＝e x ＋a ＝0，显然a ≥0时无解，故可否定B 、D ，由e x ＝－a ， 当a <0时，解得x ＝ln(－a )，

∵x >0，ln(－a )>0，且a <0，∴－a >1.∴a <－1，故选A.

10．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3，或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝3，b ＝－3 D ．以上都不正确 答案：B

解析：f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，令f ′(x )＝0，，得f ′(1)＝0∴3－2a －b ＝0① 又∵f (x )极值＝10，∴f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10即a 2－a －b －9＝0② 由①、②得

a 2＋a －12＝0.∴a ＝3

或a ＝－4，∴????? a ＝3b ＝－3或?????

a ＝－4

b ＝11

.

当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2. 此时x ＝1不是f (x )的极值点，不符合条件，舍去．

当a ＝－4，b ＝11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)可知x ＝1为f (x )的极小值点，符合条件．故选B.

11．设f (x )＝x e －2＋x 2，g (x )＝e x x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，若有f (x 1)k ≤g (x 2)

k ＋1

恒成立，则

正数k 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(0，＋∞)

C ．[1，＋∞) D.???

?1

2e 2－1，＋∞ 答案：C

解析：f (x )＝1

x ＋1e 2

x

，∴x ＝e －1时，f (x )最大．g ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)

x 2.

∴x ＝1为g (x )在(0，＋∞)上的极小值点，也是最小值点． 由题意知，f (e －1)k ≤g (1)k ＋1，即e 2k ≤e

k ＋1.∴k ≥1.故选C.

12．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f

′(x )

的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是

( )

A ．(-∞，1)

B ．(－∞，2)

C ．(0,1)

D ．(1,2)

答案：B

解析：由题意知，x ∈(－∞，2)时，y ≥1.即f ′(x )≥0，x ∈(2，＋∞)时，y ≤1，即f ′(x )<0. ∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．故选B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2009·武汉模拟)函数y ＝x ln(－x )－1的单调减区间是________．

答案：(－1

e

，0)

14．已知原命题：“f (x )在(－∞，＋∞)上可导，且f ′(x )>0，对于任意实数a ，b ，如果a ＋b >0，则f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )．”和该命题的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中正确的命题的个数为________．

答案：4

15．若函数f (x )＝4x

x 2＋1

在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是

________．

答案：(－1,0]

解析：f ′(x )＝4·x 2＋1－x (2x )(x 2＋1)2＝4·1－x 2

(x 2＋1)2.

∴f (x )的单调增区间为[－1,1]． ∴????

?

m ≥－1

2m ＋1≤1?－1m

16．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 答案：6

解析：f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝12＋2f ′(2)． ∴f ′(2)＝－12，∴f ′(5)＝30－24＝6. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3－1

2

x 2＋bx ＋c .

(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；

(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )

当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.

(2)由题意知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.

x ∈[－1,2]时，f (x )

－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－23.∵f (1)＝－3

2

＋c ，

f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝1

2

＋c ，f (2)＝2＋c .

∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c

解得c >2或c <－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直

线x ＋9y ＋5＝0垂直．

(1)求a 、b 的值；

(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．

解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx .

由已知，得????? f (1)＝4，f ′(1)＝9，即?

????

a ＋

b ＝4，

3a ＋2b ＝9.

∴a ＝1，b ＝3.

(2)由(1)知f (x )＝x 3＋3x 2， ∴f ′(x )＝3x (x ＋2)．

令f ′(x )>0，解得x ≤－2或x ≥0，

∴f (x )在区间(－∞，－2]和[0，＋∞)上单调递增．若f (x )在[m －1，m ＋1]上单调递增， 则[m －1，m ＋1]?(－∞，－2]或[m －1，m ＋1]?[0，＋∞)， ∴m ＋1≤－2或m －1≥0. ∴m ≤－3或m ≥1.

∴m 的取值范围是m ≤－3或m ≥1

19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)，其中a ≥－1，求f (x )的单调区

间．

解：由已知，得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1

x ＋1(a ≥－1)．

(1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；

(2)当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1

a .

f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：

f ′(x ) －

0 ＋

f (x )

极小值

从上表可知，

当x ∈(－1，1a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1

a )上单调递减；

当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1

a ，＋∞)上单调递增．

综上所述：

当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．

当a >0时，函数f (x )在(－1，1a )上单调递减，函数f (x )在(1

a ，＋∞)上单调递增．

20．(本小题满分12分)(2009·河北唐山模拟)已知函数f (x )＝[x 2＋(a －4)x －2a ＋5]e x

－

1(a ∈R )．

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)若a ≥1，当x ∈[0,2]时，求f (x )的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2x ＋a －4)e x －1＋[x 2＋(a －4)x －2a ＋5]e x －1＝[x 2＋(a －2)x －a ＋1]e x －1＝[x

＋(a －1)](x －1)e x －1.

①若a ＝0，则f ′(x )＝(x －1)2e x －1≥0(当且仅当x ＝1时取“＝”)，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．

②若a >0，则当x 变化时，f ′(x )的变化如下：

x (－∞，1－a )

1－a (1－a,1) 1 (1，＋∞)

f ′(x )

＋

－

＋

③若a <0，则当x 变化时，f ′(x )的变化如下：

x (－∞，1)

1 (1,1－a ) 1－a (1－a ，＋∞)

f ′(x )

＋

－

＋

(2)若a ≥1，则1－a ≤0，则由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增． 此时，f (x )的极小值为f (1)＝2－a ；

又f (0)＝(5－2a )e －1，f (2)＝e ，而(5－2a )e －1≤3

e

f (0)

所以，f (x )的取值范围是[2－a ，e ]．

21．(本小题满分12分)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝1

2

x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，

其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同，

(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．

(1)解：设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同．

∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2

x ，

由题意f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，

即???

12x 2

＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0

＋2a ＝3a

2x

.

由x 0＋2a ＝3a 2

x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)，

即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝5

2a 2－3a 2ln a .

令h (t )＝5

2

t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．

于是当t (1－3ln t )>0，即00；当t (1－3ln t )<0，即t >e 1

3

时，h ′(t )<0.

故h (t )在(0，e 13)上为增函数，在(e 1

3

，＋∞)上为减函数．

于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 13)＝32e 2

3

.

所以b 的最大值为32e 2

3

.

(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2

ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2

x ＝

(x －a )(x ＋3a )

x

(x >0)．

故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数．于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0.

故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0，即当x >0时，f (x )≥g (x )．

22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －kx ，x ∈R . (1)若k ＝e ，试确定函数f (x )的单调区间；

(2)若k >0，且对于任意x ∈R ，f (|x |)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围；

(3)设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，求证：F (1)F (2)…F (n )>(e n ＋

1＋2)n 2(n ∈N *)．

(1)解：由k ＝e ，得f (x )＝e x －ex ，所以f ′(x )＝e x －e . 由f ′(x )>0，得x >1，故f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <1，故f (x )的单调递减区间是(－∞，1)．

(2)解：由f (|－x |)＝f (|x |)，可知f (|x |)是偶函数，于是f (|x |)>0对任意x ∈R 成立等价于f (x )>0对任意x ≥0成立．

由f ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k .

①当k ∈(0,1]时，f ′(x )＝e x －k >1－k ≥0(x >0)，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (0)＝1>0，符合题意．

②当k ∈(1，＋∞)时，ln k >0，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：

由此可得，在又k >1，∴1

综合①②，得实数k 的取值范围是0

(3)证明：∵F(x)＝f(x)＋f(－x)＝e x＋e－x，∴F(x1)F(x2)＝ex1＋x2＋e－(x1＋x2)＋ex1－x2＋e －x1＋x2≥ex1＋x2＋e－(x1＋x2)＋2>ex1＋x2＋2.

∴F(1)F(n)>e n＋1＋2，

F(2)F(n－1)>e n＋1＋2，

……

F(n)F(1)>e n＋1＋2.

由此，得[F(1)F(2)…F(n)]2＝[F(1)F(n)][F(2)F(n－1)]…[F(n)F(1)]>(e n＋1＋2)n，

，n∈N*.

故F(1)F(2)…F(n)>(e n＋1＋2)n

2