必修四数学重点内容
新课程高中数学必修4基础知识汇整 第一部分 三角函数与三角恒等变换
1．任意角和弧度制
⑴ 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度角
⑵ 弧度数公式：
R
l =
α ⑶ 角度制与弧度制的互化：
π
弧度
180
=，
1180
π
=
弧度，
1弧度180
()π
='5718≈. ⑷ 弧长公式：
||l R α=；
扇形面积公式：
211||22
S R Rl α=
=. 2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )， 那么y 叫作α的正弦，记作sin α； x 叫作α的余弦，记作cos α；
y
x
叫作α的正切，记作tan α.
⑵ 角
α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：
sin ,cos ,y x r r αα=
=tan y x
α=. 三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函数线：
正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：
六组诱导公式统一为“
()2
k Z α±∈”
， 记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限. 记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限.
5．同角三角函数基本关系：
22sin cos 1αα+=（平方和关系）
； sin tan cos α
αα
=
（商数关系）.
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：
①
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ②
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；
③
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.
两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：
7．辅助角公式：
sin cos )y a x b x x x =+=)x ?+.
8．二倍角公式：
①
sin22sin cos ααα=；
②
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；
③
22tan tan 21tan ααα
=
-.
变形：升幂公式：
2
cos 2cos 12α
α=+;
2
sin 2cos 12
α
α=-
2)2
sin
2
(cos
sin 1α
α
α±=±
降幂公式：
21cos2sin 2
α
α-=
；
21cos2cos 2
α
α+=
.
αα
αsin 1)2
sin 2(cos 2±=±
9.物理意义：
物理简谐运动
sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>.
振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；
周期为
2T π
ω
=，表示物体往返运动一次所需的时间；
频率为
12f T ωπ
=
=，表示物体在单位时间内往返运动的次数；
x ω?+为相位；
?为初相.
10．三角函数图象与性质：
11. 正弦型函数
sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的性质及研究思路：
① 最小正周期
2T π
ω
=
，值域为
[,]A A -.
② 五点法图：把“
x ω?+”看成一个整体，取30,,,,22
2
x ππ
ω?ππ
+=时的五个
自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到
一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线：
sin y x =??????
→左移个单位
sin()y x ?=+
ω
?????→1
横坐标变为倍
sin()y x ω?=+A ?????
→纵坐标变为倍
sin()y A x ω?=+. 或：
sin y x
=
ω
?????→1
横坐标变为倍
sin y x ω=?
ω
?????
→左移个单位
sin ()y x ?ωω
=+A ?????
→纵坐标变为倍
sin()y A x ω?=+. ④ 单调性：
sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的增区间，
把“
x ω?+”代入到sin y x =增区间[2,
2]()2
2
k k k Z π
π
ππ-
++∈，
即求解
22()2
2
k x k k Z π
π
πω?π-
+≤+≤
+∈.
⑤ 整体思想：
把“
x ω?+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间
时，或取最大值与最小值时的自变量取值.
第二部分 平面向量
1. 向量与数量：
在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为a 或AB
（起点A ，终点B ）. 向量的大小叫做向量的长度（或模），记为||a 或||AB . 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0；长度等于1个
单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量：
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作//a b ，并规定零向量平行于任意一个向量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相等向量，记作a b =. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -，
规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法：
向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则.
如图所示，已知非零向量
,a b
，在平面内任取一点O ， 作
,OA a AB b ==，则向量OB a b =+.
若作
,OA a OC b ==，则向量CA a b =-.
向量的加减法满足：交换律
a b a b +=-；结合律()()a b c a b c ++=++.
向量不等式：对于任意两个向量
,a b ，有||||||||||||a b a b a b -≤±≤+.
向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 4. 向量数乘运算：
实数
λ与向量a 的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作a λ，
并规定：①
||||||a a λλ=；
②当
0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当
0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；
当
0λ=时，0a λ=.
数乘运算满足下列运算律：
分配律
()u a a ua λλ+=+、()a b a b λλλ+=+；
结合律
()()a a λμλμ=.
对于任意向量
,a b ，以及任意实数12,,u u λ，恒有1212()u a u b u a u b λλλ±=±.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理：
如果1
2,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122
a e e λλ=+.
把不共线的向量1
2,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
向量夹角：
对两个非零向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB θ=∠叫做向量a 与b 夹角. 当a 与b 夹
角是90°时，
a 与
b 垂直，记作a b ⊥.
正交分解：
依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量
a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ与22a λ，使1122a a a λλ=+. 若把
一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
坐标表示：
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，则对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、
y ，使得
a xi y j =+. 即平面内的任意向量a 都可由x 、y 唯一确定，把有序数对（x ,y ）叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，式
子
(,)a x y =叫做向量的坐标表示.
6. 平面向量的数量积运算：
θcos b a =?，其中θ是a 与b 的夹角，||cos a θ
叫做向量a 在
b 方向上的投影. ?的几何意义：数量?等于
a 的长度||a 与
b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积.
把
a a ?记作2
a
，有性质
22||a a =，从而2
||a a
=.
数量积运算满足下列运算律：
交换律：
a b b a ?=?；
数乘结合律：
)()()(λλλ?=?=?；
分配律：
?+?=+?)(.
力作功： 一个物体在力
F 的作用下产生位移s ，那么力F 所作的功||||cos W F s θ
=，其中
θ是F 与s 的夹角，从而
s F W ?=.
7. 平面向量的坐标运算：设
11(,)a x y =，22(,)b x y =，则
加减法：
1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--；
数乘：
11(,)a x y λλλ=；
向量数量积：
2121y y x x +=?；
模：
2||a x =+
距离：
||||(AB d AB b a x ==-=
夹角：
2
2
2221
21
2121,cos y x y
x y y x x b a +++=
>=
<.
8. 向量共线：
设
11(,)a x y =，22(,)b x y =，其中0b ≠，若,a b 共线，当且仅当存在实数λ，使a b λ=，
即
//a b a b λ?=12210x y x y ?-=. 由此可证明平行问题、三点共线等.
9. 向量垂直：
对于平面内任意两个非零向量
,a b ， 0=??⊥.
设
11(,)a x y =，22(,)b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=.
10. 线段定比分点的坐标：
已知点
111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 是线段12P P 上的一个分点，且
1
2
PP PP λ=，
则有
1
2PP PP λ=，即1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--， 由此得到
121
2
,11x x y y
x y λλλλ
++=
=++.
若
1λ=，得到线段中点坐标公式1212
,22
x x y y x y ++=
=.
11.向量知识与平面几何的联系：
(AB x =由数量积求夹角
b a ?=
θcos 或
转化为证明两个非零向量
,a b 共线，即
12. 向量法解决平面几何问题三步曲：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.