历年高考数学真题(全国卷整理版)精品

【关键字】方案、方法、条件、焦点、充分、统一、位置、需要、方式、满足、方向、中心 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33

4

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

1、 复数

131i

i

-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3.

m }，B ＝{1，m} ,A

B ＝A, 则m=

A 0或3

B 0或3

C 1或3

D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

A 216x +212y =1

B 212x +28y =1

C 28x +24y =1

D 212x +24

y =1

4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B

3 C 2 D 1

（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为

(A)

100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101

100

（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若

a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3

，则cos2α=

(A)

5

-

（B ）

5

-

(C)

5

(D)

5

（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

(A)1

4（B）

3

5(C)

3

4(D)

4

5

（9）已知x=lnπ，y=log52，

1

2

z=e，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7

3。动点

P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）

＋cosB=1，a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面

ABCD，2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小。 19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）

表示开始第4次发球时乙的得分，求

的期望。

（20）设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π]。 （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；

（Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围。 21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C ：y=(x+1)2与圆M ：（x-1）2+(

1

2y -

)2=r2(r ＞0)有一个公共点，且在A 处两

曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r ；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数f(x)=x 2-2x-3，定义数列{x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4,5）、Q n (x n ,f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2≤ x n ＜x n+1＜3； （Ⅱ）求数列{x n }的通项公式。

高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数)20y x x =≥的反函数为

(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()2

4y x

x R =∈ (D) ()240y x x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33

a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)

1

3

(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若

2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于

(A)

(B) (C) (D) 1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友

1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x

y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

13 (B) 12 (C) 2

3

(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??

-= ???

(A) 12-

(B) 14- (C) 14 (D) 12

10.已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)

45 (B) 35

(C) 35- (D) 45-

11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π 12. 设向量,,a b c 满足1

1,,,602

a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值对于

(A) 2 (B)

(C) (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13. (

20

1的二项展开式中，x 的系数与9

x 的系数之差为 .

14. 已知,2παπ??

∈

???

，sin α=，则tan 2α= .

15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,

12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+=，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。 19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足1111

0,

111n n

a a a +=-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。 22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续

抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

29110p e ??

<< ???

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一．选择题 (1)复数

3223i

i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i

(2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

A.21k k -

B. -2

1k k - C. 21k k - D. -21k k

-

(3)若变量,x y 满足约束条件1,

0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A

23 B 33 C 2

3

D 63（8）设a=3log 2,b=In2,c=1

2

5

-,则

A a

(9)已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)

32 (B)62

(C) 3 (D) 6

（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为

(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)

233 (B)433 (C) 23 (D) 83

3

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)2

211x x +≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-

,则tan(2)4

π

α+= . (15)直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤．

(17)已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，

b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ． (18) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．

效．

） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2

'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

（Ⅱ）设8

9

FA FB =

，求BDK ?的内切圆M 的方程 . （22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知数列{}n a 中，111

1,n n

a a c a +==-

. （Ⅰ）设51,22

n n c b a =

=-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

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一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u （A

B ）中的

元素共有

（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 （2）已知

1i

Z

＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式

1

1

X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }

{}011x x x ??? (B){}01x x ??

（C ）{}10x x -?? (D){

}0x x ?

(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心

率等于

（A （B ）2 （C （D

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各

选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为

（A ）2-（B 2 （C ）1- (D)1（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

（A （B （C (D) 34

（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P 、Q 分别在面α、β内，P ，Q

到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为

(B)2 (C) (D)4

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则 (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

（12）已知椭圆C: 2

212

x y +=的又焦点为F ，右准线为L ，点A L ∈,线段AF 交C 与点B 。

若3FA FB =,则AF =

2 (B)2 (C)

3 (D)3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） (13) 10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于 .

(14)设等差数列{}n a 的前n 项和为n s .若9s =72,则249a a a ++= . (15)直三棱柱ABC -111A B C 各顶点都在同一球面上.若12,AB AC AA ===∠

BAC =120，则此球的表面积等于 .

(16)若

4

2

π

π

＜X ＜

,则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在?ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知

222a c b -=，且

sin cos 3cos sin A C A C =，求b.

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，S D ⊥底面

ABCD ，2，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM=600.

(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设

在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）设ε 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ε 的分布列及数学期望。 （20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

在数列{}n

a 中， 1111

112n n

n a a a n ?? ??

?’＋’＋＝＝＋

＋. ()I 设n

n a b n

＝

，求数列}{n b 的通项公式；

()II 求数列{}n a 的前n 项和n s .

21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)M x y r -+=(r ＞0）相交于A B C D 、、、四个点。

（I ）求r 的取值范围： (II)当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线

A B C D 、、、的交点p 的坐标。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设函数3

2

()33f x x bx cx =++有两个极值点[][]12211,2.x x x ∈-∈，，0，且

（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ，c ）和区域；

(Ⅱ)证明：1102

-2≤f(x )≤-

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一、选择题 1．函数(1)y x x x =

- ）

A ．{}

|0x x ≥ B ．{}

|1x x ≥ C ．{}{}|1

0x x ≥

D ．{}

|01x x ≤≤

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）

3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．

2133

+b c

B ．5

233

-

c b C ．

2133

-b c

D ．1

233

+

b c 4．设a ∈R ，且2

()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

s

O

A ．

s

O

s

O

s

O

B ．

C ．

D ．

6．若函数(1)y f x =-

的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =

（ ） A ．21x e -

B ．2x e

C ．21x e +

D ．22x e +

7．设曲线1

1x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．12

C ．12-

D ．2-

8．为得到函数πcos 23y x ?

?

=+

??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移

5π

12个长度单位

B ．向右平移

5π

12

个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移

5π

6

个长度单位 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()

0f x f x x

--<的解

集为（ ） A ．(10)

(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，

C ．(1)(1)-∞-+∞，，

D ．(10)

(01)-，，

10．若直线

1x y

a b

+=通过点(cos sin )M αα，

，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．2211

1a b

+≤

D ．

22

11

1a b +≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为

ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．

13

B

．

3

C

．

3

D ．

23

12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?

-+???

，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．

14．已知抛物线2

1y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点

C

D

E

A

B 的三角形面积为 ．

15．在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率e = ．

16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --

的余弦值为

M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3

cos cos 5

a B

b A

c -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）

四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =

，CD =AB AC =．

（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；

（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小． 19．（本小题满分12分）

已知函数3

2

()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设函数()f x 在区间2

133??-- ???

，

内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1

l

的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、

、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；

（Ⅲ）设1(1)b a ∈，

，整数11ln a b

k a b

-≥．证明：1k a b +>． 全国普通高考全国卷一（理）

一、选择题

1．α是第四象限角，5

tan 12

α=-

，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513

D ．513-

2．设a 是实数，且112

a i

i ++

+是实数，则a = A ．12 B ．1 C ．3

2

D ．2

3．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b

A ．垂直

B ．不垂直也不平行

C ．平行且同向

D ．平行且反向 4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为

A ．

221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．22

1610

x y -= 5．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,

,}b

a b a b a

+=，则b a -= A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 6．下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010

x y x y +-?表示的平面区域内的点是

A ．(1,1)

B ．(1,1)-

C ．(1,1)--

D ．(1,1)-

D 1

C 1

B 1

A 1

7．如图，正棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为

A ．

15 B ．2

5 C ．35 D ．45

8．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为

1

2

，则a =

A B ．2 C ． D ．4 9．()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的

A ．充要条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．既不充分也不必要的条件 10．21()n x x

-的展开式中，常数项为15，则n =

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

11．抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方

的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是

A ．4

B ．

C ．

D ．8 12．函数22

()cos 2cos 2

x

f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(

,

)33ππ

B ．(,)62ππ

C ．(0,)3

π D ．(,)66ππ

-

二、填空题

13．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答） 14．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x

x =>的图象关于直线y x =对称，则

()f x =____________。

15．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______。 16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题

17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =

（Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围。

18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分

2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为

300元，η表示经销一件该商品的利润。 （Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率

()P A ；

（Ⅱ）求η的分布列及期望E η。 19．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知

45ABC ∠=?，2AB =，BC =，

SA SB ==

（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小。 20．设函数()x

x

f x e e -=-

（Ⅰ）证明：()f x 的导数'()2f x ≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围。

21．已知椭圆22

132x y +=的左右焦点分别为1F 、

2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC

BD ⊥，垂足为P

（Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：22

00132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。

22．已知数列{}n a 中，12a =，11)(2)n n a a +=+，1,2,3,

n =

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 中，12b =，134

23

n n n b b b ++=

+，1,2,3,n =，证明：

D

B

C

S

43n n b a -<≤，1,2,3,

n =