高一数学__三角函数化简和求值超难方法汇总
第九讲 三角函数式的恒等变形
1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍
①两角和与差的基本关系式
βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；
.tan tan 1tan tan )tan(β
αβ
αβαμ±=
±
②和差化积与积化和差公式
2cos(
)2sin(
2sin sin β
αβ
αβα-+=+,
2sin()2cos(2sin sin β
αβαβα-+=-
)2cos()2cos(2cos cos β
αβαβα-+=+
)2
sin()2sin(2cos cos β
αβαβα-+-=-
[])sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=
[])sin()sin(21
sin cos βαβαβα--+=
[])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++=
[])cos()cos(21
sin sin βαβαβα--+-=
③倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
.tan 1tan 22tan 2
α
α
α-=
④半角公式
??
?
??2sin α2)cos 1(α-±
=, ??
?
??2cos α2)cos 1(α+±
=,
=??
?
??2tan α)cos 1()cos 1(αα+-±
=
.sin )
cos 1()cos 1(sin α
ααα-=+
⑤辅助角公式
如果b a ,是实数且022≠+b a ，则
)sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a ，其中?满足
2
2
sin b
a b +=
?2
2
cos b
a a +=
?.
1.2基本方法介绍
①变角思想
在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解.如已知βα、均为锐角，并且
,3
1
)tan(,54cos -=-=
βαα求βcos 的值.观察到目标角与已知角不
同，应寻找它们的关系，将目标角转化为已知角，即
)(βααβ--=，所以求出10
103)cos(,5
3sin =
-=βαα
10
10
)sin(-
=-βα,
则
[])sin(sin )cos(cos )(cos cos βααβααβααβ-+-=--= 50
109= .
②变名思想
当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函
数关系实现弦切、弦割互化,还可通过诱导公式实现正、余函数名的互化,使问题得到解决.如)10tan 31(50sin 00+
的值,可
先将正切化成弦，即=+
=+)10cos 10sin 31(50sin )10tan 31(50sin 0
180
sin 100sin 10cos 50cos 250sin 10cos 10sin 310cos 50sin 0
000
00000
===+=. ③配对偶式法
对偶式是指与原数学式子结构对称，或结构相似的数学式.根据原数学式子结构，构造一个对偶式，共同参与运算或变换，使问题得以巧妙的解决，这种解题方法叫做对偶式法.在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说计算
0072cos 36cos 的值,可以设000072sin 36sin ,72cos 36cos ==y x ，则将它们
两边相乘，
y xy 4136sin 72sin 41144sin 72sin 410000===
， 4
1
72cos 36cos 00==x . ④消元思想
对于三角变换的多元问题,需要根据题意尽量将多元向单元(或二元)转化,防止多元变量对我们解题的干扰.如锐角γβα,,满足β
γαβγ
αcos cos cos ,sin sin sin =-=+，求βα-的值.
考虑将γ角消去，由条件，γβαγαβcos cos cos ,sin sin sin =-=-， 再将两式两边平方再相加，得1)cos(22=--βα,2
1)cos(=-βα.
由条件)0,2
(πβα-∈-，得3
πβα-=-.
⑤1的代换
三角函数中常遇到
1
的变形，主要有
1cot tan ,1sec cos csc sin =?=?=?αααααα
α
ααααα22222200cot csc tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=-=+===.如已
知
,31tan -=α求
α
αcos sin 11
-的值,不需求ααcos ,sin ，可以将1看作
αα22cos sin +，
即原式=13
109
13910
1tan tan 1tan cos sin cos sin cos sin 22
222
2
==+-+=-++αααααααα
α. 2基本知识应用 2.1基本三角公式的应用
基本三角公式向我们揭示了同角或异角的三角函数之间的关系，利用它们可以在已知与未知之间进行转化，帮助我们进行化简、求值、求角.
【例１】已知
4
1
)2sin(,312cos(=--=-
βαβ
α，且
,2,223πβπ
παπ<<<<求 2
cos βα+的值.
解： 由条件可观察得到 2
)2()2(βαβαβα+=---
由πβππαπ<<<<2,223， 所以 2
24,472πβαππβαπ<-<-<-< 又4
1
)2sin(,312cos(=--=-βαβα 所
以
4
15
)2cos(,322)2
sin(=--
=-
βαβ
α
所以
121522)2(2(cos 2
cos
+-
=??
?
???---=+βαβαβ
α .
【例２】已知,αβ为锐角，且3cos cos cos()2
αβαβ+-+=求,αβ的值.
解： 由题意，得012
cos 2
cos 42
cos 42=+-+-+βαβαβα
配成完全平方式可得 02
sin )2cos 2cos 2(22=-+--+βαβαβα
所以02cos 2cos 2=--+βαβα 且 02
sin =-βα.
因为,αβ为锐角，所以22πβαπ<-<- . 由02
sin =-βα, 得
βα=.
将βα=代入02
cos 2
cos 2=--+β
αβα，得2
1
2
cos
=
+β
α. 所以3
2πβα=+. 又βα=, 得3
πβα==.
在利用三角公式化简、求值时应找出已知条件与欲求的值之间的差异，主要是角及函数名称的差异，然后对已知式与欲求式施以适当的变形，消除它们的差异，以达到解决问题的目的。求值时要注意角的范围限制对结果的影响. 2.2辅助角公式的应用
在三角化简中经常会出现ααcos sin b a +的结构，我们可以把它化成一个角的三角函数，简化三角式的结构，这就需要引入辅助角?，)sin(cos sin 22?ααα++=
+b a b a ，其中?满足
2
2
sin b
a b +=
?2
2
cos b
a a +=
?.
【例3】求
])
10tan 31(10sin 40cos 220cos 1000+++o 的值.
解： 原式＝
10
cos 10sin 310cos 10sin 40cos 2(10cos 20
00
++ ??????++=)10sin 2310cos 21(10sin 40cos 10cos 2200000
630cos 22)40sin 10sin 40cos 10(cos 2200000==+=.
将ααcos sin b a +的结构化成一个角的三角函数，其方式并不唯一，注意公式的正负号，另外也要熟悉公式的反用与变用.
３基本方法应用 3.1配对偶式法
三角函数中，正弦函数和与余弦函数，正切函数与余切函数，正割函数与余割函数称为互余函数，利用互余函数来构造对偶式，通过运算使问题获得解决.
【例４】求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22
??-?+?=80sin 40sin 50cos 10cos 22x 令
??-?+?=80cos 40cos 50sin 10sin 22y
0000040cos 2)80sin 40sin 80cos 40(cos 2-=+-=+y x 则 0
0000080sin 40sin 80cos 40cos )80cos 20(cos -+-=-y x 又2140cos 2150sin 120cos )30sin(50sin 200000-=-
=+--= 两式相加得
2
32122=-
=x ,
所以4
3=x .
某些结构特殊的三角函数问题，如果加以观察、利用，构造出与之匹配的对偶结构式整体求解，常常可以达到意想不到的效果.
3.2消元思想
在三角函数的问题中，往往会出现多个角，多个函数名，在变角或变名过程中，可先设法减少角（或名）的个数（种类），这种思想称为消元思想.
【例５】已知0cos cos cos sin sin sin =++=++z y x z y x ， 求z y x z y x S tan tan tan )tan(+++=的值.
解： 由已知得z y x z y x cos cos cos ,sin sin sin -=+-=+
平方相加，得1sin sin 2cos cos 22=++y x y x ，即2
1)cos(-=-y x
同理2
1)cos(-=-z y ，2
1)cos(-=-x z .
不妨设)(,23
211Z k k y x ∈++=ππ
)(,23
222Z k k z y ∈++
=ππ
),(,)(23
42121Z k k k k z x ∈+++
=ππ
所以π)12(2321+++=++k k z z y x .
z z z z z y x z y x S tan )3
2tan()34tan(3tan tan tan tan )tan(ππ+++=+++= 0tan 3
tan(3tan(3tan =-+
+=z z z z π
π
.
【例6】设12
π≥≥≥z y x ，且2
π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值.
解
：
由
已知条件，
0)sin(,0)sin(,3
1222)(2
≥-≥-=?
-≤
+-=
z y y x z y x π
π
π
π
于是，[])sin(cos 2
1)sin()sin(cos 2
1cos sin cos z y x z y z y x z y x +≥-++=
813cos 21cos 2122=≥=
πx （当且仅当12
,3π
π===z y x 时取等号）. 又[])sin(cos 21)sin()sin(cos 21cos sin cos y x z y x y x z z y x +≤--+=
8
3
212cos 21cos 2122+=≤=
πz （当且仅当12
,24
5ππ===z y x 时取等号）.
消元法可以减少三角问题中的变元，使问题的条件变得
简洁，能够让我们容易观察条件之间的联系，从而准确地寻找突破口，运用相关知识进行解决. 3.3 1的代换在三角函数中的应用
三角函数中1有着特殊的地位，在求值、化简中为了进一步变形的需要，往往将1作灵活的代换，主要方式有
αααα222200tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=+===等等.
【例
7】设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b
a b x
a x +=+
求2006200820062008cos sin b
x
a x +的值.（表示用
b a ,）
解： 已知
，2
224241
cos sin b
a b x a x +=+ ………………①
将①改写成
x b
a x a
b x x 4224
224
4
cos sin cos sin 1+++=.
而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=, 所以有
0cos cos sin 2sin 4
2222422=+-x b
a x x x a
b . 即0cos sin 2
22=??
? ??-x b a x a b , 也即
4
444cos sin b x
a x = 将该值记为C. 则
由（1）知，
2
2221
b a C b C a +=
+。于是有，2
22)(1b a C +=
.
而1003
2210042222502250222006200820062008)
(1)(1)(cos sin b a b a b a C b C a b x
a x +=++=+=+.
1的代换方法可以帮助我们改变三角式的结构特点，使之向易于变形的结构转化，或者变为特定结构、凑成公式的结
构等等. 3.4函数思想
以运动变化的观点，分析和研究具体问题的数量关系，通过函数的形式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决,这种思想叫函数思想.
【例
8】已知y x ,,,44a R ππ??∈-∈????且??
???=++=-+0
2sin 2140
2sin 33a y y a x x 求)2cos(y x +的值.
解：
原方程组可化为?????=-+-=+a
y y a
x x 2)2sin()2(2sin 3
3
考察函数t t t f sin )(3+=在?
????-2,2ππ上单调递增，且??
?
???-∈-2,22,ππy x
由)2()(y f x f -=，得y x 2-= 所以1)2cos(=+y x .
有时根据所给条件的结构特点，把三角式的局部或整体作为一个函数式来研究，充分发挥函数性质的优势，能轻巧地解决问题. 3.5三角的综合应用
三角函数问题，通常是从“名”，“角”的变化，结合三角公式进行思考，但有时要结合形式特征，运用代数方法解题.
【例9】设)0(0sin cos ,22≠+=-+b a c x b x a 为方程βα的相异两根，且
)(Z k k ∈+≠πβα，求证：2
2
2
2
2cos
b a
c +=-β
α.
证明: 由题意得??
?=+=+c
b a c
b a ββααsin cos sin cos
因0)sin(sin cos cos sin ≠-=-αβαβαβ,则解上述方程组,得
)
sin()
sin (sin αβαβ--=
c a ,
)
sin()
cos (cos αββα--=
c b
于是2
cos
222
2
β
α-=
+c b a
, 即2
2
2
2
2cos
b a
c +=-β
α.
三角恒等变形的公式很多,变形方法灵活,在解题运用中,常常通过“名”，“角”的变化寻求解题的突破口.同时，三角恒等变形能把一种表达式转换成另一种表达式，起到沟通已知与未知转化的通道，这中间要注意函数方程思想的作用.