高考文科数学试题导数

二、函数与导数

（一）选择题

（辽宁文）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则

42)(+>x x f 的解集为

（A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞）

（重庆文）3．曲线2

2

3y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 A ．31y x =- B ．35y x =-+

C ．35y x =+

D ．2y x =

（重庆文）6．设1

133

3

124

log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是

A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<

（重庆文）7．若函数1

()2

f x x n =+-(2)n >在x a =处取最小值，则a =

A

．1+ B

．1 C ．3

D ．4

（辽宁文）（6）若函数)

)(12()(a x x x

x f -+=

为奇函数，则a =

（A ）

21 （B ）32 （C ）4

3

（D ）1 （上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为〖答〗

A ．2

y x -=

B ．1

y x -=

C ．2

y x =

D ．1

3

y x =

（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是

（A ）3

y x = （B ）||1y x =+ （C ）2

1y x =-+ （D ）||

2

x y -=

（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为

（A ）1

(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24

（全国新课标文）（12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2

()f x x =，那么函

数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A

（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个

（全国大纲文）10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2

f -= A ．-

1

2

B ．1 4

-

C ．

14

D ．

12

（湖北文）3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x

f x gx e +=，则()

g x =

A ．x

x

e e

-- B ．

1()2

x x

e e -+ C ．

1()2

x

x e e -- D ．

1()2

x x

e e -- （福建文）6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围

是 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）

（福建文）8．已知函数f （x ）=。若f （a ）+f （1）=0,则实数a 的值等于

A ．-3

B ．-1

C ．1

D ．3

（福建文）10．若a>0,b>0,且函数f （x ）=3

2

42x ax bx --在x=1处有极值，则ab 的最大值等于

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

（山东文）3.若点（a,9）在函数3x

y =的图象上，则tan=

6

a π

的值为 （A ）0 (B)

3

3

(C) 1 (D) 3

（山东文）4.曲线2

11y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15

（山东文）10．函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是C

（陕西文）4. 函数13

y x =的图像是 （ ）

（陕西文）6.方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根

（四川文）4．函数1

()12

x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是

（四川文）11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两

点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-

（天津文）5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>

D ．c a b >>

（天津文）8．对实数a b 和，定义运算“?”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

2()(2)(1),f x x x x R =-?-∈。若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是 （ ） A ．(1,1](2,)-?+∞ B ．(2,1](1,2]--?

C ．(,2)(1,2]-∞-?

D ．[-2，-1]

（浙江文）（10）设函数()()2

,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2

f x e 的一个

极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是

（江西文）3.若12

1

()log (21)

f x x =

+，则()f x 的定义域为( )

A.1(,0)2-

B.1(,)2-+∞

C.1(,0)(0,)2-?+∞

D.1(,2)2

-

（江西文）4.曲线x

y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e

（湖南文）7．曲线sin 1sin cos 2x y x x =

-+在点(,0)4

M π

处的切线的斜率为（ ）

A ．12-

B ．1

2

C ．22-

D ．22

（湖南文）8．已知函数2

()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为

A ．[22,22]-+

B ．(22,22)

C ．[1,3]

D ．(1,3)

（北京文）（3）如果112

2

log log 0x y <<，那么

（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<

（北京文）（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x 件，

则平均仓储时间为

8

x

天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件

（安徽文）（5）若点（a,b ）在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是D

（A ）（

a

1

，b ） （B ）（10a,1-b ） （C ） （

a

10

,b+1） （D ）（a 2,2b ）

（安徽文）（10）函数2

)1()(x ax x f n -=在区间〔0,1〕

上的图像如图所示，则n 可能是A （A ）1 （B ）2

（C ）3

（D ）4

（广东文）4．函数1

()lg(1)1f x x x

=

++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-?+∞ D ．(,)-∞+∞

4．（C ）．10

110

x x x -≠??>-?

+>?且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-?+∞

（广东文）10．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g o ()

x 和()f g g ()x ：对任意x ∈R ，()f g o ()x =(())f g x ；()f g g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是

A ．(()f g o g h )()x =(()f h g o ()g h g )()x

B ．(()f g g o h )()x =(()f h o g ()g h o )()x

C ．(()f g o o h )()x =(()f g o o ()g h o )()x

D ．(()f g g g h )()x =(()f g g g ()g h g )()x

10．（B ）．对A 选项 (()f g o g h )()x =()f g o ()()x h x (())()f g x h x =

(()f h g o ()g h g )()x =()f h g (()()g h x g )=()f h g ((()()

g x h x g ) (()())(()())f g x h x h g x h x =g g ，故排除A

对B 选项 (()f g g o

h )()x =()(())f g h x =g (())(())f h x g h x (()f h o g ()g h o )()x =()()()()f h x g h x o o (())(())f h x g h x =，故

选B

对C 选项 (()f g o o h )()x =()(())f g h x o ((()))f g h x =

(()f g o o

()g h o )()x =()(()())()((()))f g g h x f g g h x =o o o (((())))f g g h x =，故排除C

对D 选项 (()f g g g

h )()x =()()()()()()f g x h x f x g x h x =g

(()f g g g ()g h g )()x =()()()()()()()()f g x g h x f x g x g x h x =g g ，

故排除D

（天津文）8．对实数a b 和，定义运算“?”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->?设函数

2()(2)(1),f x x x x R =-?-∈。若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是 （ B ） A ．(1,1](2,)-?+∞ B ．(2,1](1,2]--?

C ．(,2)(1,2]-∞-?

D ．[-2，-1]

（二）填空题

（辽宁文）（16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是____(,2ln 22]-∞-_______．

（山东文）16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数

f x （）

的零点*

0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】5

【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*

0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当

(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时,

对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =. （上海文）3．若函数()21f x x =+的反函数为1

()f

x -，则1(2)f --= 3

2

-

。 （上海文）14．设()g x 是定义在R 上．以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为 [2,7]- 。 （四川文）16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()

f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列命题：

①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；

②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；

③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④

解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件． （陕西文）11．设lg ,0()10,0

x

x x f x x >?=?

?…，则((2))f f -=______.

【分析】由2x =-算起，先判断x 的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断(2)f -作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果． 【解】∵20x =-<，∴2

1

(2)10

0100

f --==

>，所以22(10)lg102f --==-，即((2))2f f -=-．

【答案】2-

（浙江文）（11）设函数k 4

()1f x x

=+ ,若()2f a =,则实数a =________________________ 【答案】1 【解析】∵214

)(=+=a

a f ，∴1=a .

（湖南文）12．已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 答案：6

解析：(2)(2)93,(2)6g f f -=-+=-=-则， 又()f x 为奇函数，所以(2)(2)6f f =--=。

（湖南文）16、给定*

k N ∈，设函数*

*

:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，

()f n n k =-

（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；

（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 。 答案：（1）()a a 为正整数，（2）16

解析：（1）由题可知*

()f n N ∈，而1k =时，1n >则*

()1f n n N =-∈，故只须*

(1)f N ∈，

故(1)()f a a =为正整数。

（2）由题可知4k =，4n >则*

()4f n n N =-∈，而4n ≤时，2()3f n ≤≤即

(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，由乘法原理可知，不同的函数f 的个数为4216=。

（湖北文）15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 6 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 10000 倍。

（北京文）13．已知函数32

,

2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-

若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实

根，则实数k 的取值范围是_______ 【答案】（0，1） 【解析】2

()(2)f x x x

=

≥单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）。

（广东文）12．设函数3

()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ． 12．9-

3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，

则3

3

()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=-

（安徽文）（11）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =2

2x x -，则(1)f = －3 .

(11)－3【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属中等难度题. 【解析】2

(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-. （安徽文）（13

）函数y =

的定义域是 （－3，2） .

(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由2

60x x -->可得2

60x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<.

（三）解答题

（安徽文）（18）（本小题满分13分）

设2

1)(ax e x f x

+=，其中a 为正实数.

（Ⅰ）当3

4

=

a 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.

（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

解：对)(x f 求导得.)1(1)(2

22ax ax

ax e x f x

+-+=' ①

（I ）当34=

a ，若.2

1,23,0384,0)(212

===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知

所以,231=x 是极小值点,2

1

2=x 是极大值点.

（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知

0122≥+-ax ax

在R 上恒成立，因此,0)1(4442

≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤

（北京文）（18）（本小题共13分） 已知函数()()x

f x x k e =-。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值。

【解析】：（Ⅰ）.)1()(3

e k x x

f +-='令()0='x f ，得1-=k x ． )(x f 与)(x f '的情况

所以，)(x f 的单调递减区间是（1,-∞-k ）；单调递增区间是),1(+∞-k

（Ⅱ）当01≤-k ，即1≤k 时，函数)(x f 在[0，1]上单调递增，所以f （x ）在区间[0，

1]上的最小值为;)0(k f -=当21,110<<<-

时，由（Ⅰ）知()[0,1]f x k -在上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为1(1)k f k e --=-；

当1,2k t k -≥=即时，函数()f x 在[0，1]上单调递减，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).f k e =-

设0a >，讨论函数2

()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 19．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞

212(1)2(1)1

()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x

---+'=+---=

令2

()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+

224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ?=---=-+=--

① 当1

03a <<

时，0?>，令()0f x '=，解得x =

则当0x <<

或x >()0f x '>

x <<

时，()0f x '<

则()f x 在，)+∞上单调递增，

在上单调递减

② 当

1

13

a ≤≤时，0?≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增

③ 当1a >时，0?>，令()0f x '=，解得x =

∵0x >，∴x =

则当0x <<

时，()0f x '>

当x >

时，()0f x '<

则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调

递减

（湖南文）22．（本小题13分） 设函数1

()ln ().f x x a x a R x

=-

-∈ (I)讨论()f x 的单调性；

（II ）若()f x 有两个极值点12x x 和，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I ）()f x 的定义域为(0,).+∞

222

11'()1a x ax f x x x x

-+=+-= 令2

()1,g x x ax =-+其判别式2

4.a =-V

(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥V

时故()(0,)f x +∞在上单调递增． (2) 当2a <-V 时,

>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．

(3) 当2a >V 时,>0,g(x)=0

的两根为12x x ==，

当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． （II ）由（I ）知，2a >． 因为12

12121212

()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+

--，所以 1212121212

()()ln ln 1

1f x f x x x k a x x x x x x --=

=+---g

又由(I)知，121x x =．于是12

12

ln ln 2x x k a x x -=--g

若存在a ，使得2.k a =-则

12

12

ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即

2222

1

2ln 0(1)(*)x x x x -

-=>

再由（I ）知，函数1()2ln h t t t t

=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以

22211

2ln 12ln10.1

x x x -

->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- （江西文）20.(本小题满分13分）

设()nx mx x x f ++=

23

3

1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式； （2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -） .解：（1）已知()nx mx x x f ++=

23

3

1，()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322

'

-+-+=--=n x m x x x f x g Θ在2-=x 处取极值， 则()()()3022222'

=?=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5.

则()()()25342222

=?-=-+?-+-=-n n g

()x x x x f 233

123

++=

∴

（2）要使()nx mx x x f ++=

23

3

1单调递减，则()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022

'

=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。即有： b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=

-+=

-N n m n m n m ab b a a b ,2444222

又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。

（浙江文）（21）（本小题满分15分）设函数ax x x a x f +-=2

2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数a ，使2

)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．

注：e 为自然对数的底数．

（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概

括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为2

2

()ln .0f x a x x ax x =-+>其中

所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x

-+'=-+=-

由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞

（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，

要使2

1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，

只要222

(1)11,

()f a e f e a e ae e

=-≥-??=-+≤?

解得.a e =

（天津文）19．（本小题满分14分）已知函数3

2

()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中

t R ∈．

（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．

（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函

数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（Ⅰ）解：当1t =时，322

()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

（Ⅱ）解：2

2

()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2

t x t x =-=或

因为0t ≠，以下分两种情况讨论：

（1）若0,,t

t t x <<-则

当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调递增区间是(),

,,;()2t t f x ??-∞-+∞ ???的单调递减区间是,2t t ??- ???

。 （2）若0,t

t t >-<

则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ??-∞-+∞

???的单调递减区间是,.2t t ?

?- ???

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ?

? ???

内的单调递减，在,2t ??+∞

???

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22

t

t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-?+?+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <

<<<即时，()f x 在0,2t ?? ???内单调递减，在,12t ??

???内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ??

∈=-+-≤-< ???

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ??

???

在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ??∈=-+-<-+<

???

(0)10f t =->

所以()0,

2t f x ??

???

在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（四川文）22．（本小题共l4分）

已知函数21

()32

f x x =+，()h x x =．

（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33

lg[(1)]2lg ()2lg (4)24

f x h a x h x --=---；

（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1

()()[(1)(2)()]6

f n h n h h h n -+++≥L ．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，

2()312F x x '∴=-+．

令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．

当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，

故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数． 2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为42233

log [(1)]log ()log (4)24

f x h a x h x --=---，

即为4222log (1)log log 4log 4a x

x a x x x --=---=-，且,14,

x a x

①当14a <≤时，1x a <<，则14a x

x x

--=

-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ?=-+=->，此时620435a

x a ±-==±-，∵1x a <<，

此时方程仅有一解35x a =--．

②当4a >时，14x <<，由14a x

x x

--=-，得2640

x x a -++=，

364(4)204a a ?=-+=-，

若45a <<，则0?>，方程有两解35x a =±-； 若5a =时，则0?=，方程有一解3x =； 若1a ≤或5a >，原方程无解．

方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，

即222

1

log (1)log 4log 2

x x a x -+-=-，10,

40,

0,(1)(4).

x x a x x x a x ->??->???

->??--=-?214,(3) 5.x x a a x ?<

?

=--+? ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--； ②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；

④当1a ≤或5a >时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++L L ，

1431

()()666

n f n h n n +-=-．

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

()()6

n S f n h n =-（*n ∈N ）

从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341

166

k k k k k a S S k k -+-=-=--．

又1

[(43)(41)1]6

k a k k k k k -=+---2216(43)(41)1k k k k =?++--

106(43)(41)1k k k k =?>++--． 即对任意2k ≥时，有k a k >，又因为111

a ==，所以

1212n a a a n +++≥+++L L ．

则(1)(2)()n S h h h n ≥+++L ，故原不等式成立． （陕西文）19.（本小题满分12分）

如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x

y e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：

1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记k P 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.

（Ⅰ）试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤ （ Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++．

【分析】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项||n n P Q 的表达式，然后再求和． 【解】（Ⅰ）设11(,0)k k P x --，由x

y e '=得1

11(,)k x k k Q x e

---点处切线方程为

111()k k x x k y e e x x ----=-

由0y =得11(2)k k x x k n -=-≤≤。

（ Ⅱ）110,1k k x x x -=-=-，得(1)k x k =--，

(1)

k x k k k

PQ e e --== 112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++

11

2

(1)

111 (11)

n n

n e e e e e e

e e ---------=++++==-- （陕西文）21.（本小题满分14分）

设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+． （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x

的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜

1

a

对任意x ＞0成立． 【分析】（1）先求出原函数()f x ，再求得()g x ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x ＞0成立的恒成立问题转化为函数()g x 的最小值问题．

【解】（1）由题设知1

()ln ,()ln f x x g x x x

==+， ∴21

(),x g x x

-'=

令()g x '=0得x =1， 当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间。 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故（1，+∞）是()g x 的单调递增区间，

因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值为(1) 1.g = (2)1()ln g x x x

=-+

设11

()()()ln h x g x g x x x x

=-=-+，则22

(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1

()()g x g x

=， 当(0,1)(1,)x ∈?+∞时，()0h x '<， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， 当01x <<时，()(1)0h x h >= 即1()().g x g x

<

（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，

1()()g a g x a -<

，对任意0x >，成立1()1,g a a

?-< 即1,Ina <从而得0a e <<。 （山东文）21.（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

803

π

立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.

（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .

【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π

,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33

r

r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =

21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2

l

). （Ⅱ）因为'

y =216016r r

ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:3202r c >-;

令'

0y <得:3

2002r c <<

-,所以320

2

r c =-米时, 该容器的建造费用最小. （福建文）22．（本小题满分14分）

已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I ）求实数b 的值；

（II ）求函数f （x ）的单调区间；

（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

y=t 与曲线y=f （x ）（x ∈[

1

e

，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由。

22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解

能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I ）由()22,f e b ==得

（II ）由（I ）可得()2ln .f x ax ax x =-++ 从而'()ln .f x a x =

0a ≠因为，故：

（1）当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<<<>时由得由得 综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞， 单调递减区间为（0，1）；

当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为(1,)+∞。

（III ）当a=1时，()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++=

由（II ）可得，当x 在区间1(,)e 内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：

又22,'()([,])f x x e e e

-

<=∈所以函数的值域为[1，2]。 据经可得，若1,2

m M =??=?，则对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线1

()([,])

y f x x e e =∈都有公 共点。

并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞U ，直线y t =与曲线1

()([,])y f x x e e

=∈都没有公共点。