不等式综合问题题型归纳总结

不等式综合问题题型归纳总结 题型1 不等式恒成立问题中秋参数的取值范围 思路提示

解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想，通过不同的角度构造函数，借助函数图像来解决，其方法大致有：

（1）借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解.将原不等式通过移项后转化为某个函数值恒正（或非负）、恒负（或非正）的问题，再借助图像或判别式来求解.

（2）分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题. （3）变更主元，利用函数与方程的思想求解.

（4）借助两个函数图像比较两函数值的大小.构造两个函数，并画出它们的图像，通过图像来比较两个函数值的大小，即用数形结合思想来解决恒成立问题. 一、利用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到很好解决.

例7.33 对于x ∈R ，不等式2

230x x m -+-≥，求实数m 的取值范围.

解析 不妨设2

()23f x x x m =-+-，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使()0f x ≥（x ∈R ），只需

0?≤，即2(2)4(3)0m ---≤，解得2m ≤，故实数m 的取值范围(,2]-∞.

变式1 若对于x ∈R ，不等式2

230mx mx ++>，求实数m 的取值范围.

例7.34 已知函数2

()22f x x kx =-+在1x ≥-时恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围.

解析 令2()()22F x f x k x kx k =-=-+-，则()0F x ≥对一切1x ≥-恒成立，()F x 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x k =.

①当对称轴1x k =≤-时，()F x 在(1,)-+∞上单调递增，故只需(1)F -=122k ++

0k -≥，得31k -≤≤-；

②当对称轴1x k =>-时，()F x 在(1,)-+∞上的最小值为()F k ，故只需()F k =

22220k k k -+-≥，得11k -<≤.

由①②知k 的取值范围是[3,1]-.

评注 为了使()f x k ≥在[1,)-+∞上恒成立，构造一个新函数()()F x f x k =-是解题的关键，再利用二次函数的图像和性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决.

变式1 已知函数())f x x x =+，若不等式(3)(392)0x

x

x

f m f +--

求实数m 的取值范围.

二、分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题

通过等价变形，将变量与参变量从整体式中分离出来，转化为()(f x >或<，≥，)a ≤恒成立问题： （1）若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()(())f x a f x a <≤恒成立a m ?>（或a m ≥）； （2）若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()(())f x a f x a >≥恒成立a m ?<（或a m ≤）；

（3）若()f x 在定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域上的最小上界（或最大下界）m ，即()

f x 在定义域上增大（或减少）时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可取到.

例7.35 当(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .

解析 解法一：构造函数2

()4f x x mx =++（[1,2]x ∈）.由于当(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<恒

成立，则(1)0f ≤，(2)0f ≤，即140m ++≤且4240m ++≤，解得5m ≤-.

解法二：分离参数法.(1,2)x ∈时，不等式2

40x mx ++<2

(4)mx x ?<-+?

21

x m x

+<-，令214()()x f x x x x +=-=-+，因为222

44()10x f x x x -''=-+=>在区间(1,2)上恒成立，故函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，故5()4f x -<<-，所以5m ≤-，因此m 的取值范围是(,5]-∞-. 评注 若本题中的条件改为[1,2]x ∈，则m 的取值范围是(,5)-∞-，希望同学们认真、仔细地体会其中的不同.

变式1 设函数2

()1f x x =-对任意的3

[,)2x ∈-+∞，2(

)4()(1)x

f m f x f x m

-≤-+ 4()f m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .

变式2 不等式2

|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.(,1][4,)-∞-+∞U B. (2][5,)-∞-+∞U

C.[1,2]

D. (,1][2,)-∞-+∞U

变式3 若不等式lg(2)

1lg()

ax a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围.

变式4 已知不等式11112log (1)122123

a a n n n +++>-+++L 对于一切大于1的自然数都成立，试求实数a 的取值范围.

三、变更主元

例7.36 若不等式2

21(1)x m x ->-，对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的范围.

分析 欲求x 的范围，将x 视为参数，将m 视为主元，那么关于x 的二次不等式转化为关于m 的一次不等式的形式进行求解，非常简捷.

解析 原不等式可化为2

(1)(21)0m x x ---<.

令2

()(1)(21)f m m x x =---(22)m -≤≤，它是关于m 的一次函数.

由题意知22

(2)2(1)(21)0(2)2(1)(21)0

f x x f x x ?-=----

11(

22

-++. 评注 利用函数思想，确定主元，根据一次函数的性质求解.

变式1 对于满足04p ≤<的所有实数p ，使不等式2

43x px x p +>+-都成立的x 的取值范围是 （ ）

A.(,1)(3,)-∞-+∞U

B. (1][3,)-∞-+∞U

C.(1,3)-

D. [1,3]-

例7.37 已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =.若,[1,1]a b ∈-，0a b +≠，有

()()

0f a f b a b

+>+.

（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数还是减函数； （2）解不等式11()(2)22

f x f x +>-；

（3）若2

()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围. 分析 本题亮点在于利用主元变更和等价转化的思想逐步消去参数，从而求得实数m 的取值范围. 解析 （1）设1211x x -≤<≤，则

1212()()()()f x f x f x f x -=+=

121212

()()

()0f x f x x x x x +--<-?，

可知12()()f x f x <，所以()f x 在[1,1]-上是增函数. （2）由()f x 在[1,1]-上是增函数知

11121121211222x x x x ?

-≤+≤??

?

-≤-≤?

?

?+>-??

，解得1142x -≤≤，故不等式的解集为11[,]42-. （3）因为()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)1f x f ≤=，则函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1，依题意有2

211m am -+≥对[1,1]a ∈-恒成立，即2

20m am -≥恒成立，令2

()2g a ma m =-+，[1,1]a ∈-，

函数()g a 是关于a 的一次函数，若[1,1]a ∈-时，()0g a ≥恒成立，则22

(1)20(1)20g m m g m m ?-=+≥?=-≥?

，解得(,2]{0}[2,)m ∈-∞-+∞U U .

评注 对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用所给条件，判断差的符号；对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性，将函数值的大小转换到自变量的大小上来；对于（3），确认主元，把2

2m am -看为关于a 的一次函数，即2

()2g a ma m =-+在[1,1]a ∈-上大于对于0，利用

()g a 是一条直线这一图像特征，数形结合得关于m 的不等式组，从而得m 的范围.

变式 1 已知22()2

x a

f x x -=

+(x ∈R )在区间[1,1]-上是增函数.

（1）求实数a 的值所组成的集合A ；

（2）设关于x 的方程1()f x x

=的两根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2

121||

m tm x x ++≥-对任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

题型2 函数与不等式综合 思路提示

对于函数不等式，要注意从函数观点出发，转化为利用函数的图像和性质来解不等式. 例7.38 若不等式29(2)2x k x -≤+-的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则

k = .

解析 如图7-21所示，直线(2)2y k x =+-过定点(2,2)--，因为原不等式的解集为[,]a b ，且3b =，又2b a -=，所以1a =，则直线与圆的交点为

(1,22)A ，代入直线方程(2)2y k x =+-，得2k =.

变式 1 已知函数()f x 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如表7-3，()f x '为

()f x 的导函数，函数()y f x '=的图像如图7-22所示，若两正数a ，b 满足(2)1f a b +<，则

3

3

b a ++的取值范围是 （ ）

表7-3

x

2-

0 1 ()f x

1

1-

1

A.(,)73

B. (,)53

C.(,)35

D. 1(,3)3

-

例7.39 设函数1()ln x

f x x ax

-=+在[1,)+∞上为增函数. （1）求正实数a 的取值范围；

（2）当1a =时，求证

*1111111ln 1(234231

n n N n n ++++<<++++∈-L L 且2)n ≥. 分析 由已知函数是给定区间上的增函数，则()0f x '≥，由此求参数a 的取值范围. 解析（1）由已知21()(0)ax f x a ax -'=

>，依题意得2

10ax ax

-≥对[1,)x ∈+∞恒成立，又*

a R ∈，所以10ax -≥对[1,)x ∈+∞恒成立，所以1a x ≥对[1,)x ∈+∞恒成立，故max 1()a x ≥，又因为1

01x

<≤，所以

只需1a ≥，所以正实数a 的取值范围是[1,)+∞.

（2）当1a =，当1x ≥时，1()ln (1)0x f x x f x -=+≥=，即1ln (1)x x x x -≥≥，故ln(1)1x

x x

+≥

+，0x ≥.取1x n =*()n N ∈，得11

ln(1)1n n +≥

+*()n N ∈. 所以有11ln(1)1n n +≥-，11ln(1)21n n +≥

--，，11

ln(1)12

+≥， 将以上1n -个不等式相加，得2111

ln ln 1123n n n

++>+++-L L ，

即111

ln 23n n

>+++L .

构造函数()ln(1)([0,1])g x x x x =+-∈，由1()1011x

g x x x '=-=-≤++，得函数()g x 在区间[0,1]

上单调递减.故当01x <≤时，()(0)0g x g <=，令1x n =，则11ln(1)n n +<.所以有11

ln(1)11

n n +<

--，11ln(1)22n n +<

--，，11

ln(1)11

+<， 将以上1n -个不等式相加，得2311

ln ln ln 112121

n n n +++<+++

--L L ， 即111

ln 1231n n <++++-L .

综上可得*1111111

ln 1(234231

n n N n n ++++<<++++∈-L L 且2)n ≥.

变式1 已知函数2

()2ln f x x x a x =++.

（1）若函数()f x 在区间(0,1)上恒为单调函数，求实数a 的取值范围；

（2）当实数1t ≥时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围.

最有效训练

1.不等式2

||20x x --<的解集是 （ ）

A. {|22}x x -<<

B. {|2x x <-或2}x >

C. {|11}x x -<<

D. {|1x x <-或1}x >

2.已知不等式2

10ax bx --≥的解集是11[,]23

--，则不等式2

0x bx a --<的解集是（ ）

A. (2,3)

B. (,2)(3,)-∞+∞U

C. 11(,)32

D. 11(,)(,)32

-∞+∞U 3.不等式22|log ||||log |x x x x +<+的解集是 （ ）

A. (0,1)

B. (1,)+∞

C. (0,)+∞

D. (,)-∞+∞ 4.若不等式2

10x ax ++≥对一切1(0,]2

x ∈成立，则a 的最小值为（ ）

A. 0

B. 2-

C. 5

2

-

D. 3- 5.设函数246,0

()6,0

x x x f x x x ?-+≥=?+的解集是 （ ）

A. (3,1)(3,)-+∞U

B. (3,1)(2,)-+∞U

C. (1,1)(3,)-+∞U

D. (,3)(1,3)-∞-U

6.若关于x

的不等式(1)m x -≤{|02}x x ≤≤，则实数m =（ ）

A.

1

2

B. 1

C. 2

D.0 7.已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2

()a b cd

+的取值范围是 .

8.关于x 的不等式组2220

2(25)540

x x x k x ?--≥?+++

9.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >??

==??-

，则不等式(1)sgn 2x x +>的解集是 .

10.已知集合2

{|540}A x x x =-+≤，2

{|220}B x x ax a =-++≤，若B A ?，求实数a 的取值范围. 11.已知函数()||f x x a =-.

（1）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值.

（2）在（1）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，且实数m 的取值范围.

12.（1）解关于x 的不等式2

(lg )lg 20x x -->；

（2）若不等式2

(lg )(2)lg 10x m x m -++->对于||1m ≤恒成立，求x 的取值范围.