九年级数学证明圆的切线专题
九年级数学证明圆的
切线专题
证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路：
1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：
2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直
. 1不常用；一般常用
2.1.如图；在
Rt ABC 中；90C ；点D 是AC 的中点；且90A CDB ；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ．
（1）求证：直线BD 与O 相切；
（2）若:4:5,6AD AE BC ；求O 的直径．
2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o ；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过
A 、D 两点的⊙O 分别交A
B 、A
C 于点E 、F ；且
D 为EF 的中点。
（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切
（2）（4分）当AD=23；∠CAD=30o 时；求AD 的长。
3. 如图；已知CD 是O 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ．
(1)求证：直线AB 是OO 的切线；
(2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．
4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。
5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．
（1）求证：⊙O与BC相切；
（2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径
6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．
7.如图；在平面直角坐标系中；△
ABC 是⊙O 的内接三角形；AB ＝AC ；点P 是AB 的中点；连接P A ；PB ；
PC ．（1）如图①；若∠BPC ＝60°；求证：
AP AC 3；（2）如图②；若2524sin BPC
；求PAB tan 的值．8.如图；AB 为⊙O 的直径；弦CD 与AB 相交于E ；DE=EC ；过点B 的切线与AD 的延长线交于F ；过E 作EG ⊥BC 于G ；延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH=HD ；
（2）若cos ∠C= 4/5；；DF=9；求⊙O 的半径9.如图；在△ABC 中；∠BAC=90°；AB=AC ；AB 是⊙O 的直径；⊙O 交BC 于点D ；DE ⊥AC 于点E ；BE 交⊙O 于点F ；连接AF ；AF 的延长线交DE 于点P ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）求tan ∠ABE 的值；
（3）若OA=2；求线段AP 的长．
10如图；已知在△ABP 中；C 是BP 边上一点；∠PAC=∠PBA ；⊙O 是△ABC 的外接圆；AD 是⊙O 的直径；且交BP 于点E ．
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）过点C 作CF ⊥AD ；垂足为点F ；延长CF 交AB 于点G ；若AG?AB=12；求AC 的长；
O
P
第22题图①C
B A 第22题图②
O P C B A
（3）在满足（2）的条件下；若AF ：FD=1：2；GF=1；求⊙O 的半径及sin ∠ACE 的值．
11.如图；在⊙O 中；直径AB ⊥CD ；垂足为E ；点M 在OC 上；AM 的延长线交⊙O 于点G ；交过C 的直线于F ；∠1=∠2；连结CB 与DG 交于点N ．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）求证：△ACM ∽△DCN ；
（3）若点M 是CO 的中点；⊙O 的半径为4；cos ∠BOC=41
；求BN 的长．
12、如图；PA 为⊙O 的切线；A 为切点；直线PO 交⊙O 与点E ；F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ；交⊙O 与点B ；延长BO 与⊙O 交与点C ；连接AC ；BF ．
（1）求证：PB 与⊙O 相切；
（2）试探究线段EF ；OD ；OP 之间的数量关系；并加以证明；
（3）若AC=12；tan ∠F=；求cos ∠ACB 的值．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 圆的切线证明拔高题训练 1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作 ，垂足为，连接． 求证：直线与相切； 若，，求的长． 2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接 ． 若，，求边的长； 取的中点，连接，试证明与相切． 3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，， 于点，交的延长线于点． 1 / 25
求证：直线是的切线； 若，，求的长． 4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于． 求证：； 求证：为的切线； 若，，求的长． 5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接 ， ① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况． ②若、的长是方程的根，求直角边的长．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 6.如图，是的直径，． 求证：是的切线； 若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点， ，． 求证：是的切线； 求证：； 3 / 25
点是的中点，交于点，若，求的值． 8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作 于． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 9.如图，是的外接圆，，弦，，， 交的延长线于点． 求证：； 求的长； 求证：是的切线．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若． 求证：是的一条切线； 若，，求的长． 11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半 圆于点，的延长线交于点． 求证：为半圆的切线； 若，，求的长． 12.如图，是的直径，点是上的一点，． 5 / 25
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
九年级数学：切线长定理
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
切线长定理 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：及其应用．因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点：与有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形；对重要的结论及时总结； （2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展
在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标 1．理解切线长的概念，掌握； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点: 是教学重点 教学难点: 的灵活运用是教学难点 教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O 的切线长．
初中数学九年级《圆的切线证明及计算》公开课教学设计
圆的切线证明及计算（教案） 一、教学目标： 1、复习直线和圆的位置关系，以d和r的关系强化学生对切线判定定理的理解。 2、使学生把握好切线判定和切线性质的基本要素，理解切线问题中常用的辅助线———过 切点的半径。 3、通过对切线长定理的推导分析，提高学生对图形知识的系统化认识，在实际解题中提高 学生对两条切线的边、角关系的理解与应用。 4、强化基础知识的同时，通过中考切线问题考试热点的讲解，提高学生对切线证明及切线 计算问题的理解;对考试中常见的动点问题，提出动点问题静态化的思考。 5、 二、教学重点：整固切线的有关定理；理解切线问题中常用的辅助线 三、教学难点：切线的证明思想，对动点问题的分析思考方法 四、教学过程： 1.回顾知识要点： 通过演示回顾直线和圆的位置关系，用距离d和半径r的关系引导学生对切线判定定理、和切线性质定理进行理解。把握好判定中的两个要素，理解切线问题中一般辅助线的作法。 学生对知识要点表格的完成达到对知识要点的巩固，并在d=r ?直线l与⊙O相切的条件下扼要说明切线的判定定理和切线的性质定理，使学生记住关键字词，理解解题中的一般方法。 2.基础练习： 通过对简单题型的练习，认识切线定理的一般应用方法，在同一图形变换不同的问法，分别从边和角的角度进行理解。进一步巩固切线问题中辅助线的作法。 例1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，若∠OBA = 36°， 则∠AOB=（） 例2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2， 若∠OBA = 30°，则OB的长为（） A ．B．4 C ．D．2 d＞r ?直线l与⊙O相离 d 圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长. 证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD． 证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值． 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值． 中考复习专题--------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC 中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.360docs.net/doc/ef9920776.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O 九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值． 4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R． 小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明 1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切． 证明：连接OD. ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵AB是直径(已知)， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE. 又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°， ∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED与⊙O相切． 2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半径r. 解：(1)⊙O与BC相切． 理由：连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD，∠ODC＝90°. ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝CD ＝CB. ∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD. ∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°. 又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切． (2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD. ∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA. ∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ， ∴∠COD ＝2∠ACD. 又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12 OC ， 即r ＝12 (r ＋2)． ∴r ＝2. 3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，且AB ＝12，AP 是半圆的切线，点C 是半圆上的一动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作CD ⊥AP 于点D ，记∠COA ＝α. (1)当α＝60°时，求CD 的长； (2)当α为何值时，CD 与⊙O 相切？说明理由． 解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E. 在Rt △OCE 中， OE ＝OC ·cos ∠COA ＝12 ×6＝3， 则CD ＝OA －OE ＝6－3＝3. (2)当∠α＝90°时，CD 与⊙O 相切． 理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA 中， ∠COA ＝∠OAD ＝∠CDA ＝90°， 初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C 人教版九年级数学上册切线的判定与性质练习题 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( ) A．70°B．35°C．20°D．40° 3．如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( ) A．20°B．25°C．30°D．40° 4．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC 都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( ) A．8 B．6 C．5 D．4 5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( ) A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC 二、填空题 6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________． 7．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________． 8．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______． 9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度． 24.2.2直线和圆的位置关系 第3课时切线长定理 一、新课导入 1.导入课题： 情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ 这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题). 2.学习目标： （1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. （2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. （3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题. 3.学习重、难点： 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：完成探究提纲. (4)探究提纲： ①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条. ②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长， 如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长. ③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？ PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论. ④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理. 文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B. ∴PA = PB,OP平分∠APB . 2.自学：学生结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明. ②差异指导：根据学情确定指导方案. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化： （1）切线长定理及它的证明. （2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？ 解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2. 解得r=3. 即⊙O的半径长为3. 1.自学指导： (1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容. (2)自学时间：8分钟. (3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想. (4)自学参考提纲： ①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I. 因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上； 因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上； 所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点. a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I； b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求. 证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒ 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒ 如何证明圆的切线 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝ 21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由 角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点 的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 2020-2021学年 切线的判定 一、学习目标 1.理解切线的判定定理和性质定理。 2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。 3.提升数学学习能力。 二、自主探究 请你先阅读课本，然后解决下面的问题： （一）引入新知 1 、【画一画】 请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？ 作法：（1） （2） （3） 2、【想一想】 为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？ 已知：直线a 切⊙O 于点A. 求证：OA ⊥直线a 证明：假设不垂直, 作OM ⊥a 因“垂线段最短”, 故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾. 故：圆的切线垂直于经过切点的半径.3、【说一说】 通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什么是圆的切线吗？ （1） ··M A O a （2） （3） 4、【议一议】 （1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作 ⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。 （2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。 这两题的辅助线的作法有什么不同？ （二）尝试运用 1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。 2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。 3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30. 求证:直线AB 是⊙O 的切线. B A （1） （2） 证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA ⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， D ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 圆的切线证明及计算 一、知识回顾 1、切线证明的两种主要类型： （1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 （2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。 二、例题讲解： 例1：如图1，在Rt △ABC 中，C 90∠=o ,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥. （１） 求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线； （２）若26,62==AE AD ，求EC 的长. 注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。 （2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。 例2：如图2，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。 求证：（1）AC 是⊙D 的切线； （2）AB+EB=AC 。 证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F. ∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF . ∴AC 为⊙D 的切线 . （2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC, ∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC . 又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC . 三、课堂练习： 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，在∠ACD 的外部作∠ACE=∠ACD ，CE 的反向延长线交AB 的延长线于点P ．（1）求证：PE 是⊙O 的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP 的值． 2、如图4，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D,AB ＝5,EB ＝3. 求证:⑴AC 是⊙O 的切线； 如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线． 图1 图2 圆证明专题 1．如图，已知在⊙O 中，AB ，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A =30°．（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆 的半径． 2．AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D 。 (1)请写出四个正确的结论；(2)若BC=6，ED=2，求⊙O 的半径。 3.已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值 4．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。 B 5．已知：⊙O 的直径AB 和弦CD ，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M 。求证：∠AMD ＝∠FMC 。 6．已知AB 是☉O 的直径，AC 是弦，CD 切☉O 于点C ，交AB 的延长线于点D ， 120ACD ∠=，10BD =．（1）求证：CA CD =；（2）求☉O 的半径． 7．ABC △内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，30BCD A ∠=∠=°．（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC 、线段CD 和BD 所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）． 8. 如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，点A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =70°．求∠P 的度数． A C D 优秀学习资料欢迎下载 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．AB 是 O 的直径，AB AC ，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为 P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接 OP ，证明OP PQ 即可．证明：连接OP ，PA ， AB 是⊙O 的直径，90APB ∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点， PQ AQ ∴，QAP QPA ∴．又OP OA ，OAP QPA ∴，OAQ QPO ∴．AB AC ，OP PQ ∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形ABCD 中， 以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰 CD 相切．分析：要证明以腰 AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知， CD 如果与⊙2O 相切，则2O 到CD 的距离应等于半径12AB ，所以过2O 作2O E CD ，证明212 O E AB 即可．证明：过1O 作12 O O AB ，则22O A O B ，作21DF O O 于F ，作2O E CD 于E ， AB 与⊙1O 相切，12 1O O O D ∴．211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ，∴△≌△，2O E DF ∴．2DF O A ，21 2O E AB ∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．A B C Q P O A B C D E F 1O 2O 九年级上册圆的切线证明和计算专题训练 1．如图，以等腰ABC ?中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE AC ⊥，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠=o，求DE的长． BAC 2．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. (1)DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； (2)若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上一点（除端点外），过三点A，B，P作⊙O．（1）指出圆心O的位置； （2）当AP＝3时，判断CD与⊙O的位置关系； （3）当CD与⊙O相切时，求BC被⊙O截得的弦长． 4．．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =， OB AC 2 1 =． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若?=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长． A 第19题 5.已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 6．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ． (1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC ，求⊙O 的半径． A D圆证明切线的练习题
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