2012年广东省高考文科数学答案

绝密★启用前 试卷类型：B

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数

34i

i

+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -

1. D.

34(34)()

43()

i i i i i i i ++?-==-?-. 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =e

A. {2,4,6}

B. {1,3,5}

C. {1,2,4}

D. U 2. A. U M =e{2,4,6}.

3. 若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =

A. (4,6)

B. (4,6)--

C. (2,2)--

D. (2,2) 3. A. (4,6)AC AB BC =+=. 4. 下列函数为偶函数的是

A. sin y x =

B. 3y x =

C. x y e =

D. 2ln 1y x =+

4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.

5. 已知变量x ，y 满足约束条件1

110 x y x y x +≤??

-≤??+≥?

，则2z x y =+的最小值为

A. 3

B. 1

C. 5-

D. 6-

5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+

可化为直线11

22

y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，

z 取得最小值，min 12(2)5z =-+?-=-.

6. 在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，32BC =，则AC =

A. 43

B. 23

C.

3 D.

32

1x y +=

1x y -=

10x +=

x

y

O A

6. B. 根据正弦定理，

sin sin BC AC

A B =，则2

32sin 223sin 3

2

BC B AC A

?

?===.

7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π

7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积

23114

34330323

V V V πππ=+=??+??=圆锥半球体.

8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A. 33 B. 23 C.

3 D . 1

8. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离22

005134d +-=

=+，

则222

()32

AB r d =-=，即23AB =. 9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为

A. 105

B. 16

C. 15

D. 1 9. C. 13515s =??=

10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=??αβ

αβββ

.

若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ??∈

???

， 且a b 和b a 都在集合2n n ??

∈????

Z 中，则=a b A.

52 B. 32 C. 1 D. 1

2

10. D. =??a b a b b b 2

cos cos θθ

?==a b a b b

，同理有cos θ=b b a a a b 和b a 都在集合2n n ??

∈????

Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取3

π

θ=，则

a b

和

b a

是整数，则

1=

=a b b

a

，则=

a b 1

2

.

输入n

开始 输出s

1,1i s ==

i n <

s s i =?

2i i =+

结束

是

否 图2

图 1

正视图 俯视图

侧视图

5

5

6

3 5

5

6

3

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题） 11. 函数1

x y x

+=

的定义域为 . 11. [)

()1,00,-+∞. 10100

x x x x +≥??≥-≠?

≠?且，即函数1

x y x

+=的定义域为[)()1,00,-+∞.

12. 若等比数列{}n a 满足2412

a a =

，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24

135314

a a a a ==

13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）

13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，

222212341

[(2)(2)(2)(2)]14

s x x x x =

-+-+-+-=， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤ 则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θ

θ

?=??

=??（θ为参数，02πθ≤≤）和2

1222

x t y t

?=-????=-??（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .

14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（05x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-

225

1

x y y x ?+=??=-?2x =或1x =-（舍去）

，则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1). 15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，

D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .

15.

mn . 由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ， AB AD AC AB

=，则2

AB AC AD mn =?=，即AB mn =. 图3

P

A

B

C

D

O

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

已知函数()cos 46x f x A π??

=+ ???，x ∈R ，且23f π??

= ???

（1）求A 的值； （2）设0,

2παβ??

,∈????，4304317f απ??+=- ???，28435f βπ?

?-= ??

?，求cos()αβ+的值.

16. 解：（1）2cos cos 2312642f A A A ππππ????

=+===

? ?

????

，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα?

????

?+

=++=+=-=- ? ? ??

????

?，即15sin 17α=

2842cos 2cos 3665f ππβπββ???

?-=-+== ? ????

?，即4cos 5β=

因为0,

2παβ??,∈????

，所以28cos 1sin 17αα=-=，2

3sin 1cos 5βα=-= 所以8415313

cos()cos cos sin sin 17517585

αβαβαβ+=-=?-?=-

17.（本小题满分13分）

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，

[70,80)，[80,90)，[90,100].

（1）求图中a 的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成 绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ） 与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求 数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段

[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) :x y

11:

21:

34: 4:5

图4

频率组距

0.04

0.030.02

a

50 60 70 80 90 100 成绩

P

A

B

C

H F

E

D 图5

17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573?+?+?+?+?=（分） （3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055?=

数学成绩在[60,70)的人数为：1

1000.4202??

= 数学成绩在[70,80)的人数为：4

1000.3403??=

数学成绩在[80,90)的人数为：5

1000.2254

??=

所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=

18.（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，

F 是CD 上的点且1

2

DF AB =

，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2）若1PH =，2AD =，1FC =，求三棱

锥E BCF -的体积；

（3）证明：EF ⊥平面PAB .

18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，

所以PH AB ⊥

因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =

所以PH ⊥平面ABCD

（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH

因为PH ⊥平面ABCD

所以EG ⊥平面ABCD

则1122

EG PH =

= 111

332

E B C

F B C F

V S E G F C A D E G -?=?=????=2

12

（3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 因为E 是PB 的中点

所以1//

2ME AB = 因为1

//2

DF AB =

P

A

B

C

H F E D

G

M

所以//ME DF =

所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥

因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =

所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PAB

19. （本小题满分14分）

设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*

n ∈N .

（1）求1a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-

因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =

（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+ 所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即

12

22n n a a ++=+(2)n ≥

求得123a +=，226a +=，则

212

22

a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列 所以1232n n a -+=? 所以1

322n n a -=?-，*n ∈N

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)

P 在1C 上.

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，

点(0,1)P 代入椭圆22

221x y a b

+=，得211b =，即1b =，

所以2

2

2

2a b c =+=

所以椭圆1C 的方程为2

212

x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，

2

21

2

x y y kx m ?+=???=+?

，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222

164(12)(22)0k m k m ?=-+-= 整理得2

2

210k m -+= ①

24y x

y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以2

2

2

(24)40km k m ?=--= 整理得1km = ②

综合①②，解得222k m ?=???=?

或222

k m ?=-

??

?=-? 所以直线l 的方程为222y x =+或222

y x =--

设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.

（1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++

229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ?=+-=-+=--

① 当1

03

a <≤

时，0?≥， 方程()0g x =的两个根分别为213393094a a a x +--+=，22339309

4a a a x ++-+=

所以()0g x >的解集为22339309339309

(,)(,)44a a a a a a +--+++-+-∞+∞

因为12,0x x >，所以D A B ==22339309339309

(0,)(,)44

a a a a a a +--+++-++∞

② 当

1

13

a <<时，0?<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==(0,)+∞ 综上所述，当103a <≤时，D =22339309339309

(0,)(,)44

a a a a a a +--+++-++∞；

当

1

13

a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =

① 当1

03

a <≤

时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

x (0,)a a

1(,)a x 2(,)x +∞ ()f x ' +

0 -

+

()f x

↗

极大值

↘

↗

所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点

② 当

1

13

a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：

x (0,)a a

(,1)a 1

(1,)+∞ ()f x ' +

0 -

0 +

()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当1

03

a <≤

时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当

1

13

a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =