数学思想方法在解题中的应用 (1)

数学思想方法在解题中的应用

在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。

例1. 已知方程()m x m x 222110+++=有实数根，求m 的取值范围。

分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。

解：（1）当m 20=，即m =0，方程为一元一次方程x +=10，有实数根x =-1；

（2）当m 2

0≠，即m ≠0时，方程为二次方程。由有实根的条件得： ()?=+-=+≥≥-214410

14

22m m m m 所以m ≥-14

，且m ≠0 综合（1）、（2），得：m ≥-

14 评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种

（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。

例 2. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程mx x 2

440-+=与x mx m m 2244450-+--=的根都是整数。

解析：由于给出的关于x 的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m ≠0。又由于方程均有实数根，所以

()?12

4440=--?≥m

解得：m ≤1

又()()

?2224414450=--??--≥m m m 解得：m ≥-54

所以54

1≤≤m 又m 是整数，且m ≠0，且m =-1或1

当m =-1时，方程mx x 2440-+=为x x 2440+-=，解得方程的根为x =-±222，它的根不是整数，故m =-1舍去。

当m =1时，方程mx x 2440-+=的根为x x 122==，方程x mx m m 2244450-+--=根为x x 1251==-，，均为整数，所以m =1。

评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。

例3. 已知关于x 的方程：()x m x m 2

2

240---= （1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

（2）若这个方程的两个实数根x x 12、满足x x 212=+，求m 的值及相应的x x 12、。 解：（1）()[]()?=----?? ??

?=-+m m m 244212222 所以不论m 取何值，总有()2102m -≥

所以()21202

m -+>，即?>0

所以方程总有两个相异的实根。 （2）因为x x m 122

4

0·=-≤ 所以x x 1200≤≥，或x x 1200≥≤，

①若x x 1200≤≥，，则x x 212=-+

所以x x 122+=

所以m =4

此时x x 2240--= 所以x x 121515=+=-，

②若x x 1200≥≤，，则-=+x x 212

所以x x 122+=-

所以m =1，此时x x 220+=

所以x x 1202==-，

评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。

例4. 若实数a 、b 满足a a b b 22850850-+=-+=，，求

b a a b --+--1111

的值。

解：由方程根的定义，知a 、b 是方程x x 2850-+=的两个根

所以a b ab +==85， 所以()()()b a a b a b a b ab ab a b --+--=+-+-+-++=-11112221

202

事实上，题设中的a 与b 是可以相等的，当a b =时，原式＝2

综上所述：当a b ≠时，原式=-20，当a b =时原式＝2

评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。

从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）

归纳并作出结论。