山东省济南第一中学2017届高三数学上学期期末考试试题文

2 侧视图

俯视图 第3题图

1

1 济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试

高三数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟， 注意事项：

1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内.

2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚.

3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效.

4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第I 卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则A

B =( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．[1,2)-

D ．(1,2)- 2．若复数z 满足(1)42(z i i i +=-为虚数单位），则||z =( ) 23 5103．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )

A. 32cm 3

3cm C. 333cm D. 3

3cm

4．已知函数()sin()(0,)2

f x x π

ω?ω?=+><

的最小正周期为π，且其图像向左平移

3

π

个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12

x π

=

对称 B ．关于直线512

x π

=

对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12

π

对称

5．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-??

-+???

≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6.命题“2[1,2],0x x a ?∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.4a ≥

B.4a ≤

C.5a ≥

D.5a ≤

7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]

x ∈时,2()log (1f x x =+）,则(31)f =( )

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2 8. 已知向量(cos sin )=x,x a ，(2,2)=b ，85?=

a b ，则cos()4

x π

-=( ) A.3

5

-

B.45

-

C.

35

D.

45

9. 已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把ACD ?折起，则三棱椎D ABC -的外接球表面积等于( ) A.8π

B.16π

C.482π

D. 64π

10．已知圆O ：2

2

2

x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为2

0ax by r ++=，那么( ) A

．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切 C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为_______.

12．若函数()()

2

ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为．

13.在△ABC 中，

cos cos =b C c B

a

+_______．

14.在区间[]9,0上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等

式21log 2x ≤≤的概率为__________．

15．已知双曲线2

2221(0,0)y x a b a b

-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲

线的离心率为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知向量2

2cos ,3m x =（），1,sin 2n x =（），函数()f x m n =?． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）在?ABC 中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，且()3,1f C c ==，32=ab ，且b a >，

求b a ,的值．

17.（本小题满分12分）

某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手在场上的位置是否有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

有关系 无关系 不知道 40岁以下 800 450 200 40岁以上（含40岁）

100

150

300

（I ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“有关系”态度的人中

抽取45人，求n 的值；

（II ）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任

选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；

（III ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、

9.0、8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率。

18.（本小题满分12分）

如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都是2， D 是侧棱CC 1上任意一点，E 是A 1B 1的中点。 （I ）求证：A 1B 1//平面ABD ； （II ）求证：AB ⊥CE ；

（III ）求三棱锥C-ABE 的体积。

19．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1

13

n n S a +=)(*∈N n ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，1223

1

111

n n n T b b b b b b +=+++

，求n T 20.（本小题满分13分）

已知椭圆C :22

221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；

（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ?的面积为36

13

，求直线AB 的方程. 21.（本小题满分14分）

已知函数2

()e ()x

f x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.

第18题图

济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试

高三数学试题（文科）答案

一、 选择题

1-5CDBCB 6-10 CCDBA 二、 填空题

11. 3 12. 0 13.1 14.29

15. 62

三、 解答题

16.（1）22

()(2cos ,3)(1,sin 2)2cos 32f x m n x x x x =?=?=

cos 21322sin(2)16x x x π

=++=++. ……………………3分

故最小正周期22

T π

π=

=……………………5分 (2）31)6

2sin(2)(=++

=π

C C f ，1)6

2sin(=+

∴π

C ，

C 是三角形内角，∴2

6

2π

π

=

+C 即：.6

π

=

C ……………………

7分

2

32cos 222=-+=∴ab c a b C 即：72

2=+b a ． (9)

分

将32=ab 代入可得：712

22

=+

a

a ，解之得：32=a 或4, 23或=∴a ，32或=∴

b ……………………11分 3,2,==∴>b a b a ……………………12分

17.解：（Ⅰ）由题意，得n

300

15010020045080045100800+++++=+

100=∴n …………………………3分

（Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则

5

300200200m

=+，解得m=2. ……5分

就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作,3,2,1;2,1B B B A A 则多中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A 共10个……………………………………………………………………………7分 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个

所以所求事件的概率10

7

=

p …………………………………………10分 （Ⅲ）总体的平均数为9)2.80.93.97.86.92.96.84.9(8

1

=+++++++=

x 那么与总体平均数之差的绝对超过0.6的数只有8.2，所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为

8

1

.…………………………………………12分 18解：（Ⅰ）证明：由正三木棱住的性质知11B A ∥AB ，

因为ABD B A ABD AB 平面，平面??11，

所以11B A ∥平面ABD.……………………………………4分 （Ⅱ）设AB 中点为G ，连结GE ，GC 。

GC AB G ABC ⊥∴?为中心，为正三角形，且

又EG ∥1AA ，GE AB AB AA ⊥∴⊥,1 又GEC AB G GE CG 平面所以⊥=?,

而CE AB GEC CE ⊥?，所以平面……………………………………8分 (Ⅲ)由题意可知：ABC ABC E ABE c S EG V V ?--??=

=3

1

3

32232221231=?????=……………………………12分 19.17.（1） 当1n =时，11a s =，

由11113

134

S a a +=?=， ……………………1分

当2n ≥时，11111113()0131

3n n n n n n n n S a S S a a S a ----?+=???-+-=??+=??

114n

n a a -?=

∴{}n a 是以34为首项，1

4

为公比的等比数列． ……………………4分 故1311

()3()444

n n n a -=

=)(*∈N n …………………6分 （2）由（1）知11111

1()34

n n n S a +++-=

=， 14141

log (1)log ()(1)4

n n n b S n ++=-==-+………………8分

11111

(1)(2)12n n b b n n n n +==-

++++

n T =1223

111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++???+=-+-+???+-=-

+++

………………12分 20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知：1c ，1

2

c a =，所以2a

.

所以2

22

3b

a c .

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=，左顶点P 的坐标是(2,0). ……………………………………4分

（Ⅱ）根据题意可设直线AB 的方程为1x

my ，1122(,),(,)A x y B x y .

由22

1,43

1

x y x my 可得：2

2

(34)690m y my .

所以22

3636(34)

0m m ?

，12

2

634

m

y y m ，12

2

934

y y m

.

……………………………………7分

所以PAB ?的面积2

121

2

1211

13()42

2

S

PF y y y y y y

……………………………………9分

22

223636

181

()23434

m m m m .

………………………………………10分 因为PAB ?的面积为

3613

， 所以

22124

13

m . 令2

1t

m ，则

2

2(1)31

13

t t t

.

解得11

6

t （舍），22t .

所以3m

.

所以直线AB 的方程为+310x y 或310x y .

……………………………………13分 21（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由2

()e ()x

f x x ax a =+-可得

2'()e [(2)]x f x x a x =++. ………………………………………2分

当1a =时,(1)e f = ,'(1)4e f =.………………………………………4分 所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-，

即4e 3e y x =-. ………………………………………6分 （Ⅱ）令2

'()e [(2)]0x

f x x a x =++=，

解得(2)x a =-+或0x =. ………………………………………8分 当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.

所以()f x 的最小值为(0)f ＝a -; ………………………………………10分 当(2)0a -+>，即2a <-时,()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表