立方和公式
立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
推导过程：
完全立方公式
(a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3
立方和累加
正整数范围中
注：可用证明
公式证明
迭代法一
我们知道：
0次方和的求和公式
，即
1次方和的求和公式
，即
2次方和的求和公式
，即
——，此公式可由同种方法得出，取公式
，迭代即得。
具体如下：
(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1
利用上面这个式子有：
23 - 13= 3×12+ 3×1 + 1
33 - 23= 3×22+ 3×2 + 1
43 - 33= 3×32+ 3×3+ 1
53 - 43= 3×42+ 3×4 + 1
……
(n+1)3 - n3= 3×n2 + 3n + 1
把上述各等式左右分别相加得到：
(n+1)3-13= 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式：
系数可由来确定
那么就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入，
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
因式分解证明
几何验证
图象化立方和公式
透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：
把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：
要得到
，可使用
的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：
·
·
·
把三个部分加在一起，便得：
=
=
之后，把
减去它，便得：
公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：=
可透过，得到：
=
=
这样便可证明：
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
立方和与立方差公式
[文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3 ＝a3-b3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字
[讲解]立方和与立方差公式
[讲解]立方和与立方差公式 [文件] sxcdja0025.doc [科目] 数学 [年级] 初一 [章节] [关键词] 立方和/立方差 [标题] 立方和与立方差公式(一) [内容] 立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算; 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点:公式的推导. 难点:公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? 2222(公式1:(a+b)(a-b),a-b，公式2:(a?b),a?2ab+b，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 2222提问:对于(a+b)(a-ab+b)，(a-b)(a+ab+b)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算
22(a+b)(a-ab+b) 322223,a+ab-ab-ab+ab+b 33,a+b 22(a-b)(a+ab+b) 322223,a-ab+ab-ab+ab-b 33,a-b 根据学生的板演提问: 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个 负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例变式练习 例计算: 2 (1)(3+2y)(9-6y+4y);
专题立方和差公式和差的立方公式
专题立方和差公式和差 的立方公式 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5)()12528 x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算：
专题立方和差公式和差的立方公式
专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5) ()12528x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算 23322332(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)1181261x x x x x x x x x ++=+=+?+?+=+++。 例2 计算： （1）3639 (1)(1)(1)x x x x -+++； （2）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-++-+； （3）2222(2)(24)x y x xy y +-+；
立方和与立方差公式
（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明： 1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。 2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。 第二阶梯 [例1]利用乘法公式计算： (1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2) (3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6) 提示： （1）小题可两次使用平方差公式； （2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式； （3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式 （4）小题两次使用立方差公式。 参考答案： (1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81 (2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4 (3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64
10平方差公式 立方和与立方差公式
平方差公式完全平方公式立方和与立方差公式 一、学习目标 熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算 二、学习要求 1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。 2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。 3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。 4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。 三、例题分析 第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2 -a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案：
(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2
立方和与立方差
利用立方和立方差公式进行因式分解 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x + (2) 30.12527b - 分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+ 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式： (1) 3 4 381a b b - (2) 76 a a b - 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6 6 a b -， 可看着是32 32 ()()a b -或23 23 ()()a b -．
解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++． (2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+- 强化练习 1．因式分解下列各式：(1) 3 1x - (2) 338a b + (3) 66x y - 2．把下列各式分解因式： (1) 3 27a + (2) 38m - (3) 3278x -+ (4) 33 11864 p q - - (5) 3 3 18125x y - (6) 333 1121627 x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 3 4 xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2 3 23 ()a m n a b +- (4) 2 2 3 2 (2)y x x y -+强化练习答案 1． (1) 3 1x -=33 1x -=22(1)(11)x x x -+?+=2(1)(1)x x x -++ (2) 338a b +=33(2)a b +=22[(2)][(2)(2)]a b a a b b +-?+ (3) 66x y -=3232()()x y -=3333()()x y x y +- 2．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++ 222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216 p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c - +-+-+++-+3．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 立方和与立方差公式 1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3 两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差.
立方和与立方差公式(一)
立方和与立方差公式(一) 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a 2-b 2，公式2：(a ±b)＝a 2±2ab+b 2，公式中的字母可以表示数、单 项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a 2-ab+b 2)，(a-b)(a 2+ab+b 2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不 能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+a 2b-a 2b-ab 2+ab 2+b 3 ＝a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3-a 2b+a 2b-ab 2+ab 2-b 3 ＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例 变式练习 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)；
立方和与立方差练习题
立方和与立方差习题 一、公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3=a3+b3． (a-b)(a2+ab+b2)=a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3=a3-b3． 二、运用乘法公式计算： 1、(l)(3+2y)(9-6y+4y2)； (5)(x-3)( )=x3-27；(6)(2x+3)( )=8x3+27； (7)(x2+2)( )=x6+8； (8)(3a-2)( )=27a3-8． 三、用立方和与立方差公式把下列各式分解因式 （1）1 64 2721 333 x a b --- （）（3）()() x y x y x y m m +--+ 3333 4 （）
（5）8 13 3b a + （6）8 273 3b a - 四、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a 2+b 2 (2) a 2-ab+b 2 (3) (a-b)2 (4) a 3+b 3 1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5 ab 2)； （3 ） （4） 课堂练习 1填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27； (3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)( )(4 1 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的是[ ] A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3； B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3 ； C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3； D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的是[ ] A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)； B ．(m-n)(m 2+n 2)； C ．(x+1)(x 2-x+1)； D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)
立方差公式
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 推导过程 1.证明如下： (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 所以a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2) =(a-b)(a-b)2+3ab(a-b) =(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2) 2.（因式分解思想）证明如下： a3-b3=a3-a2b-b3+a2b =a2(a-b)+b(a2-b2) =a2(a-b)+b(a+b)(a-b) =(a-b)[a2+b(a+b)] =(a-b)(a2+ab+b2) 立方和公式及其推广： (1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) (2) a n+ b n=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×b+...+(-1)^(r-1)×a^(n-r)×b^(r-1)+...+ b^(n-1)](n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数) (后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。 a n表示a的n次方。 字母表达
立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加 正整数范围中
注：可用数学归纳法证明 2公式证明编辑 迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 ——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下：
(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3+ 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32+ …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得13 + 23 + 33+ …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二 取公式： 系数可由杨辉三角形来确定 那么就得出： …………⑴ …………⑵
立方和与立方差公式
第一阶梯 [例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算： (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示： 刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 参考答案： (1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2 (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4 (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明： 平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： ①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式 ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b） 2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算 (1)(x+5)2 (2)(2-y)2 (3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2 提示： 在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案： (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25 (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2 (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2 (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明： 1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式(二) 教学目标 1．使学生能灵活运用乘法公式进行计算； 2．注意培养学生分析、解决问题的能力，以及综合运用知识的能力． 教学重点和难点 综合利用乘法公式进行计算． 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 1．(a+b)乘以什么式子得到a3+b3？ (a-b)乘以什么式子得到a3-b3？ 通过上述提问，板书立方和与立方差公式． 2．下列各式，哪些能用立方和或立方差公式计算？哪些不能用？能用的要算出结果(1)(m-5)(m2+5m+25)；(2)(x+3)(x2+3x+9)； (3)(2x2+7)(4x2-14x+49)；(4)(3a+5)(9a2-15a+5) 二、讲授新课 例计算： (1)(x3-1)(x6+x3+1)(x9+1)； (2)(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)； (3)(x+2y)2(x2-2xy+4y2)2．
先由学生观察、讨论解题方法，然后由教师根据学生的回答板书，并要求说出运算中每一步的依据． 解：(1)原式=(x9-1)(x9+1) =x18-1． (2)原式=(x+1)(x-1)[(x2+1)+x][(x2+1)-x] =(x2-1)［(x2+1)2-x2］ =(x2-1)(x4+x2+1) =x6-1； 或原式=［(x+l)(x2-x+1)］[(x-1)(x2+x+1)] =(x3+1)(x3-1) =x6-1； (3)原式=[(x+2y)(x2-2xy+4y2)]2 =(x3+8y3)2 =x6+16x3y3+64y6． 三、课堂练习 1．运用乘法公式计算： (1)(a+b)(a2-ab+b2)(a6-a3b3+b6)； (2)(a+2)(a-2)(a2-2a+4)(a2+2a+4)． 2．先化简，再求值． (x-y)2(x2+xy+y2)2-(x3+y3)(-x3+y3)，其中x=1，y=-1． 四、小结 1．大家在遇到多项式乘法问题时，应努力观察，发现机会，大胆使用乘法公式，这样可以简便运算．
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式 教学目标 1 使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2 注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力. 教学重点和难点 重点：公式的推导. 难点：公式的正确运用. 课堂教学过程设计 一、从学生原有认知结构提出问题 前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么? (公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式 语言叙述略) 二、师生共同研究立方和与立方差公式 提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算 (a+b)(a2-ab+b2) ＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 ＝a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) ＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a 3-b 3 根据学生的板演提问： 1 这两道多项式乘法计算的算式有什么特点? (都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2 二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3 比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同? (乘积项不一样 完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4 等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系? (左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5 比较这两个等式的异同 (两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同) 根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式 三、运用举例 变式练习 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a-21b 2)(25a 2+41b 4+2 5ab 2)； (3)(2x+1)(4x 2+2x+1)
立方和与立方差公式
立方和与立方差公式 1、(a+b)(a 2-ab+b 2) ＝a 3+b 3 两数的和乘以它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和. 2、(a －b)(a 2+ab+b 2) ＝a 3－b 3 两数的差乘以它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差. 例 计算： (1)(3+2y)(9-6y+4y 2)； (2)(5a- 21b 2)(25a 2+41b 4+25ab 2)； （3 ） （4）
课堂练习 1 填空，使之符号立方和或立方差公式： (1)(x-3)( )＝x 3-27； (2)(2x+3)( )＝8x 3+27； (3)(x 2+2)( )＝x 6+8； (4)(3a-2)( )＝27a 3-8 2 填空，使之符号立言和或立方差公式： (1)( )(a 2+2ab+4b 2)＝__________； (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)＝__________； (3)( )(4 1 -xy+4y 2)＝__________； (4)( )(m 4+4m 2+16)＝__________ 3、下列等式能够成立的 是 [ ] A ．(a+b)(a 2+2ab+b 2)=a 3+b 3； B ．(a-b)(a 2-ab+b 2)=a 3-b 3； C ．(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3； D ．(a-b)(a 2+2ab+b 2)=a 3-b 3． 4、能够用立方和、立方差公式进行计算的 是 [ ] A ．(m+n)(m 3+m 2n+n 3)； B ．(m-n)(m 2+n 2)； C ．(x+1)(x 2-x+1)； D ．(x 2+1)(x 2-x+1) 5 计算： (1)(y+3)(y 2-3y+9)； (2)(c+5)(25-5c+c 2)； (3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(x 2-y 2)(x 4+x2y 2+y 4) (5)(5-2y)(4y 2+25+10y) (6)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2) (7) (1+4x)(16x 2+1-4x) (8)(x-1)(x 2-x+1)；
立方和立方差公式
立方和立方差公式 知识要点导航： 1.理解并掌握立方和立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ 2233()()a b a ab b a b -++=-； 2.根据题目的特点，通过恒等变形，灵活的运用立方和立方差公式. 3.会运用立方和立方差公式进行因式分解. 典型例题解析： 例1: 计算： （1）2(32)(964)y y y +-+； （2）22151(5)(25)224 x y x xy y -++； （3）2(21)(421)x x x +++。 解：（1）原式=3333(2)278y y +=+； （2）原式=333311(5)()12528 x y x y -=-； （3）原式=322328424218841x x x x x x x x +++++=+++。 归纳：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“2x +”改成“2x -”则利用公式计算；若将第二个因式 中“2x +”改成“4x +”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算233223(21)(21)(21)(2)3(2)13(2)11x x x x x x ++=+=+?+?+ 3281261x x x =+++ 例2:因式分解： （1）33125x y +； （2）427a a -； （3）66x y -。 解：（1）原式3322()5(5)(525)xy xy x y xy =+=+-+；
（2）原式3332(127)[1(3)](13)(139)a a a a a a a a =-=-=-++ （3）原式32323333()()()()x y x y x y =-=+- 2222()()()()x y x xy y x y x xy y =+-+-++。 归纳：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。 例3;设5,1x y xy +==-,试求33x y +的值。 解：3333()3()53(1)5140x y x y xy x y +=+-+=-?-?=。 归纳：对于立方和公式3322()()a b a b a ab b +=+-+，我们不难把它变成： 332()[()3]a b a b a b ab +=++-，即333()3()a b a b ab a b +=+-+，再应用两数和、两数积解题较为方便。 基础过关精练： 1．填空，使之符合立方和或立方差公式： (1)(x －3)( )＝x 3－27； (2)(2x ＋3)( )＝8x 3＋27； (3)(x 2＋2)( )＝x 6＋8； (4)(3a －2)( )＝27a 3－8． 2．填空，使之符合立方和或立方差公式： (1)( )(a 2＋2ab ＋4b 2)＝____ __； (2)( )(9a 2－6ab ＋4b 2)＝___ ___； (3)（ ）＝____ ____； (4) ( )(m 4＋4m 2＋16)＝____ ____。 3.计算： （1）2(4)(164)a a a +-+； 221(4)4 x xy y -+
立方和差公式
立方和，差公式：两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）项立方和公式：三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍。注意：下方文本中出现圆圈不用在意，圆圈为文本制作间隔符号。（例如：） 立方和公式： a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²) a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²) 立方差公式： a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²) 3项立方和公式： a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) 推导过程： a³+b³+c³-3abc =(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²) =[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c) =(ab+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) 立方和，差公式： 两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差） 3项立方和公式： 三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍 正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2 1迭代法： 我们知道： 0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n 1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2 2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。