高中文科经典导数练习题及答案.docx
高二数学导数单元练习
一、选择题
1.一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度
是（）
A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒
2.已知函数 f ( x)= ax2＋ c,且f(1)=2,则 a 的值为（）
A.1
B.2
C.－ 1
D. 0
3 f (x) 与 g( x) 是定义在R 上的两个可导函数，若 f ( x) ,g( x) 满足 f ' (x)g ' ( x) ,则
f (x) 与 g( x) 满足（）
A f (x) 2 g( x)
B f ( x)g( x) 为常数函数
C f ( x)g ( x)0
D f ( x)g( x) 为常数函数
4.函数 y =x3 + x 的递增区间是（）
A(,1)B(1,1) C (,)D(1,)
5.若函数 f(x)在区间（ a， b）内函数的导数为正，且f(b)≤ 0，则函数 f(x)在（ a， b ）内有（）
A. f(x)〉0
B. f(x)〈0
C.f(x) =0
D. 无法确定
6. f '( x0 ) =0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
7．曲线f ( x) = x3+ x - 2 在 p0处的切线平行于直线y = 4x- 1，则 p0点的坐标为（）
A(1,0)B(2,8)
C(1,0)和 (1,4)D(2,8) 和 (1, 4)
8．函数y13x x3有（）
A. 极小值 -1 ，极大值1
B.极小值 -2 ，极大值 3
C. 极小值 -1 ，极大值3
D.极小值 -2 ，极大值 2
9 对于R上可导的任意函数 f ( x) ，若满足( x 1) f ' ( x) 0 ，则必有（）
A f (0) f (2) 2 f (1)
B f (0) f (2) 2 f (1)
C f (0) f (2)2f (1)
D f (0) f (2) 2 f (1)
y y f (x )
二、填空题
11．函数y x3x2x 的单调区间为b
O
a x
___________________________________.
12．已知函数f ( x)x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的
取值范围是 .
13. 曲线 y x
3
4 x 在点 (1, 3) 处的切线倾斜角为 __________.
14. 对正整数 n ，设曲线 y
x n (1 x) 在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为
a n ，则数列
a n 的
n 1
前 n 项和的公式是
.
三、解答题：
15 ．求垂直于直线
2x 6 y
1 0 并且与曲线 y x 3 3x
2 5 相切的直线方程
16．如图，一矩形铁皮的长为 8cm ，宽为 5cm ，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
17．已知 f
x ax 4 bx 2 c
的图象经过点
(0,1) ，且在 x 1 处的切线方程是 y
x 2 ，请解答下
( )
列问题：
（ 1）求
（ 2）求
y
f (x) 的解析式； y
f (x) 的单调递增区间。
18．已知函数
f ( x)
ax 3
3
( a 2) x 2 6x
3
2
（ 1）当 a 2 时，求函数
f ( x) 极小值；
（ 2）试讨论曲线 y
f (x) 与 x 轴公共点的个数。
20. 已知 x
1 是函数 f ( x) mx 3
3(m 1)x 2
nx 1 的一个极值点，其中 m, n R, m 0 ，
（ 1）求 m 与 n 的关系式；
（ 2）求 f ( x) 的单调区间；
（ 3）当 x
1,1 时，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于
3m ，求 m 的取值范围 .
参考答案
一、选择题 AACACBBCCCA
二、填空题
11．递增区间为：（ - ∞， 1
），（ 1， +∞）递减区间为（
1 ，1） 3
3
（注：递增区间不能写成： （ - ∞， 1
）∪（ 1，+∞））
3
12． (
,0)
13．
3
4
14．2n 12y/x 22n 1 n 2 , 切线方程为 : y2n2n1n 2 (x2) ，
令 x0 ，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0n 1 2n
a n
2n，则数列，所以
n 1
a n的前 n 项和S n 2 12n2
n 12 12
n1
三、解答题：
15．解：设切点为P(a,b) ，函数 y x33x2 5 的导数为 y'3x26x
切线的斜率k y' |x a3a26a3，得 a 1 ，代入到y x33x25
得 b3，即 P(1,3) ， y33( x1),3x y60
16．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x ，宽为 52x V '12 x252x40,令V '0, 得x1,或 x10， x10（舍去）
33
V
极大值V (1)18 ，在定义域内仅有一个极大值，
17．解：（ 1）f (x)ax 4bx 2 c 的图象经过点(0,1) ，则c 1 ，
切点为 (1,1) ，则 f ( x)ax 4bx 2 c 的图象经过点 (1,1)
得 a b c1,得 a 5
, b9 22
（ 2）f'(x) 10 x39x 0, 3 10x 0, 或 x 3 10
1010
单调递增区间为(3
10
,0),(
3
10 ,) 1010
18．解：（1）f'( x)3ax23(a2) x63a( x2)( x1),f ( x) 极小值为 f (1)a
a2（ 2）①若a0 ，则 f (x)3(x1) 2， f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点；
②若 a0 ， f (x) 极大值为 f (1)a0 ， f ( x) 的极小值为 f ( 2
)0，
2a
f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点；
③若 0 a 2 ，f ( x)的图像与x轴只有一个交点；
④若 a 2 ，则 f ' (x) 6( x 1)2
0 ， f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点； ⑤若 a
2 ，由（ 1）知 f ( x) 的极大值为
f ( 2
)
4(
1
3)2 3 0 ， f ( x) 的图像与 x 轴只有一
a
a
4 4
个交点；
综上知，若 a
0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点；若
a
0， f (x) 的图像与 x 轴有三个交点。
19．解：（ 1） f (x)
x 3 ax 2 bx
c, f ' (x) 3x 2
2ax
b
由 f '
(
2 ) 12 4 a b 0， f '
(1) 3 2a b 0 得 a
1
,b
2
3 9 3
2
f ' ( x) 3x 2
x 2
(3 x 2)( x 1) ，函数 f (x) 的单调区间如下表：
极大值
极小值
所以函数
f ( x) 的递增区间是 (
, 2
) , 递减区间是 (
2
)与(1,
,1) ；
1 x 2
3 2
2) 3
22
（ 2） f ( x)
x 3 2x c, x
[ 1,2] ，当 x
时， f ( c
2
3 3
27
为极大值，而
f (2)
2 c ，则 f (2) 2 c 为最大值，要使 f ( x)
c 2 , x [ 1,2]
恒成立，则只需要
c 2
f (2)
2
c ，得 c
1,或c
2
20．解 (1) f
(x) 3mx 2 6( m 1)x n 因为 x
1 是函数 f ( x) 的一个极值点 ,
所以 f
(1) 0 , 即 3m 6(m 1) n
0 ，所以 n 3m
6
（ 2）由（ 1）知， f ( x)
3mx 2 6(m 1)x
3m 6 = 3m(x 1) x
1 2
m
当 m
0时，有 1 1
2 ，当 x 变化时，
f ( x) 与 f ( x) 的变化如下表：
m
1
调调递减 极小值
单调递增 极大值
单调递减
故有上表知，当
m
0 时， f (x) 在
,1
2 单调递减，
m
在
(1
2
,1)单调递增，在 (1,
) 上单调递减 .
m
（ 3）由已知得 f ( x)
3m ，即 mx 2
2(m 1)x 2 0
又 m 0 所以 x
2
2
(m 1)x
2 0 即 x 2
2
(m 1) x
2 0, x 1,1 ①
m
m
m
m
设 g( x) x22(11
) x2，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，m m
g (1)01
22
20
所以m m解之得
g (1) 010
4
m 又m
3
4
m0
所以
3
即 m 的取值范围为4 ,0 3