摩擦模型及其磁滞特性的研究

摩擦模型及其磁滞特性的研究1

张晓巧，王兴松

东南大学机械工程学院，江苏南京 （210096）

E-mail: linlangqiao820926@https://www.360docs.net/doc/f05083421.html,

摘 要：摩擦是存在于两接触面间的一种非常复杂的现象，直接影响运动控制系统的定位精度和速度。根据运动控制发展的需要，本文提出将机械伺服系统中出现的摩擦现象与磁滞现象综合考虑的理念。首先介绍了摩擦非线性环节典型的静力学模型和动力学模型，以及各种模型的特点及其对摩擦特征的描述能力，重点剖析了用偏微分方程描述的动力学模型，在速度反向时摩擦力的滞后现象，以及低速时的Stribeck 现象。最后在模型分析的基础上，通过仿真和实验研究，验证了摩擦具有磁滞特性。研究工作为摩擦、磁滞的综合建模和统一补偿控制，提供了理论基础。

关键词：摩擦，静力学模型，动力学模型，摩擦力滞后，磁滞特性

1. 引言

摩擦存在于所有具有相对运动或相对运动趋势的两接触面之间，是一种复杂的、非线性的、具有不确定性的自然现象。有时我们需要利用摩擦，如刹车、离合器等，但更多的时候我们要减小摩擦影响。在机械伺服运动系统中，由摩擦非线性引起的运动特性将直接影响加工定位的精度和速度。

随着先进装备运动精度要求的提高和数字控制的广泛应用，对摩擦补偿的研究也更具有其经济实用性。许多学者根据摩擦现象的动力学特性提出了相关的数学模型，并在此基础上运用控制算法实现摩擦的补偿，取得一定成效。

但在多数实际机械系统中，摩擦和其它非线性现象往往同时存在、同时作用（如间隙、饱和、磁滞等），比如用压电微驱动系统进行高精度误差补偿时，会引入磁滞问题。如果对它们进行分别建模、补偿，由于方法不统一，实际运用困难。基于摩擦本身就具有滞后效应（friction lag ）的特性，作者提出对摩擦、磁滞进行统一建模补偿的理念，以提高精密伺服运动系统的精度。本文主要讨论摩擦模型的描述特点及其磁滞特性。

2. 摩擦数学模型分析

建立准确的摩擦非线性数学模型，对深入认识摩擦现象、进行精确补偿具有重要的意义。因此，有关摩擦建模的研究一直是该领域学者关注的热点。到目前为止，提出的摩擦模型共有30余种，它们为摩擦非线性的补偿研究奠定了

基础。

2.1 摩擦静力学模型

2.1.1 古典摩擦模型

古典摩擦模型[1]首次由达芬奇（1519）提出，

该模型认为摩擦力只与法向负载成比例关系，与

运动方向相反，而与运动速度和接触面无关。后

由库仑(1785)等科学家将其发展完善。随后莫因

1本课题得到国家自然科学基金（50475076）资助

(Morin,1833)引入静摩擦、雷诺(Reynolds,1866)引入粘性流体摩擦，继而形成了在工程中广泛应用的摩擦模型，即库仑摩擦+粘滞摩擦+静摩擦。如图1(c)所示。

库仑模型，又可称sgn 函数模型，即

sgn()c F F v = (1)

该模型完美诠释了达芬奇提出的摩擦假设，并以其简洁的表达式曾一度被广泛用于补偿技术中。但是在运动速度过零点处的摩擦力具有不确定性，可在[],c c F F ?区间取任意值。

19世纪流体动力学的发展引出力与润滑粘度相关的描述。粘性摩擦（viscous friction ）模型的提出首次将速度变量引入到摩擦力表达式中，即

sgn()v v F F v v δ= (2)

粘性模型通常与库仑模型结合形成如图1(b)所示的摩擦特性。其中v δ是几何学参数，当1v δ=时，摩擦力与速度在单向区间成线性关系。

静摩擦（stiction ）描述了物体在静止状态下的摩擦特性，通常比库仑力大。很显然在没有速度的状态下，静摩擦力不能由速度表达式来描述，而是外界力的函数，即

0&sgn()0&e e s s e e s

F if v F F F F F if v F F =

()00&sgn()e s

e F v i

f v e s F F if v F F F otherwise ?≠??=?=???F < (4) 其中()F v 是速度相关曲线函数，用来描述摩擦力与速度的关系特性。目前已提出多种参数化函数形式[2]，比较常用的表达式为

/()()s s v v c s c v F v F F F e ?=+?+F v (5)

其中s v 为Stribeck 速度，如图2所示，即摩擦力负斜率段的初始

切线与库仑力的交点值，该值也直接影响低速段摩擦特性曲线

的陡度。选取指数衰减函数作为静摩擦力到粘滞摩擦的过渡，

能够很好地描述摩擦力的连续性。通过实验测得实际的摩擦力

曲线通常不对称，这主要因为反向时接触面的润滑性质不同。

古典摩擦模型虽然有模型简单，参数容易确定的优点，但它只描述了摩擦与速度的静态关系，不能解释摩擦的磁滞效应，也不能描述随实验条件变化临

界摩擦力变化的现象，以及静摩擦状态下接触面间小的预偏移

(Dahl 效应)现象。这也是这类模型在高精度、低速跟踪控制时，

不能达到理想效果的原因。

2.1.2 Karnopp 摩擦模型

上述模型在不同层次上描述了摩擦力随速度变化的特性，但

都存在一个基本问题，即速度零点的摩擦力描述不确定性。由于

摩擦力在速度零点的不连续性使得其很难检测。

这对于通过由位置

信号求导估算速度的系统，更为复杂。由于测量噪声的存在，离散位置值计算出的速度，可能根本没有零值。为解决这个问题，Karnopp 提出的模型对其进行了修补[3]，巧妙地克服了零速度检测的困难，并消除了静止和滑移时不同状态方程之间的切换问题。如图3所示，该模型通过在较小的速度附近定义一个微小的“粘性”区域士Dv ，当v Dv <时认定（速度死区），摩擦力与作用在系统上的其它合力平衡，直到超过最大静摩擦力时，进入滑动阶段。

0v =karnopp 模型是介于静态模型和动态模型之间的一种简化模型，通过规定静止区间，降低了对速度信号质量的要求，更适合于工程实践。但它与系统其它受力有很大的关系，需要根据不同的系统结构，来剪裁合适的模型。

2.1.3 Armstrong 摩擦模型

Armstrong 模型[1]在修改了古典模型的基础上，考虑了随时间变化的静态阻力和Stribeck 效应，及预滑移运动。模型由三部分组成，通过机械开关或逻辑状态量进行切换，并在切换时初始化参数。

2,,,()1(,)((,)

)sgn()1(()/)(,)()f t c s d v l d s d s a s s a d

x k x v t F F t v F v v t vs t t F F F t γτγγ∞=?=+++?=+?+ （6） 表达式共包含7个参数，所以又称为七参数模型。为速度过零时的驻留时间。(6)式中的滑移摩擦力方程采用速度的延时形式d t (l v t )τ?来替代Stribeck 摩擦力相对应的瞬时速度，以静力学方程的形式体现其动力学特性。

Armstrong 模型虽然能够反映摩擦的动、静态特性，但其实质是将静态模型与动态特性生硬地组合，缺乏明确的物理意义，且存在冗余参数。Armstrong 还应用量纲和摄动分析方法建立了具有5个参数的模型。

2.2 摩擦动力学模型

以上介绍的典型摩擦静力学模型，已经基本描述了摩擦在静力作用下的表现特性。但是随着精密伺服系统和高端硬件技术的发展，基于静摩擦模型的控制精度已达极限，人们对复杂摩擦动力学模型的研究兴趣日趋浓厚。

2.2.1 Dahl 摩擦模型

Dahl 以滚珠轴承伺服控制实验为出发点[4]，发现了类似于固体摩擦的摩擦特性，并由此提出了简单的摩擦数学模型。Dahl 模型是重要的动态模型，在其基础上发展的LuGre 模型和Bliman-Sorine 模型也代表了这一领域的最新成果。

Dahl 从应力-应变曲线出发，用偏微分方程将应力作用过程描述出来，即

(1sgn )c

dF F v dx F

ασ=

? （7）

其中x 代表变形量，F 即摩擦力，c F 为库仑摩擦力，σ

是刚度系数，α参数决定了曲线的形状。当1α=时，

可以得到如图4所示的曲线。曲线在库仑力范围内变

化，当速度反向时，由于sgn 符号函数的作用使得微增量

变大，出现滞后现象。

注意到该模型只与位移量和速度符号相关，而与速度大小无关，这是个重要的特征，为磁滞算子的应用奠定了基础[5]。

将方程变化后得到时间域Dahl 表达式为

(1sgn )c

dF dF dx F v v dt dx dt F ασ==? （8） 该数学模型即处于稳定受力状态下的库仑摩擦模型，与Duhem 磁滞模型[10]相比较，得到近似的方程结构，但是它没有将Stribeck 效应和静态摩擦考虑进去，这也正是后来对该模型进行修整的主要原因。

2.2.2 Bliman-Sorine 摩擦模型

Bliman 和Sorine 模型[6]建立在Dahl 模型的基础上，强调了摩擦力的速度无关性，摩擦力的幅值仅由速度符号及距离变量0()t

s v d ττ=∫决定，即 s s s s

dx Ax Bv ds F Cx =+= （9） 其中变量。不同阶数的模型具有不同的复杂程度，如给定一阶模型为

sgn()s v =v C 11/,/,1f f A B f εε=?==

1111

/()/(1sgn())f f dF dF ds dF F F v f v v f v dt ds dt ds f f εε===?=?v （10） 通过比较可以得到，一阶模型即为1α=时的Dahl 模型，其中11,/c F f f f σε==。也就是说一

阶模型同样不能描述静摩擦及Stribeck 现象。再看二阶模型，

11212

(/)()/()s f f dx 2x x dF dF ds v C f v v f v v dt ds dt ds f f ηεε===??+ （12） 当s →∞时呈指数衰减到对应的动态摩擦力。该模型可以看作由一快一慢两个平行的

Dahl 模型结合而成。快模型的稳态摩擦力大于慢模型，相减后得到摩擦力，同时引出静摩擦峰来表明动力学中的静摩擦现象。

1f f ?2通过模型分析，可以得到当0f ε→时，一阶模型表现为古典库仑摩擦模型，而二阶模型则是库仑与静摩擦组合模型。这里需要指出的是二阶模型所能描述的Stribeck 效应只是在运动开始后一定范围内存在，也就是说当运动速度降低时该效应就会消

失，这与实际应用中的摩擦现象有所偏颇。

2.2.3 LuGre 摩擦模型

对于动态摩擦模型而言，一个重要的评价标准是它是否能够精确地

预测摩擦力矩在零速附近的动态特性，因为在零速附近，摩擦力矩受非

线性因素的影响最大。LuGre 模型[7]在Haessia 及C.Canudas de Wit 提出的

模型基础上，将摩擦现象模拟为接触面上刚毛间的相互作用，如图5所

示。底层刚毛固定，上层刚毛具有弹性，当切向力作用在刚毛上时，

刚毛会象弹簧一样产生变形力。当变形足够大时刚毛才开始滑移。稳态运动下的平均变形量与速度相关，由偏微分方程表示为

00

()1()sgn()ss v dz v z dt g v z g v σσ=?=v （13） 式中代表刚毛的平均变形量。通过选取合适的函数，来定义稳态时的变形量随速度变化情况，即描述低速时表面间的润滑现象以及Stribeck 效应。虚拟微变量的提出，很好地诠释了零速度附近的摩擦特性。

z 2

(/)01()s v v g v e αα?=+z LuGre 模型可描述为

01

()()sgn()()ss dz F z f dt v F g v v f v σσ=++=+ （14） 其中0σ为刚毛的刚度，1σ为阻尼，表示粘性摩擦函数。在速度增加时，由于更多的润滑层被推入接触面中，刚毛的阻尼特性也随之发生变化，因此我们将阻尼定义为速度的衰减函数，使之更符合实际模型。且LuGre 模型在()f v 2

(/)11()s v v v e σσ?=14()/g v v σ<的条件下系统是耗散的，而耗散性是摩擦模型必备的特性[8]。

综上所述，为完整描述复杂的摩擦现象，人们探索总结出了多种模型，且各有不同的侧重点和相应的应用领域，作者试图总结如下： 表1 摩擦模型描述特性

摩擦模型 描述特性

古典摩擦模型 在Coulomb 模型基础上，提出摩擦力的速度相关性

及静摩擦的存在，从而得到不同状态下定值速度

对应的摩擦力，具有不连续性；

(Stribeck 模型) 将静摩擦与粘滞摩擦之间用过渡曲线平滑连接，

实现摩擦的连续性，仍停留在静力学模型阶段；

Karnopp 模型 针对零速附近检测存在的非连续性和不确定性，

构造微小“粘性”区间，降低低速检测要求；

Armstrong 模型 反映摩擦动态与静态特性，但表达式分离，需要

由外界切换变量介入；

Dahl 模型 采用偏微分方程描述摩擦动态过程，稳定状态即

Coulomb 模型，没有包含静摩擦和Stribeck 效应；

Bliman-Sorine 模型 由两族Dahl 模型曲线同时作用生成，变化速度差

构成静摩擦峰以描述Stribeck 效应，但只在一定速

度范围内存在，有区域限制；

LuGre 模型

基于刚毛模型的提出，引入虚拟微变量z ，构造

Stribeck 负斜率段，完整描述了摩擦的动态过程。3. 摩擦的磁滞特性分析

摩擦的滞后效应[9]是指从速度发生变化到摩擦力的变化之间存在时间上的滞后，滞后效应是摩擦力的一个非常重要的特性，它使得摩擦现象变得更加复杂。如图6显示的曲线为速度在某一点附近按正弦规律变化时摩擦力的变化情况，由于滞后效应，在速度递增时的摩

擦力要比速度递减时的摩擦力大。

由于摩擦静力学模型只在特定的点上分析摩擦力的性能，未能

阐明摩擦力连续变化时的特性，所以我们选取更贴近运动学的偏微

分方程来描述。上述各动力学摩擦模型中，偏微分方程均含有速度

符号函数项，所以在速度方向发生变化时，摩擦力曲线也相应变化，

从而构成一定宽度的滞回路线。这与智能材料中发现的磁滞回线特

性类同[10]。

下面以LuGre 模型为基础，对摩擦的磁滞特性进行研究。我

们将驱动转矩加载到一理想转动惯量模型上， u 22d x J F u dt += 其中，1J =F 为摩擦转矩，得到仿真曲线如下图所示。图7为摩擦力与微小变形z 间的曲线关系，力的变化是单向的，将作用力扩展到正负区间时，曲线关于原点对称扩展。图8是摩擦力与速度之间的关系，模型以速度为输入，输出表现为低速Stribeck 效应及滞后。两曲线均表现出明显的磁滞特性。

通过对直线电机直线运动实验台运动数据的采集，得到如图9所示的磁滞曲线，横坐标为微位移量，纵坐标为的摩擦力。其基本图形特性与仿真结果相同，验证了该摩擦模型的正确性。（图中，由于实验系统初始位置的选择不在驱动力零点，使得曲线有一定的偏移，关于原点不对称。）

4. 结束语

本文介绍了摩擦基于传统的静力学模型以及更具实际应用前景的动力学模型，并在摩擦模型的基础上分析了摩擦现象的描述特性及所具有的磁滞特性。仿真和实验证明，摩擦力与运动速度之间存在滞回现象，这为摩擦、磁滞的综合补偿，提供了理论基础，也是作者今后研究工作的重点。

参考文献：

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pp94-123, 1993

Friction Models and Their Hysteresis Characteristics

Zhang Xiaoqiao, Wang Xingsong

(College of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

Abstract

Friction is a very complicated phenomenon arising at the contact of surfaces. And it directly degrades the positioning accuracy and rapidity of a motion control system. To enhance the precision of servo systems, friction should be adaptively compensated. With considering the hysteresis in piezo-based micro-feeding components, it is proposed to compensate friction and hysteresis simultaneously in this paper. Typical static models along with dynamic models for nonlinear friction were first introduced with emphasizing hysteresis properties of these models. And friction-lags observed when the velocity varied was stressed in differential dynamic models, as well as the Stribeck effect at low velocity. Hysteresis characteristics of friction were proved by both simulations and experiments. The results in this paper ensure the correctness to compensate friction and hysteresis simultaneously in practical servo systems.

Keywords：friction, static model, dynamic model, friction lag, hysteresis