人教数学平行四边形的专项培优练习题(含答案)含详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．
①求证：四边形BFDE是菱形；
②直接写出∠EBF的度数；
(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；
(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝3FH；（3）EG2＝AG2+CE2．
【解析】
【分析】
（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．
②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．
（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．
（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，
在△DOE和△BOF中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠∠????∠∠?
＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，
∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，
∴EB ＝ED ，
∴四边形EBFD 是菱形．
②∵BE 平分∠ABD ，
∴∠ABE ＝∠EBD ，
∵EB ＝ED ，
∴∠EBD ＝∠EDB ，
∴∠ABD ＝2∠ADB ，
∵∠ABD +∠ADB ＝90°，
∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，
∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，
∴∠EBF ＝60°．
（2）结论：IH
＝3FH ．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．
∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，
∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，
∴∠JDH ＝∠FGH ，
在△DHJ 和△GHF 中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠∠????∠∠?
＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，
∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，
∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，
∴BE ＝IM ＝BF ，
∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，
∴△MEJ 是等边三角形，
∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°
在△BIF 和△MJI 中，
BI MJ B M BF IM ??∠∠???
＝＝＝，
∴△BIF ≌△MJI ，
∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，
∴IH ⊥JF ，
∵∠BFI +∠BIF ＝120°，
∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，
∴∠JIF ＝60°，
∴△JIF 是等边三角形，
在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，
∴∠FIH ＝30°，
∴IH
＝3FH ．
（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．
理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，
∵∠FAD +∠DEF ＝90°，
∴AFED 四点共圆，
∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，
∴∠ADF +∠EDC ＝45°，
∵∠ADF ＝∠CDM ，
∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，
在△DEM 和△DEG 中，
DE DE EDG EDM DG DM ??∠∠???
＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，
∴GE ＝EM ，
∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，
∴∠ECM ＝90°
∴EC 2+CM 2＝EM 2，
∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，
∴GE 2＝AG 2+CE 2．
【点睛】
考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.
2．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．
【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.
【解析】
试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．
试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；
（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：
考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.
3．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE＝6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′D的长为？
【答案】4
65
5
或22
【解析】
【分析】
分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，过点B′作
B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222
+DN= 3.2 5.6
B N'+；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222
+DN=22
B N'+；
【详解】
如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，
∵∠B=90°，∴AE=2222
AB BE=86
++=10，
∵B′E=BE=6，∴AB′=4，
∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，
在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，
∴AF=5，BF=3，
过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，
∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，
在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222
+DN= 3.2 5.6
B N'+ =4
65
5
；
如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，
过点B′作B′N ⊥AD ，则四边形AFB′N 为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2， 在Rt △CB′N 中，由勾股定理得，B′D=2222+DN =22B N '+ =22 ；
综上，可得B′D 的长为
4655
或22. 【点睛】 本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.
4．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .
（1）求证：DE DF ⊥；
（2）求证：DH DF =：
（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.
（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=?.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于
45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠, 所以DH DF =.
（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得
BD ==.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得
HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=?∠=?，，所以sin 45HN BH ===?.
由cos 45DF EF ===?
，得22EF AB HM =-. 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=?.
∴90EAD FCD ∠=∠=?.
∵CF AE =。
∴AED CFD △△≌.
∴ADE CDF ∠=∠.
∴90EDF EDC CDF EDC ADE ADC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?.
∴DE DF ⊥.
（2）证明：∵AED CFD △△≌，
∴DE DF =.
∵90EDF ∠=?，
∴45DEF DFE ∠=∠=?.
∵90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠，
∴45DBF ∠=?.
∵FH 平分EFB ∠，
∴EFH BFH ∠=∠.
∵45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=?+∠,
45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=?+∠,
∴DHF DFH ∠=∠.
∴DH DF =.
（3）22EF AB HM =-.
证明：过点H 作HN BC ⊥于点N ，如图，
∵正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=?， ∴222BD AB AD AB =+=.
∵FH 平分,
EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，
∴HM HN =. ∵4590HBN HNB ∠=?∠=?，
， ∴22sin 45HN BH HN HM ===?
. ∴22DH BD BH AB HM =-=
-. ∵22cos 45DF EF DF DH ===?
， ∴22EF AB HM =-.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
5．如图，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点，分别延长CO 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD 、OE=2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ．
（1）如图1，若正方形OEFG 的对角线交点为M ，求证：四边形CDME 是平行四边形． （2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图2，连接AG′，DE′，求证：AG′=DE′，AG′⊥DE′；
（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD 的边相交于点N ，如图3，设旋转角为α（0°＜α＜180°），若△AON 是等腰三角形，请直接写出α的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．
【解析】【分析】
（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=1
2 GE
，根据三角形的中位线的性质得到
CD∥GE，CD=
1
2
GE，求得CD=GE，即可得到结论；
（2）如图2，延长E′D交AG′于H，由四边形ABCD是正方形，得到AO=OD，
∠AOD=∠COD=90°，由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90°，由旋转的性质得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根据全等三角形的性质得到AG′=DE′，
∠AG′O=∠DE′O，即可得到结论；
（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形OEFG是正方形，
∴ME=1
2
GE，
∵OG=2OD、OE=2OC，
∴CD∥GE，CD=1
2
GE，
∴CD=GE，
∴四边形CDME是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长E′D交AG′于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90°，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG′=OE′，∠E′OG′=90°，
∵将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，
∴∠G′OD=∠E′OC，
∴∠AOG′=∠COE′，
在△AG′O与△ODE′中，
OA OD
AOG DOE
OG OE
?
?
∠'∠'
?
?''
?
＝
＝
＝
，
∴△AG′O≌△ODE′
∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，
∵∠1=∠2，
∴∠G′HD=∠G′OE′=90°，
∴AG′⊥DE′；
（3）①正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AD相交于点N，如图3，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO-∠ADO=22.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°-45°=45°；
②正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边AB相交于点N，如图4，
Ⅰ、当AN=AO时，
∵∠OAN=45°，
∴∠ANO=∠AON=67.5°，
∵∠ADO=45°，
∴α=∠ANO+90°=112.5°；
Ⅱ、当AN=ON时，
∴∠NAO=∠AON=45°，
∴∠ANO=90°，
∴α=90°+45°=135°，
Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157.5°，
综上所述：若△AON是等腰三角形时，α的值是22.5°或45°或112.5°或135°或157.5°．【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性
质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当△AON 是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点．
6．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：
（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；
（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.
【解析】
【分析】
（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；
（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC ′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；
（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12
OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】
解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0），
∴四边形OABC 是边长为6的正方形，
当α＝45°时，
如图①，延长OA′经过点B ，
∵OB ＝2，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°，
∴A′B ＝626，
∴BD ＝（626）21262=-，
∴CD ＝6﹣（1262-=626，
∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-6）；
（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，
∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，
∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，
∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），
当α＝60°时，
∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，
∴∠C′OM＝30°，
∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，
∴点B′的坐标为)
-+；
333,333
（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，
则K是OB的中点，
∵P为线段BC′的中点，
∴PK＝1
OC′＝3，
2
∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，
∵AK＝2
∴AP最大值为323，AP的最小值为323，
AP+.
∴AP长的取值范围为323323
【点睛】
本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．
7．在ABC 中，ABC 90∠=，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．
()1求证：BD DF =；
()2求证：四边形BDFG 为菱形；
()3若AG 5=，CF 7=，求四边形BDFG 的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8
【解析】
【分析】
()1利用平行线的性质得到90CFA ∠=，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，
()2利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG 为平行四边形，再利用()1得结论即可得证，
()3设GF x =，则5AF x =-，利用菱形的性质和勾股定理得到CF 、AF 和AC 之间的关系，解出x 即可．
【详解】
()1证明：AG //BD ，CF BD ⊥，
CF AG ∴⊥，
又D 为AC 的中点，
1DF AC 2∴=
， 又1BD AC 2
=
， BD DF ∴=， ()2证明：
BD//GF ，BD FG =， ∴四边形BDFG 为平行四边形， 又BD DF =，
∴四边形BDFG 为菱形，
()3解：设GF x =，则AF 5x =-，AC 2x =，
在Rt AFC 中，222(2x)(7)(5x)=+-，
解得：1x 2=，216x (3
=-舍去)， GF 2∴=，
∴菱形BDFG 的周长为8．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．
8．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点（P 与B 、D 不重合），∠APE=90°，且点E 在BC 边上，AE 交BD 于点F ．
（1）求证：①△PAB ≌△PCB ；②PE=PC ；
（2）在点P 的运动过程中，
的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理
由；
（3）设DP=x ，当x 为何值时，AE ∥PC ，并判断此时四边形PAFC 的形状．
【答案】（1）见解析；
（2）
； （3）x=
﹣1；四边形PAFC 是菱形．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形ABCD 是正方形，得出AB=BC ，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB ，即可证出△PAB ≌△PCB ，
②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB ，从而证出PE=PC ；
（2）根据PA=PC ，PE=PC ，得出PA=PE ，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求
出；
（3）先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x=﹣1，再根据AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB 得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45°．∵PB=PB，∴△PAB≌△PCB （SAS）．
②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．∵∠ABE=∠APE=90°，∴∠PAB+∠PEB=180°，又∵∠PEC+∠PEB=180°，∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．
（2）在点P的运动过程中，的值不改变．
由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．
∵PE=PC，
∴PA=PE，
又∵∠APE=90°，
∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，∴=．
（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45°，∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=（180°﹣45°）
=67.5°．
在△PBC中，∠BPC=（180°﹣∠CBP﹣∠PCE）=（180°﹣45°﹣67.5°）=67.5°．
∴∠BPC=∠PCE=67.5°，∴BP=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，
∴∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，
∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四边形PAFC是菱形．
考点：四边形综合题．
9．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．
（1）如图1，当AD=2OF时，求出x的值；
（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE 的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．
【答案】（1）x=﹣1；
（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），
当x=时，S的值最大，最大值为，．
【解析】
试题分析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到
CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，
求得OF=OM=解方程，即可得到结果；
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据
全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=（1﹣x）?x，根据二次函数的性质即可得到结论．
试题解析：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，
∵OA=OC，
∴CM=ME，
∴AE=2OM=2OF，
∴OM=OF，
∴，
∴BF=BE=x，
∴OF=OM=，
∵AB=1，
∴OB=，
∴，
∴x=﹣1；
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，
∵∠CEP=∠EBC=90°，
∴∠ECB=∠PEG，
∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，
在△EPG与△CEB中，
，
∴△EPG≌△CEB，
∴EB=PG=x，
∴AE=1﹣x，
∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），
∵﹣＜0，
∴当x=时，S的值最大，最大值为，．
考点：四边形综合题
10．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC-
CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点M落在边BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0＜S1＜S2），直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．
【答案】(1) PQ=7-t．(2) t=．(3) 当0＜t≤时，S=．当＜t≤4，
．当4＜t＜7时，．（4）或或
．
【解析】
试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；
（3）当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；
（4）或或．
试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．
当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．
（2）当点M落在边BC上时，如图③，
由题意得：t+t+t=7，
解得：t=．
∴当点M落在边BC上时，求t的值为．（3）当0＜t≤时，如图④，
S=．
当＜t≤4，如图⑤，
．
当4＜t＜7时，如图⑥，
．
（4）或或．．考点：四边形综合题.