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（VR虚拟现实）GARCH 模型与应用简介

GARCH模型与应用简介

(2006,5)

0.前言 (2)

1.GARCH模型 (7)

2.模型的参数估计 (16)

3.模型检验 (27)

4.模型的应用 (32)

5.实例 (42)

6.某些新进展 (46)

参考文献 (50)

0.前言(随机序列的条件均值与条件方差简介)

考察严平稳随机序列{y t},且E|y t|<∞.记其均值Ey t=μ, 协方差函数γk=E{(y t-μ)(y t+k-μ)}.其条件期望(或条件均值): E(y t∣y t-1,y t-2,…)≡?(y t-1,y t-2,…),(0.1)

依条件期望的性质有

E?(y t-1,y t-2,…)=E{E(y t∣y t-1,y t-2,…)}=Ey t=μ.(0.2)

记误差(或残差):

e t≡y t-?(y t-1,y t-2,…).(0.3)

由(0.1)(0.2)式必有:

Ee t=Ey t-E?(y t-1,y t-2,…)

=Ey t-Ey t=0,(0-均值性)(0.4)

及

Ee t2=E[y t-?(y t-1,y t-2,…)]2

=E{(y t-μ)-[?(y t-1,y t-2,…)-μ]}2(中心化)

=E(y t-μ)2+E[?(y t-1,y t-2,…)-μ]2

-2E(y t-μ)[?(y t-1,y t-2,…)-μ]

=γ0+Var{?(y t-1,y t-2,…)}

-2EE{(y t-μ)[?(y t-1,y t-2,…)-μ]∣y t-1,y t-2,…}

(根据Ex=E{E[x∣y t-1,y t-2,…]})

=γ0+Var{?(y t-1,y t-2,…)}

-2E{[?(y t-1,y t-2,…)-μ]E[(y t-μ)∣y t-1,y t-2,…]}

(再用E[x?ψ(y t-1,y t-2,…)∣y t-1,y t-2,…]

=ψ(y t-1,y t-2,…)E[x∣y t-1,y t-2,…];

并取x=(y t-μ),ψ(y t-1,y t-2,…)=[?(y t-1,y t-2,…)-μ];

由(0.1)(0.2)可得)

=γ0+Var{?(y t-1,y t-2,…)}-2E[?(y t-1,y t-2,…)-μ]2

=γ0-Var{?(y t-1,y t-2,…)}.(0.5)

即有:

γ0=Var(y t)=Var(?(y t-1,y t-2,…))+Var(e t).(0.6)

此式表明,y t的方差(=γ0)可表示为:回归函数的方差(Var(?(y t-1,y t-2,…)),与残差的方差(Var(e t))之和.

下边讨论e t的条件均值与条件方差.

为了符号简便,以下记F t-1={y t-1,y t-2,…}.

首先考虑e t的条件均值:

E(e t∣F t-1)=E{y t-?(y t-1,y t-2,…)∣F t-1}

=E(y t∣F t-1)-E{?(y t-1,y t-2,…)∣F t-1}

=?(y t-1,y t-2,…)-?(y t-1,y t-2,…)

=0.(0.7)

再看条件方差:

Var(e t∣F t-1)=E{[e t-E(e t∣F t-1)]2∣F t-1}

=E{e t2∣F t-1}(用(0.7)式)

≡S2(y t-1,y t-2,…).(0.8)

此处S2(y t-1,y t-2,…)为条件方差函数.注意,e t的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(y t-1,y t-2,…),它不一定是常数!

依(0.3)式,平稳随机序列{y t}总有如下表达式:

y t=?(y t-1,y t-2,…)+e t,(0.9)

其中?(y t-1,y t-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.{e t}可称为新息序列,与线性模型的新息序列不同,除非{y t}是正态序列.顺便指出,满足(0.4)式的{e t}为鞅差序列,因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{y t}是严平稳随机序列,且E|y t|<∞,上述推演是严格的,从而{e t}是严平稳的鞅差序列.当{y t}有遍历性时,它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念可不必深究.

现在将e t标准化,即令

εt≡e t/S(y t-1,y t-2,…).

则有,

E(εt∣F t-1)=E[e t/S(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]

={1/S(y t-1,y t-2,…)}E[e t∣F t-1]

=0.(依(0.7)式)(0.10)

以及

E(εt2∣F t-1)=E[e t2/S2(y t-1,y t-2,…)∣F t-1]

={1/S2(y t-1,y t-2,…)}E[e t2∣F t-1](用(0.8))

={S2(y t-1,y t-2,…)}/{S2(y t-1,y t-2,…)}

=1.(a.s.)(0.11)

由此可见,{εt}也是平稳鞅差序列,与{e t}相比,{εt}的条件方差为常数1.于是(0.9)式可写为:

y t=?(y t-1,y t-2,…)+S(y t-1,y t-2,…)εt,(0.12)

此式可称为条件异方差自回归模型,所谓条件异方差就是指:条件方差S2(y t-1,y t-2,…)不为常数.请注意,条件异方差自回归模型与下文中的自回归条件异方差模型是不同的概念!

*还有一点很重要,如果(0.9)模型具有可逆性,那么,

Var(e t∣F t-1)=Var(e t∣y t-1,y t-2,…)

=Var(e t∣e t-1,e t-2,…)

≡h(e t-1,e t-2,…).(0.13)

因此,模型(0.12)式又可些成

y t=?(y t-1,y t-2,…)+h1/2(e t-1,e t-2,…)εt.(0.14)

请注意,模型(0.12)(0.14)式是

普遍适用(或称万用)的模型!

但是,为便于研究建模理论,在(0.12)式中还附加假定: εt与{y t-1,y t-2,…}相互独立!

此假定是实质性的, 人为的.

它对{y t}的概率分布有实质性的限制.

还须指出:若在(0.9)式中直接假定e t与{y t-1,y t-2,…}独立,此假定除了上述的人为性含义外,还增多了如下假定: Var(e t2∣y t-1,y t-2,…)=Var(e t2)=常数.(0.15)

这里用了条件期望的一条性质,即当X与Y独立时,

E(X∣Y)=EX.

大家要问,为什么加这些人为的假定呢?

让我们回顾一下这些假定演变的历程吧.

在文献中(0.9)式e t先后被假定为:

“i.i.d.且N(0,σ2)”，（1943--）

“i.i.d.且0-均值-方差有穷”，（1960--）

“鞅差序列，且条件方差S2(...)=常数”，（1970--）“e t=S(y t-1,y t-2,…)εt，但{εt}为i.i.d.N(0,σ2)序列,

而且S(y t-1,y t-2,…)为有限参模型”,（1982--）“e t=S(y t-1,y t-2,…)εt,但{εt}为i.i.d.序列

而且S(y t-1,y t-2,…)为有限参模型”。（2000--）究其根源,主要是受时间序列统计理论知识的限制.

以上专门讨论了{e t}的定义,性质,和人为限制的历程. 但是,这里也顺便提一下自回归函数?(y t-1,y t-2,…)的发展史,

大致如下(不细论):

线性→非线性参数→半参数→非参数。

在以上的讨论中,使用记号?(y t-1,y t-2,…),是为了突出普适性.在文献中和实际应用中,所考虑的?(y t-1,y t-2,…)的形式很简单.半个多世纪来,虽说有了很大的改进,但是,与最一般的?(y t-1,y t-2,…)还有很大差距.

类似的讨论也适用S(y t-1,y t-2,…).也是为了突出普适性,才引入了记号S(y t-1,y t-2,…)和模型(0.12)(0.14).在文献中和实际应用中,直到近二十来年才考虑了不为常数的S(y t-1,y t-2,…)的简单情况---ARCH模型.近几年来,也在向着半参数,非参数方面发展.但是,与最一般的S(y t-1,y t-2,…)也还相差甚远.

1.ARCH与GARCH模型

1.1.概述

在条件异方差模型问世以前,时间序列分析主要讨论自回归结构,或者说,主要讨论?(y t-1,y t-2,…)的有关内容.当条件异方差模型问世后,在时间序列分析中,特别是建模分析中,就包含了两个内容,一个与?(y t-1,y t-2,…)有关;另一个与S(y t-1,y t-2,…)有关.如何统计分析它们,是摆在我们面前的主要问题.对此问题,通常作法是:分两步完成,先按平稳序列建模方法,对?(y t-1,y t-2,…)建立适当的模型,比如AR模型;由此获得弥合的残差序列,把它当做新息序列{e t}的样本值,再对它

进行条件异方差建模分析.分两步完成有方便之处,其一,做第一步时,由于{e t}是鞅差序列,其建模有理论根据.其二,在介绍条件异方差建模时,可以只讨论?(y t-1,y t-2,…)=0的情况.这并无损失,还便于理解条件异方差概念.其实,还有一言,在金融统计中,专门考虑条件异方差建模问题,也有一定的实际背景.

综上所说,我们将专门讨论如下的鞅差平稳序列,即, E(y t∣y t-1,y t-2,…)≡?(y t-1,y t-2,…)=0.(1.1)

Var(y t∣y t-1,y t-2,…)≡S2(y t-1,y t-2,…)>0.(1.2)

换句话说,考虑如下的(0.9)模型

y t=e t,(1.3)

它的标准化的模型(0.12)为

y t=S(y t-1,y t-2,…)εt.(1.4)

请注意,这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型.我们不可能泛泛地讨论它.再请回看对鞅差序列{e t}的限制的历程,以下我们要讲的恰好是:

“e t=S(y t-1,y t-2,…)εt，但{εt}为i.i.d.N(0,σ2)序列,

而且S(y t-1,y t-2,…)为有限参模型’’,(1982--).

再新的内容,我们也将提到.至此,大家完全明白我们将要讨论什么样的序列.

为说明该序列的某些特征,先看一看序列{e t}的自协方差函数序列:

γe(k)=Ee t+k e t=E[E(e t+k e t∣e t+k-1,e t+k-2,…)]