高等数学练习题附答案
高等数学练习题附答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界.
( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导.
( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续.
( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数
),(y x f z =在(00,y x )处可微.
( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且
1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.(每题2分,共20分)
1. 设2)1(x x f =-,则=+)1(x f .
2. 若1
21
2)(11+-=
x x
x f ,则=+→0
lim x .
3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
=')3(g .
4. 设y
x
xy u +
=, 则=du . 5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .
6. 设)(x f 为可导函数,)()1
()(,1)1(2x f x
f x F f +==',则
=')1(F .
7. 若),1(2)(0
2x x dt t x f +=?
则=)2(f .
8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞?
dx e x 20
.
10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D
5221,1 .
三、计算题(每题5分,共40分)
1. 计算))
2(1
)1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y 在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分dx x x ?-)
1(1.
4. 计算定积分dx x x ?
-π
53sin sin .
5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值.
6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成,计算dxdy y
y
D
??
sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分)
1.
证明:tan arc x =)(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续,且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x
x b
??
+=0)
(1)()(
证明:方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内(每题2分,共20分)
1.√ ;
2.× ;
3.×;
4.× ;
5.×;
6.× ;
7.× ;
8.× ;
9.√ ;10.√.
二、 填空题.(每题2分,共20分)
1.442++x x ;
2. 1;
3. 1/2;
4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++;
5. 2/3 ;
6. 1 ;
7. 336 ;
8. 8 ;
9. 1/2 ; 10. 0.
三、计算题(每题5分,共40分)
1.解:因为
21(2)n n +22
211
1(1)(2)n n n <+++
<+2
1
n n + 且 21lim 0(2)n n n →∞+=,21
lim
n n n →∞+=0 由迫敛性定理知: ))
2(1
)1(11(
lim 222n n n n ++++∞
→ =0 2.解:先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y
10
10
22111++++++='∴
x x x y y )(
10()1(++='∴x x y )10
10
2211++++++x x x 3.解:原式=?-x d x
112
=?
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解:原式=dx x x ?
π
23cos sin
=?-
20
2
3sin cos π
xdx x ?
ππ
2
2
3sin cos xdx x
=?-
20
2
3sin sin π
x xd ?
ππ
2
2
3sin sin x xd
=2025
][sin 52πx ππ2
25
][sin 52
x -
=4/5 5.解: 02832=--='y x x f x 022=-='y x f y
故 ???==00y x 或???==2
2
y x
当 ???==0
y x 时8)0,0(-=''xx
f ,2)0,0(-=''yy f ,2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--?-=? 且A=08<-
∴ (0,0)为极大值点 且0)0,0(=f
当 ???==2
2
y x 时4)2,2(=''xx
f , 2)2,2(-=''yy f ,2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=? ∴无法判断
6.解:D={}
y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(
????=∴102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
=dy x y y y y 2][sin 10? =dy y y y )sin (sin 1
?-
=?+-1
10cos ]cos [y yd y
=?-+-1
10
cos ]cos [1cos 1ydy y y
=1sin 1- 7.解:令xy u =,x
y
v =
;则21≤≤u ,31≤≤v v v
u
u v
v v u
uv y y x x J v u
v
u 212221
=-
==
∴ 3ln 21
2131===????D
dv v du d A σ 8.解:令 u y =2,知x u u 42)(-=' 由微分公式知:)4(222c dx xe e y u dx
dx
+?
-?
==?-
)4(22c dx xe e x x +-=?-
)2(222c e xe e x x x ++=--
四.证明题(每题10分,共20分)
1.解:设 2
1arcsin
arctan )(x
x x x f +-=
2
2
2
2
2
2
2
11111111
)(x x x x x x x x f ++-+?
+--
+=' =0
c x f =∴)( +∞<<∞-x
令0=x 0000)0(=∴=-=c f 即:原式成立。
2.解: ],[)(b a x F 在 上连续 且 dt t f a F a b
?
=)
(1
)(<0,dt t f b F b a ?=)()(>0
故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.
又 )
(1
)()(x f x f x F +
=' 0)(>x f
2)(≥'∴x F
即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增
∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业 学号 姓名
一、判断题(对的打√,错的打×;每题2分,共10分)
1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.
2. 若)(x f y =在点0x 不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.
3. 若)(x f 在],[b a 上可积,)(x g 在],[b a 上不可积,则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.
4. 方程0=xyz 和0222=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5. 设*y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解,y 是其所对应的齐次方程的通解,则
*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题(每题2分,共20分)
1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .
2. 设x
x x f 3arcsin )
21ln()(+=
,当=)0(f 时,)(x f 在点0=x 连续.
3. 设xt t t
x x f 2)1
1(lim )(+=∞→,则)(x f '' .
4. 已知)(x f 在a x =处可导,且A a f =')(,则=--+→h
h a f h a f h )
3()2(lim
.
5. 若2)]([cos )(2x f dx
d
x x f =
,并且1)0(=f ,则)(x f .
6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续,且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<, 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g
7. 若2sin x y =,则=)(2
x d dy ;=dx
dy
. 8. 设?=x x tdt x f 2ln )(,则=')2
1
(f .
9. 设y
x e
z 2=,则=)
1,1(dz
.
10. 累次积分dy y x f dx x R R
)(20
20
22-?
?-化为极坐标下的累次积分
为 .
三、计算题(前6题每题5分,后两题每题6分,共42分)
1.
??+→x
x t
x dt
t t dt
t 0sin 0
1
sin )1(lim ; 2. 设1
ln 22-=x x
e e y ,求y '; 3.
dx x x x ?+-2sin 1cos sin ;
4. ?-2
2
2
4dx x x
; 5. 设22y x x
z +=
, 求 y x z
y z ?????2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy .
7. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成,计算dxdy y y
D ??sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y x ==1
下的特解.
四、(7分)
已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-,试确定系数a 、b ,并求出所有的极大值与极小值.
五、应用题(每题7分,共14分)
1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时,燃料费为每小时6元,而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小
2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线,求:(1)切线与曲线所围成图形的面积;(2)图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题(7分)
设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在,且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明
x
x f x g )
()(=
在a x <<0上单调增加.
高等数学参考答案
一、判断题 1.√; 2.×; 3.√ ; 4.× ; 5.√.
二、填空题
1. 36 ;
2. 3
2
; 3. x e x 2)1(4+ ; 4. A 5 ; 5. x sin 1+; 6.<;
7. 22cos 2,cos x x x ; 8. 2ln ; 9. dy dx +2 ;
10.??20
)2cos (π
θθR
rdr r f d .
三、计算题
1. 原式x
x
x
x x
x sin cos )sin 1(lim
sin 10+=→
e e
==
1
2.2
222222222)1(2)1(21
21
11-?--?
-?
-=
'x x
x x x x
x
x
x
e e e e e e e e e y 22222)1(221--?-=x
x
x x e e e e x
e
211
-=
3.原式=dx x x x
x ?+-2
)
cos (sin cos sin )cos (sin )
cos (sin 1
2
x x d x x ++-=? C x
x ++=
cos sin 1
4.设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=???20
2cos 2cos 2sin 4π
tdt t t
??=20
22cos sin 16π
tdt t
??-==20
20
2
)4cos 1(22sin 4π
π
dt t tdt
ππ
=-=20)4sin 4
1(2t t 5.2
3222
222)
(22y x xy y x y x y x y
z +-
=++?
-=??
32221
222
32
2
2
)
(2)(23
)(y x x y x xy y x y y x z +?+?-+-=??? 3
222
232)()2(y x y x y y x ++-=
6.两边同时微分得:
)(1
)
()ln()(2dy dx y
x y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=- 故 dx y x y x dy )
ln(3)
ln(2-+-+=
(本题求出导数后,用dx y dy '=解出结果也可)
7.????=102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
?-=1
)sin (sin dy y y y
?-+-=1
1
010cos cos cos ydy y y y
1
0sin 1cos 1cos 1y -+-=
1sin 1-=
8.原方程可化为 y x y y dy dx 1
ln 1=+
通解为 ]1[ln 1
ln 1
C dy y
e e
x dy y y dy
y y +???=?-
]1
[ln ln ln ln C dy y
e e y y +?=?-
]ln 1[ln 1C ydy y y +=
?])(ln 21[ln 12C y y += y
C y ln ln 21+=
e y x ==1代入通解得 1=C 故所求特解为: 01ln 2)(ln 2=+-y x y 四、解: b ax x x
f ++='23)(2 因为)(x f 在1=x 处有极值2-,所以1=x 必为驻点
故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f
解得: 3,0-==b a
于是 x x x f 3)(3-= )1(3)(2-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ,从而
06)1(>=''f , 在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ,在1-=x 处有极大值2)1(=-f 五、1.解:设船速为)/(h km x ,依题意每航行km 1的耗费为
)96(1
3+=
kx x
y 又10=x 时,6103=?k 故得006.0=k , 所以有
)96006.0(1
3+=
x x
y ,),0(∞+∈x 令 0)8000(012.03
2
=-=
'x x y , 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处
可导,且只有唯一的极值点,当它为极小值点时必为最小值点,所以求得船速为
)/(20h km 时,每航行km 1的耗费最少,其值为2.720
96
20006.02min =+
?=y (元)
2.解:(1)设切线与抛物线交点为),(00y x ,则切线的斜率为
1
00
-x y , 又因为22-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ,在),(00y x 上即有120='y y 所以11
200
0=-?
x y y ,即1200
-='x y 又因为),(00y x 满足202
0-=x y ,解方程组
?????-=-=2
1
2020020x y x y 得 ???==1300y x
所以切线方程为 )1(2
1
-=
x y 则所围成图形的面积为:
6
1
)]12(2[1
02=
+-+=?dy y y S
(2)图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为:
6)2()1(41321
02π
ππ=---=??
dx x dx x V 六、证: 2
2)]
0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上,对)(x f 应用拉格朗日中值定理,则存在一点),0(x ∈ξ,使得 )()0()(ξf x f x f '=-
代入上式得 2
)
()(])([x
f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数,又ξ>x ,则)()(ξf x f '>',
于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([
>'x x f ,故
x
x f )
(在),0(a 内单调增加.
《高等数学》试卷
专业 学号 姓名
一、填空题(每小题1分,共10分)
1.函数
y =的定义域为_______________。
2.函数x y x e =+ 上点( 0,1 )处的切线方程是______________。 3.设()f x 在0x 可导且0()f x A '=,则000
(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--= _______。
4.设曲线过(0,1),且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ,则该曲线的方程是_________。 5.4
1x
dx x -?
=_____________。 6.1
lim sin x x x
→∞=___________。
7.设(,)sin f x y xy =,则(,)x f x y =____________。
8.累次积分220
()R
dx f x y dy +?化为极坐标下的累次积分为________。
9.微分方程322
323()0d y d y dx x dx
+=的阶数为____________。
10.设级数 1
n n a ∞
=∑发散,则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的( )内,(1~10每小题1分,11~17每小题2分,共24分)
1.设函数 1
(),()1f x g x x x
==-,则(())f g x = ( ) ①11x -
②11x + ③11x
- ④x 2.0x → 时,1
sin 1x x
+ 是 ( )
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 3.下列说法正确的是 ( )
①若()f x 在 0x x =连续, 则()f x 在0x x =可导 ②若()f x 在0x x =不可导,则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微,则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续,则()f x 在0x x =不可导
4.若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>,则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为
(
).
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 5.设()()F x G x ''=,则 ( )
①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④
()()d d
F x dx
G x dx dx dx =??
x 6.1
1
x dx -? =
( )
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
7.方程231x y ==在空间表示的图形是 ( )
①平行于xOy 面的平面 ②平行于Oz 轴的平面 ③过Oz 轴的平面 ④直线
8.设332(,)f x y x y x y =++,则(,)f tx ty = ( )
①(,)tf x y ②2(,)t f x y ③3(,)t f x y ④
21
(,)f x y t
9.设0n a ≥,且1
lim n n n
a a →∞+ =p,则级数 1n n a ∞
=∑
( )
①在1p >时收敛,1p <时发散 ②在1P ≥时收敛,1p <时发散 ③在1p ≤时收敛,1p >时发散 ④在1p <时收敛,1p >时发散
10.方程236y xy x y '+=是 ( )
①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
11.下列函数中为偶函数的是 ( )
①x y e = ②31y x =+ ③3cos y x x = ④ln y x =
12.设()f x 在(,)a b 可导,12a x x b <<<,则至少有一点(,)a b ξ∈使 ( )
①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-
③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13.设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 ( )
①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
14.设22()cos [()]d
f x x f x dx
= ,则(0)1f =,则()f x = ( )
①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -
15.过点(1,2)且切线斜率为 34x 的曲线方程为y= ( )
①x4 ②x4+c ③x4+1 ④34x
16.设幂级数 0
n
n n a x ∞=∑在0x (00x ≠)收敛, 则 0
n n n a x ∞
=∑ 在0x x <
( )
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关
17.设D域由2,y x y x ==所围成,则 sin D
x
d x
σ=??
( )
①1
1
0sin x x
dx dy x ??;
②10sin y x dy dx x
?;
③10
x
x
dx dy x ?;
④10sin x x dy dx x
?.
三、计算题(1~3每小题5分,4~9每小题6分,共51分)
1.设y =求 y ' .
2.求 243sin(916)
lim 34x x x →-- .
3.计算 2
(1)x dx
e +?.
4.设10(cos )arctan ,(sin )arctan t t x u udu y u udu ==??,求 dy dx
.
5.求过点 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程.
6.设
sin x z
u e =,求 du .
7.计算sin 0
sin x a r drd θ
θθ??
.
8.求微分方程 2
1()1
y dy dx x +=+的 通解 . 9.将 3
()(1)(2)
f x x x =
-+ 展成的幂级数.
四、应用和证明题(共15分)
1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度 ( 比例常数为0k > )求速度与时间的关系。
2.(7分)借助于函数的单调性证明:当x>1时,1
3x
>- 。
高等数学参考答案
一、填空题(每小题1分,共10分)
1.(-1,1) 2.2x-y+1=0 3.5A 4.y=x2+1
5.21
arctan 2
x c + 6.1 7.ycos(xy)
8.220
()d f r rdr π
π
θ?? 9.三阶 10.发散
二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的( )内,1~10每小题1分,11~17每小题2分,共24分) 1.③ 2.③ 3.④ 4.④ 5.② 6.② 7.② 8.⑤ 9.④ 10.③