2015-2016学年湖南省株洲市第二中学高二上学期期中考试数学(文)试题

株洲市二中2015年下学期高二年级期中考试试卷

文科数学 试题

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分，每题只有一个正确答案)

1．集合{}{}

2|0,|33x

A x x x

B x =+≥=≥，则A B ?=（ ）

A ．{}

|01x x x ≥≤-或 B ．{}|1x x ≥- C ．{}|1x x ≥ D ．{}|0x x ≥ 2．抛物线24x y =-的准线方程为( )

A ．1y =-

B ．1y =

C ．1x =-

D ．1x =

3．已知x R ∈，则“2x >”是“2

2x x >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知数列}{n a 是等差数列，且48111032=+++a a a a ，则85a a +等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 5．执行如右图所示的算法框图，输出的M 值是（ ） A ．2 B ．

1

2

C ．－1

D ．－2 6．若实数,x y 满足2211x y y x y x -??

-+??+?

≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

7．与双曲线22

132x y -=

有共同的渐近线，且经过点(A 的双曲线的方程为（ ） A ．

2211612y x -= B ．22

214y x -= C ．

2211827y x -= D ．22

164

x y -= ?

8．若βα,都是锐角，且5

52sin =

α，1010

)sin(=-βα，则=βcos （ ）

A ．

22 B ．102 C ．22或102- D ．22或10

2

9．已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[

B ．(

C ．(,)-∞+∞

D ．(,)-∞+∞

10．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ） A ．

4π B ．14π- C ．14 D ．3

π

11.设点O 和F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP FP ? 的最小值为（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

12．已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为（ ） A ．1

(0,]e

B ．(0,1]

C ．(0,]e

D ．(1,]e

二、填空题（共4小题，满分20分）

13．已知双曲线221(0)x y m m -=>m 的值为 ; 14. 过抛物线2

4y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果

126x x +=，那么AB ＝ ;

15. 已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 ; （请写一般式方程）

16.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记作[k ], 即}{

[]5|0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=，.给出如下四个结论： ○

12015[0]∈；○2-3[3]∈；○3[0][1][2][3][4]Z = ； ○

4“整数a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”. 其中正确的结论的序号为 .

三、解答题（共六个大题，满分70分，写出解答过程）

17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B .

(1)求B ；

(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .

18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 153=S ，3a 和5a 的等差中项为9． （1）求n a 及n S ； （2）令)(1

4

*2

N n a b n n ∈-=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

19．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC=60o ，PA=AB ，

PA ABCD ⊥平面 （1） 求证：BD ⊥平面PAC ；

（2）求PC 与平面PAB 所成角的正切值。

20.（12分）某商店销售某种商品，经验表明，该商品每日的

C

B

销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6).3

a

y x x =

+--其中36x <<，a 为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售该商品11千克。

（1）求a 的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克。试确定销售价格x 的值，使每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润。

21．（12分）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为23，且过点(01)B -，

． （1）求椭圆的标准方程；

（2）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若 0BP BQ ?<

，求实数k 的取值范围．

22．（ 12分）已知函数2

()(21)ln ,.f x a x x x a R =-++∈ （1）当1

4

a =-

时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若函数()1f x x ≤-对?),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．

株洲市二中2015年下学期高二年级期中考试试卷

文科数学 试题

时量：120分钟 分值：150分

一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分，每题只有一个正确答案)

1．集合{}{}

2|0,|33x

A x x x

B x =+≥=≥，则A B ?=（ ）

A ．{}

|01x x x ≥≤-或 B ．{}|1x x ≥- C ．{}|1x x ≥ D ．{}|0x x ≥ 【答案】C

2．抛物线24x y =-的准线方程为( )

A ．1y =-

B ．1y =

C ．1x =-

D ．1x = 【答案】B

3．已知x R ∈，则“2x >”是“2

2x x >”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

4．已知数列}{n a 是等差数列，且48111032=+++a a a a ，则85a a +等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．30 【答案】C

5．执行如图所示的算法框图，输出的M 值是（ ）

A ．2

B ．1

2

C ．－1

D ．－2 【答案】C

6．若实数,x y 满足22

11x y y x y x -??-+??+?

≥≥≤，则2z x y =-的最小值为( )

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2 【答案】B

7．与双曲线22

132x y -=

有共同的渐近线，且经过点(A 的双曲线的方程为（ ） A ．

2211612y x -= B ．22

214y x -= C ．

2211827y x -= D ．22

164

x y -= 【答案】 C

?

8．若βα,都是锐角，且5

52sin =

α，1010

)sin(=-βα，则=βcos （ ）

A ．

22 B ．102 C ．22或102- D ．22或10

2

【答案】A

9．已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[

B ．(

C ．(,)-∞+∞

D ．(,)-∞+∞ 【答案】A

10．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是（ ） A ．

B ．1﹣

C ．

D ．

【答案】B

11.设点O 和F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP FP ? 的最小值为（ ）

A.0

B.2

C.4

D.6 【答案】B

12．已知函数()()y f x x R =∈的图像过点(1,0)，'()f x 为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，若0x >，'()1xf x >恒成立，则不等式()ln f x x ≤的解集为（ ） A ．1(0,]e

B ．(0,1]

C ．(0,]e

D ．(1,]e 【答案】B

二、填空题（共4小题，满分20分）

13．已知双曲线221(0)x y m m -=>m 的值为 3 14. 过抛物线2

4y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果

126x x +=，那么AB ＝ 8

15. 已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 ．

（请写一般式方程） 【答案】340x y +-=

16.在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记作[k ], 即}{

[]5|0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=，.给出如下四个结论： ○

12015[0]∈；○2-3[3]∈；○3[0][1][2][3][4]Z = ； ○

4“整数a,b 属于同一‘类’”的充要条件是“[0]a b -∈”. 其中正确的结论的序号为 ○1○3○4

三、解答题（共六个大题，满分70分，写出解答过程）

17．（10分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B . (1)求B ；

(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .

17．解：(1)由a ＝3b sin A －a cos B 及正弦定理得 3sin B sin A －cos B sin A －sin A ＝0.

由于sin A ≠0，所以sin ()6

B π-＝1

2.

又0

3.

(2)△ABC 的面积S ＝1

2

ac sin B ＝3，故ac ＝4.

而b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B ，故a 2＋c 2＝8. 解得a ＝c ＝2.

18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，153=S ，3a 和5a 的等差中项为9． （1）求n a 及n S ； （2）令)(1

4

*2

N n a b n n ∈-=

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 【答案】（1）12+=n a n ，n n S n 22+=；（2）1

+=

n n

T n 。 试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，所以设其首项为1a ，公差为d 因为15323==a S ，3518a a +=，所以??

?=+=+18

625

11d a d a ，解得31=a ，2=d ，

所以122)1(3)1(1+=?-+=-+=n n d n a a n ，

n n n n n d n n na S n 222

)

1(32)1(21+=?-+=-+

=； （2）由（1）知12+=n a n ，所以1

1

1)1(11444142

22+-=+=+=+=-=

n n n n n n n n a b n n ， 1

111)111()4131()3121()211(321+=+-=+-++-+-+-=++++=n n

n n n b b b b T n n

19．（12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC=60o ，PA=AB ，

PA ABCD ⊥平面 （2） 求证：证明：BD ⊥平面PAC ；

（2）求PC 与平面PAB 所成角的正切值。

（1）证明：连接BD ,

ABCD 菱形,∴BD AD ⊥

由 PA ABCD ⊥平面，∴BD PA ⊥ AD PA A = ,∴ BD ⊥平面PAC.

(2) 取AB 的中点E,连接CE,则CE PAB ⊥平面 ∴PC PAB PE 在平面的射影是, 则CPE ∠为PC 与面PAB 所成角。 设PA =2

，则CE PE ,

在Rt PCE ?

中，tan =CE CPE PE ∠=

20.（12分）某商店销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6).3

a

y x x =

+--其中36x <<，a 为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售该商品11千克。 （1）求a 的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克。试确定销售价格x 的值，使每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润？

解：（1）当x=5时，y=11，所以

10112a

+=，得a=2. （3） 由（1）可知，销售量22

10(6).3y x x =

+-- 所以每日获得利润222

()(3)[10(6)]210(3)(6),363

f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 令2

3

2

()(3)(6)1572108h x x x x x x =--=-+-，

从而'

2

()330723(4)(6)h x x x x x =-+=--，可知4x =是函数()h x 在区间（3,6）内的极

C

B

大值点，也是最大值点。所以，当4x =，()h x 取得最大值等于4，从而()f x 取得最大值42.

答：当销售价格为4元/千克时，商店每日销售该商品所得利润最大，为42元。

21．（12分）已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的离心率为23，且过点(01)B -，

． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若 0BP BQ ?<

，求实数k 的取值范围．

【解析】

试题解析：（Ⅰ）由题意知????

???+==

==222231c b a a c e b ，解得?????===3

12c b a ， 椭圆的标准方程为：14

22

=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P

联立?????=++=14

)2(2

2y x x k y ，消去y ，得：).(0)416(16)41(2

222*=-+++k x k x k 依题意：直线)2(:+=x k y l 恒过点)0,2(-，此点为椭圆的左顶点，

所以21-=x ，01=y ----① ，由（*）式，)

41(1622

21k k x x +-=+ ②，

可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+ ③，

由①②③，2

224182k k x +-=，22

414k k

y += 2221+1BP BQ x y =-= （，），（，）

∴22210BP BQ x y ?=-++<

． 即01414414162

22<++++-k

k

k k ， 整理得034202

<-+k k ．

解得：13

(,)210

k ∈-．

22．（ 12分）已知函数2()(21)ln ,.f x a x x x a R =-++∈ （1）当1

4

a =-

时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若函数()1f x x ≤-对?),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）41-

=a ,x x x f ln )1(4

1)(2

+--=,（x>0） f ＇（x ）x

x x x x x x x 2)

1)(2(22121212+--=++-=++-=，

当0< x < 2时，f ＇（x ）>0，f （x ）在（0,2）单调递增； 当x>2时，f ＇（x ）<0，f （x ）在),2(+∞单调递减；

所以函数的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是),2(+∞． （2）由题意得1ln )1(2-≤+-x x x a 对),1[+∞∈x 恒成立，

设=)(x g 1ln )1(2

+-+-x x x a ，),1[+∞∈x ，则0)(max ≤x g ，),1[+∞∈x

求导得22ax (21)1(21)(1)

'()a x ax x g x x x

-++--==，

当0≤a 时，若1>x ，则0)('

00)1()(max ≤==g x g 成立，得0≤a ；

当21≥

a 时，121

≤=

a

x ,)(x g 在),1[+∞单调递增， 所以存在1>x ，使0)1()(=>g x g ，则不成立；

当210<=

a x ，则)(x f 在]21,1[a 上单调递减，),21

[+∞a 单调递增， 则存在),21[

1+∞∈a a ，有01ln 11

1ln )11()1(2>-+-=+-+-=a a a

a a a a g ， 所以不成立，

综上得0≤a ．