第四讲第一课程不定积分的观念跟本质

§4.1 不定积分的概念和性质

一、原函数

定义 4.1 设()f x 是定义在某区间上的已知函数,如果存在一个函数()F x ,对于该区间上每一点x 都满足

()()F x f x '=或()()dF x f x dx = 则称函数()F x 是已知函数()f x 在该区间上的一个原函数.

'=,

比如,2

x x

()2

x是2x的一个原函数.

'=,

(sin)cos

x x

sin x是cos x的一个原函数.

注意：

1.求一个已知函数的原函数,相当于已知某个函数的导数,求该函数的表达式.

2.初等函数在其定义域上必有原函数.

3.一个已知函数如果有原函数,就有无穷多个原函数.

比如,2()2x x '=, 2(1)2x x '+=, 2(3)2x x '-=,2()2x c x '+=

所以2x ,21x +,23x -,2

x c +等都是2x 的原函数.

二、不定积分

()f x 的原函数不惟一,彼此之间有下列关系:若()F x 为()f x 的原函数,则()F x c +是()f x 的全部原函数(c 为任意常数).

定义 4.2 函数()f x 的所有原函数称为()f x 的不定积分.

记作 ()f x dx ?

如果()F x 是()f x 的一个原函数,则由定义有 ()()f x dx F x c =+?

?称为积分号； x 称为积分变量； ()f x 称为被积函数；

()f x dx 称为被积表达式；

c 称为积分常数.

由定义可知,求已知函数的不定积分,就归结为求出它的一个原函数,再加上任意常数c .

例4 求函数()cos f x x =的不定积分. 解：因为(sin )cos x x '=

所以cos sin xdx x c =+?

例5 求函数1()f x x

=的不定积分. 解：若0x >，1(ln )x x '=，则1ln dx x c x

=+? 若0x <，0x ->，11[ln()](1)x x x

'-=-=- 所以1ln()dx x c x

=-+? 所以1ln dx x c x

=+? (0x ≠)

三、不定积分的几何意义

若()F x 是()f x 的一个原函数，则曲线()y F x =称为()f x 的一条积分曲线.

不定积分()f x dx ?在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为()y F x c =+.

在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，这些切线都是相互平行的.

图

例6 设已知曲线上任意一点切线斜率为2x ，又知曲线过点(1,3)，求曲线方程.

解：因为22xdx x c =+?

得积分曲线族2

y x c =+

又曲线过点(1,3) 所以2

31c =+，2c =

所以所求曲线为22y x =+

四、不定积分的性质

性质1 两个函数代数和的不定积分，等于函数不定积分的代数和. 即[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???

性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面. 即()()kf x dx k f x dx =?? (0k ≠,k 为常数)

性质3 不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)；一个函数的导数(或微分)的不定积分与这个函数相差一个任意常数. 即()()f x dx f x '??=??

?或()()d f x dx f x dx ??=??? ()()F x dx F x c '=+?

或[]()()d F x F x c =+? 由此可见，积分运算是微分运算的逆运算.

例7 求32

(25)x x x dx +-+?. 解：32(25)x x x dx +-+? 3225x dx x dx xdx dx

=+-+????. 3225x dx x dx xdx dx =+-+????.

4321215432x x x x c =+-++.

注：逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数，由于任意常数的和还是任意常数，因此不必每个积分结果都“c

”，只要在总的结果中加一个任意常数c就行了.

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

第一课件网提供珍珠鸟教案

《珍珠鸟》教学设计第一课时教学目标： 1、正确流利有感情地朗读课文，能背诵课文的四、五、六自然段。 2、通过我喜爱珍珠鸟，了解珍珠鸟对我的逐步信赖，明白信赖能创造出美好境界这一道理。教具准备：教学课件教学过程：一、复习导入。今天我们继续学习《珍珠鸟》（齐读课题）如何读好？应读出什么？（读出喜爱之情。）二、品读课文，感悟“喜爱”。下面就让我们一起走进课本，体会作者是如何喜爱珍珠鸟的。学生听老师读，并画出能体现“我”喜爱珍珠鸟地词句。师生交流。预设一 1、现在请大家比较3个句子，从中你能体会到作者的什么感情？出示句子：朋友送我一对珍珠鸟！真好，朋友送我一对珍珠鸟！朋友送我一对珍珠鸟，真好！现在请大家比较三个句子，从中你能体会到作者的什么感情？（学生自由读，谈体会）（小结：体会到作者非常喜欢珍珠鸟，迫不及待地把喜爱之情告诉大家。所以第二句好）生读。预设二 “我”为珍珠鸟准备的巢。

指导读好。思考：我为珍珠鸟准备了怎么样的巢？（这是个什么样的家？）生交流。（舒适而温暖的的家、绿色的家、安全的家。）预设三“我”对珍珠鸟地称呼。我是如何称呼小珍珠鸟。（先后四次称呼小珍珠鸟为“小珍珠鸟”：指导读好。预设四小珍珠鸟亲近我的原因的是我喜欢它，没有去伤害它。那么，它又是怎样一步步地靠近我的呢?，并对我产生友好的呢？（指名读）出示表示时间的词：起先、渐渐地、先是、然后、后来（这些表示时间的词说明了什么？）设想：如果你是珍珠鸟，你为什么靠近我？指导读好这一段。预设五白天，小珍珠鸟淘气地陪伴着“我”。预设六 “我”正伏案写作时，为了小珍珠鸟，居然停笔了。指名读这一段。想为什么要停笔呢？说明我喜爱的程度已经很深。师小结：真好，作者对珍珠鸟的喜爱之情都从大家的朗读中流露出来了。这就是我对珍珠鸟的喜爱，没有爱，哪来我对鸟儿的体贴入微？没有爱，哪来我对鸟儿的不伤害呢？同样，没有信任，鸟儿怎么会这么快的亲近我，把我当成好朋友呢？第二课时三、品读课文，感悟“信赖”。 1、过渡：正是因为我特别喜爱珍珠鸟，所以这小家伙也越来越信任我了，越来越喜欢我了，和我越来越近，瞧，有一天，又发生了什么事呢？

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

高等数学第四章不定积分课后习题详解.doc

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-1

1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134（-+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解： 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=？11172488x x ++==，直接积分。解：715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

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第一课件网 https://www.360docs.net/doc/f110907339.html, 2 第一单元手挽手（一课时）教学目标1、学习歌曲《拍手拍手》掌握歌曲的节奏与曲谱，实践中学习二声部唱与奏，使音乐表现更为和谐丰满。2、掌握重音记号“＞”，使其在音乐表现中强化感染力。3、在聆听《祝你快乐》乐曲的感悟中，分别编创集体舞进行表演。教学内容一、学习歌曲《拍手拍手》二、学习乐理知识：重音记号三、聆听歌曲《祝你快乐》教材分析歌曲《拍手拍手》这是一首颂扬和倡导精神文明风尚为题材的儿童歌曲。歌曲吸取了少年儿童生活中的几段情景，反映了少年儿童乐观向上的精神风貌。歌曲为分节歌，由主题和副歌构成。主歌部分包含两个平行乐句。两句旋律均自上第一课件网 https://www.360docs.net/doc/f110907339.html, 2 第一单元手挽手（一课时）教学目标1、学习歌曲《拍手拍手》掌握歌曲的节奏与曲谱，实践中学习二声部唱与奏，使音乐表现更为和谐丰满。2、掌握重音记号“＞”，使其在音乐表现中强化感染力。3、在聆听《祝你快乐》乐曲的感悟中，分别编创集体舞进行表演。教学内容一、学习歌曲《拍手拍手》二、学习乐理知识：重音记号三、聆听歌曲《祝你快乐》教材分析歌曲《拍手拍手》这是一首颂扬和倡导精神文明风尚为题材的儿童歌曲。歌曲吸取了少年儿童生活中的几段情景，反映了少年儿童乐观向上的精神风貌。歌曲为分节歌，由主题和副歌构成。主歌部分包含两个平行乐句。两句旋律均自上而下作和弦分解进行，在句末的八度上行跳进，使曲调显得生气勃勃，充满活力。副歌部分也是由两个平行乐句构成的乐段。乐句的前半句是由两个四分音符在高音区形成的节奏性音调，简洁而有力，富有形象地表现了孩子们响亮的掌声和兴高采烈的神态；后半句富有歌唱性的旋律，唱出了他们对文明新风的热情赞美。歌曲的句中及句子之间频频穿插了伴以掌声的间奏，既突出了主题，也增添了欢乐的情趣。铜管乐合奏《祝你快乐》这是一首铜管乐合奏曲，乐曲热情欢快、充满朝气，给人以轻松、快乐的感觉。此曲又由词作家晓光填词改编成歌曲。歌中的歌词十分贴切的诠释了乐曲的内容。音乐知识：重音记号认识重音记号“＞”：标记在音符的上方，表示该音要唱得加强、加重。教学重点难点：掌握重音记号“＞”，使其在音乐表现中强化感染力。、在聆听《祝你快乐》乐曲的感悟中，分别编创集体舞进行表演。第一课件网 https://www.360docs.net/doc/f110907339.html, 6 第二单元跳起来（三课时）第一课时教学目标：聆听《马刀舞》、《小步舞曲》感受两首不同地区不同时代的舞蹈音乐，体验其不同的风格特征，拓展我们的视野。教学内容：聆听《马刀舞》、《小步舞曲》教材分析：《马刀舞曲》这是前苏联作曲家哈恰图良(1903～1978)于1942年创作的一首乐曲，为作曲家所作的芭蕾舞剧《加雅涅》中第三幕第二场的群舞音乐，表现了亚美尼亚民族剽悍粗犷的性格。乐曲采用带再现的三段体结构。钢琴曲《小步舞曲》17至18世纪的作曲家巴赫在他卷帙浩繁、数量众多的作品中，不乏技巧精深、规模宏大的作品，但他也为自己的孩子们写了一些短小简易的、用羽管键琴(类似今天的钢琴，钢琴的前身)弹奏的乐曲，那就是《小步舞曲》。其中11首被后人收集在《巴赫初级钢琴曲集》第一课件网 https://www.360docs.net/doc/f110907339.html, 6 第二单元跳起来（三课时）第一课时教学目标：聆听《马刀舞》、《小步舞曲》感受两首不同地区不同时代的舞蹈音乐，体验其不同的风格特征，拓展我们的视野。教学内容：聆听《马刀舞》、《小步舞曲》教材分析：《马刀舞曲》这是前苏联作曲家哈恰图良(1903～1978)于1942年创作的一首乐曲，为作曲家所作的芭蕾舞剧《加雅涅》中第三幕第二场的群舞音乐，表现了亚美尼亚民族剽悍粗犷的性格。乐曲采用带再现的三段体结构。钢琴曲《小

高等数学第四章不定积分教案

第四章不定积分知识结构图： ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数教学目的要求： 1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。 2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。 3．了解不定积分在经济问题中的应用。教学重点： 1．原函数与不定积分的概念 2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法教学难点： 1．不定积分的几何意义 2．凑微分法、分部积分法求不定积分第一节不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。【教学时数】2学时【教学进程】

一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =．１．原函数定义定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析：如(cos )sin x x '-=，则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=，则 2x 是2x 的一个原函数。教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论．结论：如果函数()f x 在某区间上连续，则其原函数一定存在（2）25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢？学生回答：是（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入 2.原函数个数定理4．1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数，且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式（C 为任意常数）． (二)不定积分的概念教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()F x C +的形式，我们把它叫做()f x 的不定积分。１．不定积分定义定义4．2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数，则称()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）为()f x 的不定积分，记作 C x F dx x f +=?)()(

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的．法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ）例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。注其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。注检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。三直接积分法在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??

第二节定积分

第二节定积分一、单项选择题 () ()() ()()() ()()()()() ()[]() ()()()()()1.. . . .2.,.,,0 .,,0 .,b b a a b a A f x dx f x B f x dx C f x dx f b f a D f x dx f x f x a b A a b f B a b f C a b ξξξξ' ' =='=-=='=? ? ??下列四式中正确的是若函数在区间上连续，则下列结论中正确的是在区间内至少存在一点使得在区间内至少存在一点使得在区间内至少存()()()()()()()() ( ) ()( ) 12 22 2 1 2 1 2 51 , .,,3..sin .|| .sin .cos 4.3sin . 2 . 1 b a f b f a f b a D a b f x dx f b a A x xdx B x dx C xdx D xdx x x dx A B ξξξξ---'-=-=-+=--?????? ππππ在一点使得在区间内至少存在一点使得下列积分中，值为零的是( ) ()()()( ) 2 1 1 2 2 2 320 1 1 110 2 .1 .25.. .ln ln 1. arcsin arcsin .06.tan ,.tan .tan b a x C D A x dx x dx B xdx x dx d C xdx x D dx x x tdt x A x B x ??-≥≥=='=???????下列各式中正确的是设则等于( ) 222231 011 .sec .2tan 7.ln 1.. . .1C x D x x x x A B dx C D dx x x x +∞+∞+∞+∞+? ???下列反常积分收敛的是

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

高等数学第四章不定积分课后习题详细讲解

第4章不定积分习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)422331 1x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

不定积分解法总结

不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。使用万能代换2 tan x t =，

第二节定积分计算公式和性质

第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的任一点，于是，()x f 在区间[]b a ,上的定积分为 ()dx x f x a ? 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 ()dt t f x a ? 如果上限x 在区[] b a ,间上任意变动，则对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在[]b a ,上定义了一个以x 为自变量的函数()x ?，我们把()x ?称为函数()x f 在区间[]b a ,上变上限函数记为()()()b x a dt t f x x a ≤≤=?? 从几何上看，也很显然。因为X 是[]b a ,上一个动点，从而以线段[]b a ,为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度()()()0?t v t v 作直线运动，那么在时间区间[]b a ,上所经过的路程s 为()dt t v s b a ?= 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数()t s ，那么物体从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）即 ()()()a s b s dt t v b a -=? 由导数的物理意义可知：()()t v t s ='即()t s 是()t v 一个原函数，因此，为了求出定积分()dt t v b a ?，应先求出被积函数()t v 的原函数()t s ，再求()t s 在区间[] b a ,上的增量()()b s a s -即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分()dx x f b a ?的一般方法：设函数()x f 在闭区间[] b a ,上连续，()x F 是()x f 的一个原函数，即()()x f x F ='，图 5-10 图 5-11

高等数学第四章不定积分习题

第四章不定积分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题 1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________?。二．是非判断题 1．若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()() ()??'=' dx x f dx x f . [ ] 4．若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有。（A ）?=dx x F )('f(x)+c; （B ）?dx x f )(=F(x)+c; （C ）?=dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。

第二节--定积分计算公式和性质

第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数记为从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为图5-10 图5-11

另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1 计算因为是的一个原函数所以例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成图形面积A(5-12)

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

4第四章不定积分

第四章不定积分【考试要求】 1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。 2．熟记基本不定积分公式。 3．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(限于三角换元与一些简单的根式换元)。 4．掌握不定积分的分部积分法。 5．会求一些简单的有理函数的不定积分。【考试内容】一、原函数与不定积分的概念 1．原函数的定义如果在区间 I 上，可导函数 ()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有 ()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数． 2．原函数存在定理如果函数 ()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一 x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数． 3．不定积分的定义在区间I 上，函数 ()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区

间I 上的不定积分，记作 ()f x dx ?．其中记号? 称为积分号， ()f x 称为被积函数， ()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即 ()()f x dx F x C =+?，因而不定积分()f x dx ?可以表示()f x 的任意一个原函数．函数 ()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线． 4．不定积分的性质（1）设函数 ()f x 及()g x 的原函数存在，则 [()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???．（2）设函数 ()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则 ()()kf x dx k f x dx =??． 5．不定积分与导数的关系（1）由于 ()f x dx ?是()f x 的原函数，故 ()()d f x dx f x dx ? ?=? ?? 或 ()()d f x dx f x dx ??=??? ．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故 ()()F x dx F x C '=+? 或 ()()dF x F x C =+? ．二、基本积分公式 1． kdx kx C =+? （k 是常数）

不定积分的基本公式和直接积分法

不定积分的基本公式和直接积分法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral）课题：1.不定积分的基本公式 2.不定积分的直接积分法课堂类型：讲授教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。教学重点：不定积分的基本公式教学难点: 直接积分法教具：多媒体课件教学方法：教学内容：一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。二、不定积分的直接积分法利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。例１求32x dx ? 解 313 3 3 41 2222312 x x dx x dx x dx C x C +===?+=++??? 导数的基本公式 ( )122 2()0 1 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x αα α+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'='= +'='=-+2 1 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( )12 2 2 011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++??????????????2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+???