贝塞尔函数的数值逼近研究

贝塞尔函数在波的传播、有势场和信号处理等领域都有广泛的应用。贝塞尔函数作为一类特殊函数,无法用初等函数来表示。之前的工作中,幂级数、渐近级数展开等数值方法对整数阶第一类贝塞尔函数的逼近效率不高,且在数值上不稳定。由于贝塞尔函数的广泛应用,如何提高数值逼近的计算效率和逼近精度,具有重要的学术意义。

本文对贝塞尔函数进行如下研究:1.研究整数阶第一类贝塞尔函数的数值逼近。基于贝塞尔函数的近似周期性,对广义特征值版本的Prony方法进行扩展,首次应用三角函数(sine、cosine)形式的Prony-like方法进行数值逼近。通过在符号计算软件Maple中对函数进行数值实验,分析不同整数阶的第一类贝塞尔函数在不同自变量区间上的数值逼近,将Prony-like方法的实验结果与基于傅里叶级数的方法进行对比,发现Prony-like方法的逼近效果远优于基于傅里叶级数的方法。2.通过与其他数值方法比较,进一步凸显Prony-like方法在整数阶第一类贝塞尔函数逼近的优势。

采用三角形式的Prony-like方法对不同阶和不同自变量区间上的函数进行逼近,并与幂级数和渐近级数展开方法作对比,得出Prony-like方法显著优于幂级数和渐近级数。3.对Prony-like方法加以改进,进一步提高了逼近效率和逼近精度:(1)采用切比雪夫零点替换Prony-like方法中的节点,避免了通过Hankel 矩阵和广义特征值问题计算节点的复杂过程,在保证逼近精度的同时,大幅提高计算效率,节约了计算资源。(2)优化Prony-like方法中求解系数时的取样方法。采用间隔取样法求解系数,可以进一步提高逼近结果的精度。

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z

小宗量z 0 ，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得又可得如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np

J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp

大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

Bessel函数介绍

第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。贝塞尔积分

α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）

数据拟合与函数逼近

第十三章数据拟合与函数逼近数据拟合与函数逼近涉及到许多内容与方法，从不同角度出发，也有多种叫法。这一章，我们主要通地线性拟合而引出最小乘法这一根本方法。 13.1 数据拟合概念与直线拟合插值法是一种用简单函数近似代替较复杂函数的方法，它的近似标准是在插值点处的误差为零。但有时，我们不要求具体某些点的误差为零，而是要求考虑整体的误差限制。对了达到这一目的，就需要引入拟合的方法，所以数据拟合与插值相比：数据拟合--不要求近似函数过所有的数据点，而要求它反映原函数整体的变化趋势。插值法--在节点处取函数值。实际给出的数据，总有观测误差的，而所求的插值函数要通过所有的节点，这样就会保留全部观测误差的影响，如果不是要求近似函数过所有的数据点，而是要求它反映原函数整的变化趋势，那么就可以用数据拟合的方法得到更简单活用的近似函数。 13.1.1 直线拟合由给定的一组测定的离散数据(,)i i x y （1,2,,i N = ），求自变量x 和因变量y 的近似表达式()y x ?=的方法。影响因变量y 只有一个自变量x 的数据拟合方法就是直线拟合。直线拟合最常用的近似标准是最小二乘原理，它也是流行的数据处理方法之一。直线拟合步骤如下： (1) 做出给定数据的散点图（近似一条直线）。 (2) 设拟合函数为： i bx a y +=* (13.1.1) 然后，这里得到的*i y 和i y 可能不相同，记它们的差为： i i i i i bx a y y y --=-=* δ (13.1.2) 称之为误差。在原始数据给定以后，误差只依赖于b a ,的选取，因此，可以把误差的大小作为衡量b a ,的选取是否优良的主要标志。

数值分析函数逼与曲线拟合

第三章函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。

1.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+；实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图1

贝塞尔函数及其应用

题目：贝塞尔函数及其应用

摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目录一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。（一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。（二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。（二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。（三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。（五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。（二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。二、实验原理 1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点

数值逼近(复旦大学)答案

习题一 1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。 11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。

15．求的误差分析。解：其中。 16．有误差，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。 14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为

其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。 10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。（2）向后误差分析，仍由定理5 其中：。第二章函数的插值

1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为： 2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：

所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：

第二类修正贝塞尔函数(Fortran代码)

调试日期：2011年9月13日星期二程序说明：计算第二类修正贝塞尔函数的Fortran代码，参看徐士良先生的《Fortran常用程序算法集》 PROGRAM BSL_XSL DOUBLE PRECISION MBSL4,X OPEN(1,FILE='BSL.DAT',ACTION='WRITE') DO X=0.05,3,0.05 WRITE(1,*),X,MBSL4(0,X-0.01),MBSL4(1,X) ENDDO CLOSE(1) ENDPROGRAM FUNCTION MBSL3(N,X) DOUBLE PRECISION MBSL3,X DOUBLE PRECISION T,Y,P,B0,B1,Q,A(7),B(7),C(9),D(9) DATA A/1.0,3.5156229,3.0899424,1.2067492, * 0.2659732,0.0360768,0.0045813/ DATA B/0.5,0.87890594,0.51498869,0.15084934, * 0.02658773,0.00301532,0.00032411/ DATA C/0.39894228,0.01328592,0.00225319, * -0.00157565,0.00916281,-0.02057706, * 0.02635537,-0.01647663,0.00392377/ DATA D/0.39894228,-0.03988024,-0.00362018, * 0.00163801,-0.01031555,0.02282967, * -0.02895312,0.01787654,-0.00420059/ IF (N.LT.0) N=-N T=ABS(X) IF (N.NE.1) THEN IF (T.LT.3.75) THEN Y=(X/3.75)*(X/3.75) P=A(7) DO 10 I=6,1,-1 10 P=P*Y+A(I) ELSE Y=3.75/T P=C(9) DO 20 I=8,1,-1 20 P=P*Y+C(I) P=P*EXP(T)/SQRT(T) END IF END IF IF (N.EQ.0) THEN MBSL3=P RETURN

最佳分数值逼近(mathematica数学实验报告)

姓名 ### 学院 ###### 班级 ######### 学号 ######### 实验题目最佳分数值逼近评分实验目的： 1、用“连分数展开”的方法计算圆周率π的近似值； 2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣； 3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。实验环境：学校机房，Mathematica4.0软件实验基本理论和方法： 1、Mathematica 中常用的展开数与多项式的函数的使用； 2、计算圆周率π“连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数。实验内容和步骤：（一）多项式的展开与化简多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica 提供一组按不同形式表示代数式的函数。如： 1、对12 x 1-进行分解，使用的函数为Factor ： 2、展开多项式 7 x+2（）与5 x+y+7（），使用的函数为Expand:

3、化简(1)^4(2)^(3)x x x +++与(1)^3(2)^4(3)^(1)x x x x +++-，使用的函数为 Pimplify: 4、连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic 中提供两个函数PolynomialQuotient 和PolynomialRemainder 分别返回商式和余式：

（二）π的连分数展开 π的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的π的近似值求解方法，我们在所得整数3的基础上进行分析，有了整数3，则 π=3+1x ，其中10.141592653579...x =是3的误差，101x <<。只要能找到1x 的最佳分数逼近值，再加3就得到π的最佳分数近似值。从而我们使用一种方法“连分数展开“，其原理是：为了寻找与1x 接近的分数，先找与11 1 7.062513305931...A x = =接近的整数，显然是7.于是111223377 A π=+ ≈+=，这是祖冲之的效率。在此基础上，我们可以再用上述方法，要找到比 22 7 误差更小的分数近似值，只需要找到比整数7更接近1A 的分数来作为1A 的近似值。由于127A x =+，其中 200.062513305931...1x <=<。先找22 1 15.996594406685...A x = =的最佳整数近似值，显然是16.于是1211113771616A A =+ ≈+=，从而1 2 111355 3331 1113 7716 A A π=+=+≈+ = + +，这就得到祖冲之的密度。如果还要进一步提高精确度，就应当在考虑2A 的整数近似值16的误差 32160.003405593314...x A =-=，取33 1 293.6345910144...A x = =的整数近似值294，则可

贝塞尔函数的应用数学物理方程

贝塞尔函数的应用（11.13）形如 222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-= 的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。且 ()()v f x J x = 是方程的一个解。此外，当v 不是整数时， ()()v f x J x -= 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C J x -=+ 当v 是整数时， ()()v f x Y x = 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C Y x =+ 问题1：考虑极坐标下的二维波动方程 212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++ (,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ=== 根据变量分离法，首先假设 (,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ 代入原微分方程后可得

212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--??Θ=Θ+Θ+Θ?? 移项整理可得 1222''()''()()'()()()''()0()()() T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此 22''()()0T t c T t μ+= 同时 1222''()'()''()0()() R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此 2''()()0v θθΘ+Θ= 2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-= 分别求解上述三个微分方程对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此 (,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+ 即 ()(2)θθπΘ=Θ+ 由于其通解为 012()(cos sin ) e C v C v θθθΘ=+ 同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++

数值逼近课程设计报告

课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级计算092 姓名杜青学号 50 指导教师秦新强、胡钢日期 2011-07-01 理学院应用数学系

一、目的意义 (1)进一步熟悉掌握复化梯形公式。 (2)进一步掌握熟悉复化抛物线公式。 (3) 学会比较复化梯形公式和复化抛物线公式如何达到所要求的精度。二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分 dx e x x x 5.14 2)(13-? -，并比较计算量（精度为10 -8 ）。三、问题解决的方法与算法方法：利用复化梯形和复化抛物线积分公式。算法：输入：端点a 、b 以及要计算的积分公式f(x)；输出：积分f(x)在指定区间上的近似值以及当其达到所要求的精度时要做的等分数n 的值。 Step1：编写复化梯形公式程序。 Step2：通过所要达到的精度作为条件，算出要做的等分数以及对应的近视值。 Setp3：编写复化抛物线积分公式程序。 Setp4：通过所要达到的精度作为条件，算出要做的等分数以及对应的近视值。 Setp5：然后比较复化梯形和复化抛物线的所需等分数，比较谁的精度比较高。四、计算程序 1.复化梯形数值积分及其应用报告 1

#include <> #include <> double f(double x) { double s; s=13*(x-x*x)*exp*x); return s; } void main() { int n,i; double h,m,y,a,b,t[3000]; printf("请输入端点的值a,b\n"); scanf("%lf",&a); scanf("%lf",&b); for(n=1;;n++) { h=(b-a)/n; m=(f(a)+f(b))/2; for(i=1;i

函数逼近与曲线拟合

实验二函数逼近与曲线拟合报告一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。 t(分) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 4(10)y -? 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为23123()t a t a t a t ?=++； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j y t 的误差，1,2,,12j = ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、* 绘制出曲线拟合图。三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。四、实验学时：2学时五、实验步骤： 1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序； 5．撰写报告,讨论分析实验结果．

解：实验步骤（一）算法流程构造a1、a2、a3的线性方程组------构造误差平方和------对a1、a2、a3求偏导数------令偏导为零求得a1、a2、a3的值。（二）编程步骤与分析 1. 绘制数据点(t,yi)的散点图输入程序为： t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4 plot(t,y,'r*'), legend('实验数据(t,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'), title('数据点(t,yi)的散点图')，显示结果为： 2.求参数a1、a2、a3的解析表达式计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 syms a1 a2 a3 t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; fi=a1.*t+ a2.*t.^2+ a3.*t.^3 运行后屏幕显示关于a1,a2, a3的线性方程组： fi = [ 0, 5*a1 + 25*a2 + 125*a3, 10*a1 + 100*a2 + 1000*a3, 15*a1 + 225*a2 + 3375*a3, 20*a1 + 400*a2 + 8000*a3, 25*a1 + 625*a2 + 15625*a3, 30*a1 + 900*a2 + 27000*a3, 35*a1 + 1225*a2 + 42875*a3, 40*a1 + 1600*a2 + 64000*a3, 45*a1 + 2025*a2 + 91125*a3, 50*a1 + 2500*a2 + 125000*a3, 55*a1 + 3025*a2 + 166375*a3] 构造误差平方和： y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64].*1e-4;

数值逼近积分公式

实习论文题目复化抛物线型积分公式专业信息与计算科学班级计算092 学号3090811065 学生周吉瑞指导教师秦新强 2011 年

复化抛物线型积分公式专业：信息与计算科学学生：周吉瑞指导老师：秦新强摘要考虑到数值计算的稳定性，用增大n额方法来提高数值积分代数精度的方法是不可取的，类似于分段插值，为了减小数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后不把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分，而复化抛物线型积分公式就是其中比较简单的复化数值积分公式。关键词：稳定性，数值积分，区间

一、目的意义抛物线型积分公式结构简单方便，但是精度较差，而复化抛物线型积分公式则可以提高数值积分的计算精度。二、公式复化抛物线型积分公式及其误差： 11 1()112 4 (4) ()[()4()2()()] 6()[](),(,) 2880 k k b n n k x x k k a n h f x dx f a f x f x f b b a h R f f a b ηη--+==≈+++-=- ∈∑∑? ；三、算法流程 Step1:输入积分区间的端点a ，b 和区间等分数n ； Step2:置2b a h n -= , F0=f(a)+f(b);F1=0,F2=0; Step3:对j=1，2，···，2n-1循环执行步4至步5； Step4:置x=a+jh; Step5:如果j 是奇数11()F F f x =+；否则F2=F2+f(x); Step6:置021(24) 3n h F F F S ++=； Step7:输出n S ；结束。四、算法程序 #include #include void main() { float f(float x); int j,n; float a,b,h,x,F0,F1=0,F2=0,S; printf("请输入积分区间的两端点a,b 和等分数n ："); scanf("%f%f%d",&a,&b,&n); h=(b-a)/(2*n); F0=f(a)+f(b); for(j=1;j<2*n;j++) { x=a+j*h; if(j%2==0) F2=F2+f(x);

数值逼近问题详解以及精彩试题

第一章误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位三位六位四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位

5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b --< ?

Bessel函数应用例

《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例组别：第十三组小组成员：唐文岐、高成振、林慧平、邹三泳、郭凯

目录封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23)

文章说明：本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。摘要：物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数

数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合

大。

为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图1

贝塞尔函数释疑

数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学，还编制基本星表，测定恒星视差，预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科）一、贝塞尔方程与贝塞尔函数二、贝塞尔方程与欧拉方程比较三、贝塞尔函数与伽马函数四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。在教科书中Bessel 方程来源 1．在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得

函数的数值逼近

函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。 1、预备知识 1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1 设有C [a,b]中的函数组,),(,),(),(10 x x x n ΦΦΦ若满足 { )1.1()()()(),(,0, ?≠=>= ΦΦ=ΦΦb a k j k j A k j k j k dx x x x ρ 其中)(x ρ为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交函数组,其中k A 为常数,若k A =1,称该函数组是标准正交的. 定理1.1 设函数组{}∞ =Φ0)(k k x 正交,则它们一定线性无关. 证设),,2,1()(n i x i =Φ为{}∞ =Φ0)(k k x 中任意n 个函数,令 ,0)()()(2211=Φ++Φ+Φx C x C x C n n 上式两边与)(x k Φ作内积,由内积的性质和正交性有 ).,,2,1(0),(n k C k k k ==ΦΦ 因为,0),(≠ΦΦk k 故有),,2,1(0n k C k ==.得证. 定理1.2 设{}],,[)(0b a C x n k k ∈Φ=它们线性无关的充分必要条件是其Gram 行列式,0≠n G 其中 )2.1() ,(),(),(),() ,(),(),(),(),(101110101000n n n n n n n G ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ= 证我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(k j j k ΦΦ=ΦΦ故n G 对应的矩阵是对称矩阵.考虑以n a a a ,,,10 为未知元的线性方程组 ∑===ΦΦn k k j k n j a )3.1().,,1,0(0 ),( 其系数行列式为n G .由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0n k a k ==的充要