2012级物理竞赛最后模拟要点

2012级物理竞赛最后模拟（一）

1．如图所示，总能量为E的相对论性高能电子(其动能大于静能)与频率为v的低能光子(能量小于电子静能)相向运动而碰撞，碰后光子沿与原入射方向成θ角的方向散射(散射电子图中没有画

表示)。当θ为何值时，散射光子的能量最大?出)，求散射光子的能量(用E，v，θ和电子静能E

并求此最大能量。

2．在静止车厢内有一幅角θ为常量（0<θ<90°）的圆锥摆，当摆球处以图中所示的最左位置时，车厢开始以常量a向右作水平匀加速运动。试问：摆球相对车厢是否有可能恰好从此时刻开始以θ′（0<θ′<90°）为幅角作圆锥摆运动？

3.为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0．01 AU(AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：l AU=1.495×1011m)，并与地球具有相同的绕日运行周期(为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动)．试问从地球表面应以

。(发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速多大的相对于地球的发射速度u

度)发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近(也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上)进入符合要求的椭圆轨道绕日运行?已知地球半径＝6.37×106 m，地面处的重力加速度g=9.80m/s2，不考虑空气的阻力．

R

e

4.如图所示，在竖直向下的足够宽广的O xy 平面中，每隔d 的区域内就有一段d 的区域内存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场（电场强度为E ，磁感强度为B ＝0.1T ）。有一带电

荷量为q ＝+2.0×10-10C ，质量为m ＝1.1×10-11

kg 的带电粒子从O 点自由下落，且qE ＝mg 。 （1）求粒子到达第几个电场和磁场分布的区域时，带电粒子不能从该区域的下方射出来？ （2）求粒子在该区域内运动的时间。（g 取10m ·s -2）

5.如图所示，飞船总质量为m,内装质量为m 0的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为r 1,

速度为1v =

(1) 证明0.5

(2)如图（b ）所示，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后飞船

沿圆轨道运动，求质量比m o /m 及发射探测器的相对速度u ；

(3)如图（C ）所示，若在远地点以上述相对速度U 发射探测器，试求探测器运行的轨道。

6.假定各国在发射卫星时都遵循以下规定：卫星进入轨道后不可离开本国领土和领海对应的领空，即卫星与地心连线和地球表面的衮点必须落在自己的领土和领海上，为下面讨论的需要，给出同步卫星的轨道半径为尺R 0=4.21×l04km ．

(1)一个领空范围占据北纬20～50。的国家是否能发射一颗不用动力飞行的卫星?一个领空范围占据北纬l5。至南l0。的国家呢?

(2)某国发射一颗周期为T0=1d 的不用动力飞行的卫星，卫星轨道平面即为赤道平面．容易理解，若卫星取一椭圆轨道，则它相对地心的角速度就不是定值，与地面上的参考点之间会发生相对运动，假设这个国家仅拥有?=2。经度范围的赤道领空，发射者就必须将卫星轨道的偏心率e 限制在一个很小的范围内，以保证卫星不离开本国领空．设椭圆半长轴为A ，半短轴为B ，则椭圆焦点与

椭圆中心的距离为C ，椭圆偏心率定义为e=C ／A ，试确定偏心率e 的最大可能值．

7. 假设万有引力与距离的一次方成正比。

（1）试仿照开普勒三定律的内容，建立相应的行星闭合轨道三定律； （2）若施力者为若干固定的质点，试问受力质点能取什么样的运动轨道？

8.试求解关于万有引力和天体运动的以下两题：

（1）设万有引力大小为a Mm

F G r

=．已知地球绕太阳运动的轨道是

一个A ≠B 的椭圆，其中A 和B 分别是椭圆的半长轴和半短轴。①若

太阳位于椭圆的中心，试确定a 的可取值；②若太阳位于椭圆的某个焦点上，试确定a 的可取值．

(2)牛顿万有引力的大小为2Mm

F G r

=．①已知太阳的质量M ，地

球绕太阳椭圆轨道的半长轴和半短轴分别是A 和B ，试求地球在距太阳最近点处的速度和地球椭圆运动的周期；②l994年7月16日20时15分，哈勃望远镜观察到了苏梅克一列维9号彗星的第一块碎片与木星相撞，而后其他碎片与木星相撞．在这之前，彗星早已开始绕木星做椭圆运动，据天文测量数据绘制的椭圆运动轨道如图所示，图平面即为轨道所在平面．试根据此图，估算彗星碎片刚进入木星大气层时相对木星的速度大小．

9.在一惯性坐标系S 中，观察到两艘宇宙飞船A 、B 沿直线相向平行飞行，轨道相距为d ，如图所

示．飞船的速率都是

2c ．当两艘飞船抵达彼此最近点时(图中虚线表示处)，飞船A 以4

3

c 的速率(S 系中观察)投出一小包．

(1)为使小包能被飞船B 收到，则小包抛出的角度应多大?假设飞船A 上有一与S 系坐标轴都平行的坐标系S ’，S ’系相对S 系运动方向平行于y 轴．

(2)从飞船A 的观察者看来，小包抛出的速率为多大?

2012级物理竞赛最后模拟（二）

1．某光滑曲面由曲线()y f x =绕竖直y 轴旋转一周形成．一自然半径a 、质量m 、劲度系数k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度处，则曲线方程为

2.在一竖直固定的圆筒底部连接一根足够长的轻弹簧，弹簧上方连接一个圆活塞，活塞与筒壁间有摩擦，其间最大静摩擦力与滑动摩擦力同为活塞所受重力的α倍。开始时，弹簧处于自由长度状态，活塞静止，如图所示。随即观察到活塞降落，降落高度可达L ，设题中活塞带孔，上下气体可自由穿越。

（1）以活塞初始位置A 为参考点，确定活塞最终可能停留的区域； （2）若观察到活塞的全部运动由两次下降和一次上升运动构成，试确定活塞最终可能停留的区域。

3．长为L 、质量均匀分布的细杆AB ，A 端能在一个光滑的铅垂线上运动，B 端能沿一条粗糙的水平直线运动，两直线间最短距离为a ，a <1，B 端与水平直线静摩擦系数为u 。假定L>a,A 端高于B 端。求杆能保持平衡，θ的取值范围。

4.如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔

掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。初始时将活塞B 用销钉固定在图示的位置，隔板M 固定在容器PQ 处，使a 、b 两室体积都等于V 0；1K 、2K 关闭。此时，b 室真空，a 室装有一定量的空气（容器内外气体种类相同，且均可视为理想气体），其压强为4P 0/5，温度为T 0。已知1mol 空气温度升高1K 时内能的增量为C V ，普适气体常量为R 。

（1）.现在打开1K ，待容器内外压强相等时迅速关闭1K （假定此过程中处在容器内的气体与处在容器外的气体之间无热量交换），求达到平衡时，a 室中气体的温度。

（2）.接着打开2K ，待a 、b 两室中气体达到平衡后，关闭2K 。拔掉所有销钉，缓慢推动活塞B 直至到过容器的PQ 位置。求在推动活塞过程中，隔板对a 室气体所作的功。已知在推动活塞过程中，气体的压强P 与体积V 之间的关系为V

V C R

C PV

＝恒量。

5．一块厚玻璃以速率v 向右运动．在A 点有闪光灯，它发出的光通过厚玻璃后到达B 点，如图所示．已知A 、B 之间的距离为L ，玻璃在其静止的坐标系中的厚度为D 0，玻璃的折射率为n ．试问，光从A 点传播到B 点需多少时间?

6.如图所示，一圆柱形区域的匀强磁场B 随时间t 变化，在磁场区域内垂直于B 的Oxy 平面上

有一光滑绝缘的细空心管MN，它固定在x轴上并相对于y轴对称，MO′与OO′之间的夹角为θ，其中O′是磁场区域中央轴与xy平面的交点。在管MN内有一质量为m电量为q(q＞0)的光滑小球，

t=0时小球静止在M位置。设B的方向如图所示，其大小随t的变化规律为B=B

O sinωt，其中B

O

和ω均为正常的常量。设B的这种变化规律刚好能使小球在MN之间以O为中心、MN长度的一半为振幅做简谐运动。

（1）试确定小球做简谐振动的圆频率ω球与m、q、θo、Bo之间的关系。

（2）设MN长为2R，试求管MN受到小球作用力的y分量Ny与小球位置x之间的函数关系；画出Ny(x)曲线，并标出曲线上的特征点。

7．当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜。

(1)曲率半径r1和r2已知，求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径r12。

(2)考虑r1=r2=r的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂泡的半径是什么?在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么?我们假定，肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。

8．所图所示的图线是表示在10℃—30℃的范围内水的饱和蒸汽压曲线。现将温度为27℃、压强

为760mmHg、相对湿度B＝80%的空气封闭在容器中，将它逐渐冷却，试问：

（1）冷却到12℃时，容器内空气压强为多少？

（2）温度降到多少摄氏度时开始有水凝结？这时纯空气和

水蒸气的压强各为多少？

2012级物理竞赛最后模拟（三）

1．如图所示，一根长为L 的轻质刚性捧的两端分别连着质量为m 的质点．现将此棒放陆光滑的桌面上，并用一个质量为m 、速度为υ0的质点与棒端的一个质点相碰．已知υ0的方向与棒的夹角为450，并设碰撞为弹性碰撞．碰撞之后，质点沿原直线返回，试求碰撞之后棒的角速度。

2．空气输气管上接有1个包有绝热材料的刚性容器。输气管可看成一个容量极大的气源，其压强为为P 0，温度恒为T O ，刚性容器内装有空气，其压强为P 1（P 1>> P 1）温度恒为T 1，现小心开启阀门，让气体缓慢充入容器。求当容器内压强达到P 2（P 0> P 2 >P 1）时容器内气体的温度。（空气可视为理想气体。已知1mol 空气内能可表示为U=C V T ，其中C V 为常数，T 为热力学温度）。

3．设v 0与v 分别表示静止原子和运动原子发射的光子的频率，试证明，它们之间满足关系式

1cos v v c

υ

θ

=-

4.铜制圆环的两个半径分别为r

1＝1cm和r

2

＝1 mm，如图所示．圆环竖放在地面上，环底部有固

定的光滑栓限制，使其不能滑动．圆环周围有竖直向上的均匀的匀强磁场B＝1.0 T．如图所示，圆环偏离竖直方向倒向地面．已知铜的电导率σ＝6.25×107Ω－1·m－1，质量密度ρ＝8.93×103kg/m3，试通过数量级的估算，判断圆环倒下时其重力势能主要是转换成圆环的动能还是转换为焦耳热能．

5．一半径为R的实心均匀球，开始时质心静止，但绕过质心的水平轴以角速度ω0旋转，从球的

最低点离地高h处竖直下落到地面，球与地面碰撞的恢复系数为e，球与地面的摩擦系数为μ，忽略空气阻力及碰撞时产生的形变．

(1)试求碰撞后球的质心速度和自转角速度；

(2)试求第一次落地点与第二次落地点之间的水平距离；

(3)试画出碰后球的质心速度与地面夹角θ的正切与初始角速度ω0的关系曲线．

6.如图所示，质量同为m的两个相同等腰直角三角形斜木块平放在光滑水平地面上，且已通过某种约束使其始终不会翻转，斜面底端相互接触。一根劲度系数为k，自由长度恰好等于每个斜木块底面长度两倍的弹性轻杆，两端分别连接质量同为m的小球，开始时两个小球静止在两个斜木块的顶端。自由释放后，两个小球可以无摩擦地沿斜面滑动，斜木块底面作水平运动，弹性杆随之在竖直方向上运动，运动过程中假设杆始终处于水平状态。将斜木块给小球支持力大小记为N，已知小球开始运动后N第二次达到极小值时，杆刚好落地，试求N第二次达到极大值时杆的长度。

7.四块面积同为S、原不带电的导体薄平板A、B、C、D，依次平行放置，相邻间距很小，分别记为d1、d0、d2，如图1所示。给B充以电量q＞0，再用图1中虚直线所示的细导线连接B、C，最终达到静电平衡。(1) 试求A到D的电势降U AD；现将图1所示系统达到静电平衡后，通过理想导线，电键K1和K2，电动势为E的直流电源以及电阻分别为R0、R x和r的电阻器连接成图2所示电路。开始时K1、K2均断开，而后接通K1，直到电路达到稳定状态。(2) 试求该过程中从电源正极朝平板A流去的电量Q，并判断Q 的正负号；最后再接通K2，测得流过电阻器r的电流强度始终为零。(3) 设Rx为未知量，试求Rx，并给出E的取值范围。

2012级物理竞赛最后模拟（四）

1.如图所示，气缸（Ⅰ）（Ⅱ）都是绝热的，底面积均为S ，高度分别为L 2和L 。气缸中有一绝热轻质薄活塞，可气缸无摩擦的上下滑动。活塞通过一根劲度系数k 为自然长度为L 的轻弹簧与气缸（Ⅰ）顶部相连.两气缸通过一根很细的截面积为A 的绝热管道相连。管道中靠近气缸（Ⅱ）处有一个小木塞B 堵住管道，它与管道间最大静摩擦力为f 。R 是电阻丝，可以通电发热。C 是压强传感器，当它工作时能控制电阻丝R 的产热速率，使气缸（Ⅰ）上部压强维持在它开始工作时一瞬间的数值。它的开关在K 处，一旦木塞B 不能维持平衡，就将很快射出而撞击K ，使C 开始工作(图中未画出)。现在在气缸（Ⅰ）的上、下部分各充入适量理想气体氦气，使它们的压强均为1P ，温度均为1T ，弹簧处于原长；气缸（Ⅱ）中抽成真空。然后接通电源，缓缓加热。求最终活塞距气缸底部的距离和此时气缸（Ⅱ）中气体温度。题中已知数据如下： 20.100m ,S =0.500m,L =43.3010N/m,k =?

622.0010m ,A -=?0.635N,f =

5

1 1.0010Pa,P =?1300K.T

=

2.惯性系'S 相对于惯性系S 以速度v 沿x 轴正方向匀速运动，在0'

==t t 时两系的坐标原点重合。在坐标原点

o 和'o 处各有一实验者，相对于各自的参考系静止。'

O 处的实验者在'S 系中't 时刻（0'>t ）向O 处实验者发射一个光信号。

(1) S 系中测得'

O 处实验者发射一个光信号的时刻t 是多少？

(2) O 处实验者看到'

O 处实验者发射光信号时，对应于S 系的时刻是多少？ (3) 试推导出光源远离观察者时，光的多普勒效应公式。

3.如图所示，一个质量为m ，半径为a 、厚度为h h (<<)a 的匀质环形导体圆盘可绕通

过盘心且垂直盘面的金属轴'

OO 转动，金属轴的电阻可忽略。圆盘上距盘心r 处的电阻率与r 成正比，即r 0ρρ=，0ρ为常量。整个环形圆盘处在与环面垂直的恒定匀强磁场中，磁感应强度的大小为B 。转轴与圆盘边缘通过电刷与理想电感L 连成闭合回路。一切摩擦均不计。 (1)．现用一恒定的外力矩M 作用于圆盘,使它由静止开始转动,求当圆盘转动达到稳定时, 圆盘转动的角速度0ω和通过电感L 的电流0I 。

(2)．在圆盘转动达到稳定后，突然撤去外力矩M ，求以后通过电感L 的电流i 随时间t 的变化方程式。

4.一粒子衰变成能量分别为E 1和E 2的两γ射线，它们的夹角为θ，求此粒子的静质量。

5.有两个完全相同的平凸透镜曲面半径均为R ，在空气中的焦距为f 。现将其中一个凸透镜A 的平面镀银，将另一个凸透镜B 的曲面镀银，光都从未镀银的一面射入。试求此时平凸透镜A 、B 的焦距。

6.惯性系S 、S '间的相对运动关系如图所示，其间相对速度大小为v 。S '系的O '-x 'y '平面中有一根与x '轴平行的细杆AB 。杆长，在S '系中沿y '方向匀速平动，速度大小也为v 。S 系测得杆AB 与x ' 轴夹角绝对值9= ，杆长l= 。

7.三个钢球A 、B 、C 由轻质的长为l 的硬杆连结，竖立在水平面上，如图所示．已知三球质量m A =2m ，m =m =m ，距杆a=

2

5l 处有一面竖直墙．因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B 球下降．致

使C 球与墙面发生碰撞．设C 球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比l 小很多，求B 球落地瞬间三球的速度大小．

8.一个质量为m n 的自由中子，在静止状态下衰变成3个相互作用的粒子：质子、电子、反中微子：m p 、m e 、m v .设m v ≠０.实验值m n =939.56563Me Ｖ／C 2

m p =938.2723Me Ｖ／C 2 m e =0.510990Me Ｖ／C 2

衰变产生的电子能量Ｅe ＝Ｅ。求Ｅ的最大可能值及等于该最大可能值时，反中微子的速率

m

v c

(三位有效数字)。若已知m v <7.1 e Ｖ／C

9.质量为m 的滑块Q 以速度v 0向静止在光滑水平面的弹簧振子撞去，弹簧的劲度系数为k ，其两端各连一个质量为3m 的物块B 和C ，最初，Q 的左侧面靠墙，右侧面与B 相距为L=80v k m 23(2

π－1)，如图所示，设所有碰撞均为弹性正碰，求滑块和弹簧振子最后的运动状态。