数学解方程题技巧

抓特征,巧解一元二次方程

解一元二次方程的常用方法有:直接开方法,配方法,公式法,因式分解法.到底选择哪种方法更合适些呢?这应由方程的特征来确定.因此,解方程之前我们应仔细观察方程的系数特点和方程的结构特征,并根据它们来灵活选择解题的方法,从而达到迅速、简便、准确解题的目的.试看以下几例:

例1 解方程()()224211x x -=+.

析 本题方程的特征为左右两边均是一个完全平方式的形式,可尝试用直接开方法来求解.

解 方程两边直接开方,得()()2211x x -=±+,

即()2211x x -=+,或()2211x x -=--,解得1211,.5

x x == 例2 解方程()222163x x x -=-.

析 注意到方程右边可因式分解为()321x x -,左、右两边有相同的公因式,可尝试用因式分解法来求解.

解 原方程可化为()()221321x x x -=-,

移项,得()()2213210x x x ---=,

提取公因式,得()()212130x x x ---=????,即()()2110x x ---=,

解得121, 1.2x x ==-

评注 注意解方程()()221321x x x -=-时,不能把方程两边的(21)x -先约去,再求解.这样做的后果是把其中一个解12

x =漏掉了,深层原因是忽视了(21)x -有可能等于0不能作为除数的情况.对于这一类型的题目,一般要先移项,再提取公因式法进行因式分解后求解.

例3 解方程2912960x x --=.

析 本题方程的二次项系数为3的平方数,一次项系数又是3的偶数倍,可尝试用配方法来求解.

解 原方程可配方为()232100x -=,

两边同时开方,得3210x -=±,解得1284,.3

x x ==- 例4 解方程()()

112x x ++=.

析 方程左边的两个因式具有相同的项x 、可尝试把x ＋“整体”先对方程进行化简.

解 原方程可化为(212x +-=,即(2

3x +=, 两边同时开方,得

x +=解得12x x =-=

评注 本例若直接利用多项式乘法法则将左边展开,这样解题过程将会复杂许多.通过本例再次让我们感觉到抓住方程的特征,才有利于选择适当方法,才能给我们解题带来简捷与准确.

一元二次方程中的思维之魂

新课标要求“人人做有价值的数学”。“有价值的数学”就是数学思想方法的学习，它是数学思维的灵魂。现将一元二次方程中主要数学思想做一个简要的说明。

一、转化思想

所谓转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将难以解决的问题转化为容易解决的问题，将待解决的问题转化为已解决的问题．

本章中“转化”的数学思想方法，如同一条线贯穿始终。如一元二次方程的解法：直接开平方法利用平方根的定义将一元二次方程转化为两个一元一次方程；用配方法求解，是把方程化为2()(0)x a b b +=≥的形式，体现了数学形式的转化，然后利用直接开平方的方法把“二次”转化为“一次”，把“未知”转化为“已知”；因式分解法是利用因式分解的方法把“二次”转化为“一次”；公式法求解直接用公式把“未知”转化为“已知”。这些都体现了转化的思想方法。

二．方程思想

方程思想是本章中反映的主要数学思想方法，并在本章中有广泛的应用。如已知方程和方程的根，求方程中字母的值时，运用了方程思想；又如列方程解应用问题充分体现了方程思想。先找出应用问题中的一个或几个相等关系，设出未知数，把应用题中的“已知”和“未知”统一在方程中，通过列解方程求得问题的解。

三．整体思想

所谓整体思想就是从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理．在用直接开平方法解一元二次方程时，就涉及到了整体思想．

例1 解方程：23(2(x x x =。

分析 本题的方法比较多，不过如果利用整体的思想的方法可大大地减少运

算量。把(x 作为一个整体，然后利用因式分解的方法进行解答。

解：移项，得 23(2(0x x x -=，

因式分解，得(2]0x x x -=，

所以x 0，3(2x x -＝0，解得1x =2x =

四．分类讨论思想

分类讨论思想是指研究某些数学问题，就其可能出现的各种情况一一加以分类。分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题加以解决。 在利用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中运用了分类讨论的思想。分类的对象是24b ac -、分类的标准是与0的关系、分类的结果是24b ac -＞0、24b ac -＜0、24b ac -＝0，这样分类的结果就十分明确。

又如：在涉及到含有字母系数的一元二次方程时，经常要用到分类讨论思想。

例2 解方程：24||30x x -+=。

分析：本题分两种情况进行讨论：当0x ≥和0x <。

解：当0x ≥时，原方程可化为：2430x x -+=，解得123,1x x ==。

当0x <时，原方程可化为2430x x ++=，解得343,1x x =-=-。

故原方程的解有四个：123,1x x ==，343,1x x =-=-。

整体性思维在解题中的应用

有许多数学题，若单独求解很困难，或者很繁琐。若认真分析题意、仔细观察结构，研究问题的整体形式、整体结构，运用整体性思维，往往能顺利而又简

洁地解决问题。现举几例如下：

1、整体求值

例1、 已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求m 2－2m 的值。

分析 本题若把m 代入方程，求出两个无理根，再把m 的值代入m 2－2m 求值，显然麻烦且容易出错。我们把m 2－2m 看做一个整体，由m 2－2m －1=0，可直接求得m 2－2m=1

2、整体代入

例2、已知x 2－5x －1=0，求x 2+x 21

－11的值.

分析：如果从方程x 2－5x －1=0中解出两个无理根，再代入求值，计算复杂，现把x 2=5x+1视作整体代入，则使求值简便。

解：由x 2－5x －1=0，得x 2=5x+1，所以x 2+x 21

—11=5x+1+1

51+x －11 =15)15(111)

15(2++-++x x x =

15945252+--x x x =1

5945)15(25+--+x x x =1

5)15(9)15(25++-+x x x =1

5)15(16++x x =16. 3、整体求积

例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=6,AB=5.求S ⊿ABC.

分析 若求出AC 和BC 的值，再计算S ⊿ABC ，则很麻烦。

由于S ⊿ABC=2

1AC·BC,所以我们只要能求出AC·BC 的值就可以了。 解 由AC+BC=6,得（AC+BC ）2=6,所以，AC 2+BC 2+2AC·BC=6,由勾

股定理得，AC 2+BC 2=AB 2=5，所以，AC·BC=2

1， 因此，S ⊿ABC=2

1AC·BC=41。

4、变0代入

例4、当x=2

20091+时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。 分析 若直接代入x 的值，计算将很难进行下去。

解 由x=2

20091+，得2x -1=2009，两边平方整理得：4x 2-4x -2008=0。4x 3-2012x -2009=x(4x 2-4x -2008)+( 4x 2-4x -2008) -1=-1。

所以，原式=（-1）2009=-1。

善于观察，从整体分析，挖掘出问题的本质特征，充分运用整体性思维，往往能事半功倍，从而使得许多难题迎刃而解。

单元检测：一元二次方程A 组

一、选择题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）．

(A) 23(1)2(1)x x +=+ (B) 21120x x

+-= (C) 20ax bx c ++= (D) 2221x x x +=-

2．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ）．

(A) 12± (B) 1± (C) ± (D) 3．如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为（ ）．

(A) -1 (B) 2 (C) 21- (D) 21+

4. 若方程0522=+-m x x 有两个相等实数根，则m =（ ）．

(A) 2- (B) 0 (C) 2 (D) 8

13 5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）．

(A) (1)1035x x += (B) (1)10352x x -=?

(C) (1)1035x x -= (D) 2(1)1035x x +=

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

6．方程2310x x -+=的解是 ．

7．如果二次三项式221)16x m x -++（是一个完全平方式，

那么m 的值是___． 8．如果一元二方程043)222=-++-m x x m （有一个根为0，

则m = ． 9．若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 ．

10．已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 ．

三、解答题（本大题共5个小题，每小题10分，共50分）

11．用适当的方法解下列方程：

(1) 26730x x +-= (2) 22510x x +-=

12．已知)0(04322≠=-+y y xy x ，求

y

x y x +-的值．

13．已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=

(1) 当m 取何值时，方程有两个实数根；

(2) 为m 选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根.

14. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 cm 2？

15．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。

(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为

公

顷，比2002年底增加了 公顷；在2001年，2002年，2003年这三年中，绿地面积增加最多的是 年；

(2)为满足城市发展的需要，政府加大绿化投入,到2005年底城区绿地面积达到72.6公顷，试问这两年绿地面积的年平均增长率是多少?

参考答案

一、选择题

1．A ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．B

二、填空题 6. 2

53±； 7．125,3m m =-=； 8．2m =-； 9．1,6p q =-=-；

10．22,1x k =-=；

三、解答题

11．[解] (1) 1213,32x x ==- (2) 12x x = 12．[解]原方程可变形为：(4)()0+-=x y x y

即(4)0()0+=-=或x y x y

∴4=-=或x y x y 当45443---=-==+-+，

x y y y x y x y y y 当0--===++，x y y y x y x y y y

13．[解] (1)依题意得：△≥0 即 224(1)4+-m m ≥0

整理得：84+m ≥0 解得：当12

≥-m (2) 当4=m 时，原方程可化为：210160-+=x x

解得：122,8==x x

14. [解] 设蔬菜温室的宽是x 米，长为2x 米

依题意得：(2)(24)288--=x x

整理得：241400--=x x

解得：1214,10==-x x (不合题意舍去)

14228?=米

答：蔬菜温室的宽是14米，长为28米.

15．(1) 60公顷； 4公顷； 2002年； (2) 10%

单元检测：一元二次方程B 组

一、选择题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

1．已知0和1-都是某个方程的解，此方程是（ ）．

(A) 012=-x (B) 0)1(=+x x

(C) 02=-x x (D) 12+=x x

2．方程07)1(82=----k x k x 的一个根为0，则k 的值为（ ）．

(A) 1- (B) 7- (C) 4 (D) 7

3．如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范是（ ）．

(A) k ＜1 (B) 0k ≠ (C) k ＜1且0k ≠ (D)k ＞1

4．如果,)(2522n x mx x -=++则,m n 的值分别为（ ）．

(A) 10,5 (B) 10,5-- (C) 10,5- (D) 10,5-或10,5-

5．以3和1-为两根的一元二次方程是（ ）．

(A) 0322=-+x x (B) 0322=++x x

(C) 0322=--x x (D) 0322=+-x x

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

6．方程20x x ++的根是____________. 7．己知21223,7y x x y x =--=+，能使12y y =的x 的值是_____________.

8．已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数为_____________.

9．方程0222=--x x 的根是31±=x ，则222--x x 可分解

为 .

10．方程0322=+-m x x 的一个根为另一个根的2倍，则m = .

三、解答题（本大题共5个小题，每小题10分，共50分）

11．用适当方法解方程：

(1) 21)0x x ++= (2) 2(32)2(32)150x x -+--=

12．已知关于x 的方程2210x x m --+=无实数根，

求证：关于x 的另一方程2(2)210x m x m -+++=必有两个不相等的实数根．

13. 关于x 的一元二次方程22(51)20-++-=x k x k ，是否存在负数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于4若存在，求出满足条件的k 的值，若不存在，说明理由.

14．某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．

15．已知：?ABC 的三边分别是a b c 、、，方程02442=-++c b x a x 有两个相等的实数根，且a b c 、、满足b c a =-23.

（1）求证：?ABC 是等边三角形.

（2）若a b 、为方程0)32(22=+-+-k kx x 的两根，求k 的值.

参考答案

一、选择题

1． B[提示]注意将选项逐一检验，或直接构造方程亦可；

2． B[提示]将0代入方程即可；

3． C[提示]因为是一元二次方程，不要丢掉0k ≠；

4． D[提示]根据配方的法则分析或将等号的右侧展开，然后对比系数；

5． C[提示]检验和构造均可，注意符号.

二、填空题

6．12x x ==[提示]，然后用因式分解法求解；

7．122,5x x =-= [提示]根据12y y =得方程2237--=+x x x ，整理求解；

8．355和，-3和- [提示]略；

9．11x x --（ [提示]若方程20++=ax bx c 有根12,x x ，则二次

三项式2++ax bx c 必可分解为12()()--a x x x x 的形式；

10．1m =[提示]由两根和为32

，且一根是另一根的2倍，可得 121,12==x x ，两根积为12

，所以1m =.

三、解答题

11．(1) 12x x == (2) 1251,3

x x =-= 12．[证]依题意得：△1< 0,

即4440+-

△122(2)4(21)4=+-+=-m m m m

∵0m m 恒成立，

∴方程2(2)210x m x m -+++=必有两个不相等的实数根．

13．[解]由跟与系数关系得2121251,2+=+?=-x x k x x k

∴1221212115142

+++===-x x k x x x x k 整理得：24590--=k k 解得：1291,4

=-=k k 当1=-k 时，方程化为：2410--=x k 0?>恒成立，

∴当1=-k 时，满足题意.

14．[解] 设每盏灯的进价是x 元， 依题意得：400(4)(5)4009+-+=x x x x 整理得：27208000+-=x x 解得：128010,7

==-x x (不合题意舍去) 答：每盏灯的进价是10元.

15．⑴证略. ⑵1k =