有限元分析总结

有限元分析考试总结

赵启东1、有限元法定义

有限元法（FEM）是随着计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。

从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替等分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。

从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于数确解。

2、有限元法求解步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

3、应力、屈曲（屈曲模态）

应力：应力是结构对载荷抵抗所产生的力。用单位面积的力来表示。此应力是判断产品与结构破坏（损坏）与否的重要指标。

屈曲：象这样，载荷的大小超过一定的数值，变形的形状与此之前变形的形状发生了不同的变化，从而承受载荷的能力减少了，把这一现象称为屈曲。把屈曲产生时的载荷称为屈曲载荷。

屈曲模态：对于屈曲，即使相同的构件，如果端部的支持状态（或称约束条件）不同，则屈曲载荷的大小或屈曲的变形形状也不同。我们把这种变形形状称为屈曲模态。

4、常用基本单元形式

5、理想弹性体的基本假定

理想弹性体的基本假定：

1.物体是连续、均匀和各向同性的；

2.物体是完全弹性体；

3.在施加负载前，体内没有初应力；

4.物体的形变十分微小。

6、弹簧模型

例题一

给定的参数

求解：a)总刚矩阵；

b)节点2和节点3的位移；

c)节点1和节点4的作用力；

d)对弹簧2的作用力。

单刚矩阵

总刚矩阵

得到矩阵方程

引入边界条件

求得位移

求得作用力

弹簧2的作用力

7、杆单元（空间模型）

求：

1）节点2的位移；

2）每根杆的应力

解：局部坐标系中可知：

由于单元的刚度矩阵不在一个坐标系中，需要将其变换为同一坐标系单元1：

单元2：

矩阵方程：

边界条件及载荷：

简化为：

求解位移：

求解应力：

8、静力分析（ABAQUS）步骤Part（部分）

Property（特性）

Assembly（装配）

Step（分析步）

Interaction（相互作用）

Load（载荷）

Mesh（网格）

Job（分析作业）

Visualization（后处理）