2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)试题
数学(文)
一、单选题 1.已知集合(){}2
,A x y y x ==,(){}
2
2,1B x y x
y =+=,则集合A B I 中元素的
个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3
【答案】C
【解析】作出函数2
y x =和圆22
1x y +=的图象,观察两曲线的交点个数,可得出集
合A B I 的元素个数. 【详解】
如下图所示,由函数2
y x =与圆22
1x y +=的图象有两个交点,
因此,集合A B I 含有两个元素,故选:C.
【点睛】
本题考查集合的元素个数,考查曲线的交点个数问题,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
2.瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:cos sin ix e x i x =+,根据三角方程,计算1i e π+的值为( ) A .1- B .0
C .1
D .i
【答案】B
【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式,然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】
由cos sin ix e x i x =+,则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=,故选B. 【点睛】
本题考查复数的加法运算,解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义,考查计算能
力,属于基础题.
3.移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”,某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况,随机调査了100位学生,共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位,使用过移动支付的学生共有80位,使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位,则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A .0.5 B .0.6
C .0.7
D .0.8
【答案】C
【解析】作出韦恩图,根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数,将人数除以100可得出所求结果. 【详解】
根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图,
因此,该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值70
0.7100
=,故选:C. 【点睛】
本题考查韦恩图的应用,同时也考查了频率的计算,考查数据处理能力,属于中等题.
4.已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥??
+-≥??≥?
,则22x y + )
A 35
B 25
C .3
D 5【答案】A
22x y +22x y +230x y +-=的距离,由此可得出结果. 【详解】
作出不等式组02300x x y y ≥??
+-≥??≥?
所表示的可行域如下图所示:
()()
22
2200x
y x y +=
-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离,
过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ,则22x y +的最小值为
22
35
12OH =
=
+, 故选:A. 【点睛】
本题考查线性规划问题,考查距离型非线性函数的最值问题,要理解非线性目标函数的几何意义,借助数形结合思想进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 5.函数()cos ln f x x x =-的零点个数是( ) A .1 B .2
C .3
D .4
【答案】B
【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象,观察两函数的交点个数,即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】
令()0f x =,得cos ln x x =,则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数ln y x =图象的交点个数,如下图所示:
由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2, 因此,函数()y f x =的零点个数也为2,故选:B.
【点睛】
本题考查函数零点个数问题,常用的方法有两种:一种是代数法,另一种是图象法,转化为两个函数的交点个数,考查数形结合思想的应用,属于中等题. 6.在等差数列{}n a 中,51340a a +=,则7891011a a a a a ++++=( ) A .40 B .60
C .80
D .100
【答案】D
【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值,再利用等差中项的性质可得出
7891011a a a a a ++++的值.
【详解】
由等差中项的性质可得5139240a a a +==,920a ∴=,
因此,()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==,故选:D. 【点睛】
本题考查等差中项性质的应用,在求解等差数列的问题时,常用基本量法与等差数列性质来进行求解,考查计算能力,属于中等题. 7.函数sin y x x =的大致图象为( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除,可得出正确选项. 【详解】
设()sin f x x x =,该函数的定义域为R ,且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==,所以,函数()sin f x x x =为偶函数,排除A 、C 选项,且当0πx <<时,sin 0x >,此时()0f x >,
排除D 选项,故选:B. 【点睛】
本题考查函数图象的识别,一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除,考查推理能力,属于中等题. 8.如图,执行程序框图后,输出的结果是( )
A .140
B .204
C .245
D .300
【答案】B
【解析】根据程序框图列举出算法的每一步,可得出输出结果. 【详解】
18n =>不成立,执行第一次循环,211b ==,011s =+=,112n =+=; 28n =>不成立,执行第二次循环,224b ==,145s =+=,213n =+=; 38n =>不成立,执行第三次循环,239b ==,5914s =+=,314n =+=; 48n =>不成立,执行第四次循环,2416b ==,141630s =+=,415n =+=;
58n =>不成立,执行第五次循环,2525b ==,302555s =+=,516n =+=;
68n =>不成立,执行第六次循环,2636b ==,553691s =+=,617n =+=;
78n =>不成立,执行第七次循环,2749b ==,9149140s =+=,718=+=n ; 88n =>不成立,执行第八次循环,2864b ==,14064204s =+=,819n =+=;
98n =>成立,跳出循环体,输出s 的值为204,故选B.
【点睛】
本题考查程序框图运行结果的计算,一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于中等题.
9.已知函数()sin f x x =,将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
,纵坐标扩大为原来的3倍,再把图象上所有的点向上平移1个单位长度,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的周期可以为( ) A .
2
π
B .π
C .
32
π D .2π
【答案】B
【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式,然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】
()sin f x x =Q ,将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的1
2
,可得
到函数sin 2y x =的图象,再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍,得到函数3sin 2y x =的图象,再把所得图象向上平移1个単位长度,得到
()3sin 21g x x =+,由绝对值变换可知,函数()y g x =的最小正周期为22
T π
π=
=,故选B. 【点睛】
本题考查三角函数变换,同时也考查三角函数周期的求解,解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式,考查推理能力,属于中等题.
10.若函数()2
f x ax =与函数()ln
g x x =存在公共点()P m n ,,并且在()P m n ,处具
有公共切线,则实数a =( ) A .
1
e
B .
2e
C .
12e
D .
32e
【答案】C
【解析】由题意得出()()
()()
f m
g m f m g m ?=??=''??,解此方程组,可得出实数a 的值.
【详解】
因为()2f x ax =,所以()2f x ax '=;由()ln g x x =,得()1
g x x
'=
. 因为()2
f x ax =与()ln
g x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线,
则()()()()f m g m f m g m ?=??=''??,即2ln 12am m
am m ?=??=?
?
,解得12m a e ?=??=??
,故选:C. 【点睛】
本题考查两函数在公共点处有公切线问题,解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等,并利用方程组求解,考查化归与转化思想以及方程思想的应用,属于中等题.
11.阿波罗尼斯(约公元前262190-年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面
内两定点A 、B 间的距离为2,动点P
满足PA PB
=22PA PB +的最小值为
( ) A
.36-B
.48-C
. D
.【答案】A
【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线y 轴,建立直角坐标系,得出点A 、B 的坐标,设点(),P x y
,利用两点间的距离公式结合条件
PA PB
=点P 的轨迹方程,然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式,再利用数形结合思想可求出22PA PB +的最小值. 【详解】
以经过A 、B 的直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线y 轴,建立直角坐标系,
则()1,0A -、()10
B ,,设(),P x y
,PA PB
=Q
,=
两边平方并整理得()2
22261038x y x x y +-+=?-+=, 所以P 点的轨迹是以()3,0
为圆心,为半径的圆, 则有(
)2
2
22
2
2222PA PB x y
OP
+=++=+,如下图所示:
当点P 为圆与x 轴的交点(靠近原点)时,此时,OP 取最小值,且322OP =-, 因此,(2
222322362PA PB +≥?-+=- A.
【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法,考查坐标法的应用,解题的关键就是利用数形结合思想,将代数式转化为距离求解,考查数形结合思想的应用以及运算求解能力,属于中等题.
12.四边形ABDC 是菱形,60BAC ∠=o ,3AB =
BC 翻折后,二面角
A BC D --的余弦值为1
3
-,则三棱锥D ABC -的外接球的体积为( )
A 5π
B 6π
C 7π
D .22π
【答案】B
【解析】取BC 的中点为M ,设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ,在平面BCD 内的射影为2O ,利用二面角的定义得出1
cos 3
AMD ∠=-
,并设2AMD θ∠=,计算出tan θ的值,可得出2OO 的长度和2DO 的长度,然后利用勾股定理得出三棱锥
D ABC -外接球的半径R ,最后利用球体体积公式可计算出结果.
【详解】
如下图所示,取BC 的中点为M ,设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ,在平面BCD 内的射影为2O ,则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠,3AB =
所以32DM =
,2213DO DM ==,21
2
O M =,设2AMD θ∠=, 则21cos 22cos 13
θθ=-=-,21cos 3θ∴=,则2
2sin 3θ=,2tan 2θ∴=,
tan 2θ∴=222tan OO O M θ∴=?=
球O 的半径22
226R DO OO =+=,所求外接球的体积为2
4663V ππ=?=??, 故选:B. 【点睛】
本题考查外接球体积的计算,同时也考查了二面角的定义,解题的关键就是要找出球心的位置,并分析几何图形的形状,借助相关定理进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
二、填空题
13.已知a v 、b v 为单位向量,,3
a b π
=v v ,则2a b +=v v ____________.
7
【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算(
)
2
22a b a b
+=
+r r
r r
可得出结果.
【详解】
由于a r 、b r 为单位向量,,3a b π<>=r r ,则1a b ==r r ,且1
cos ,2
a b a b a b ?=?<>=r r r r r r ,
因此,(
)
2
22
221
2244414172
a b a b
a a
b b +=
+=+?+=?+?+=r r
r r
r r r r ,
7. 【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模,在计算向量的模时,一般将向量的模进行平方,结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算,考查计算能力,属于中等题.s 14.等比数列{}n a 的首项11a =,48a =,则4S =___________.
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,根据题中条件求出q 的值,再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】
11a =Q ,48a =,所以3
4
1
8a q a =
=,所以2q =,因此,()()4414111215112
a q S q
-?-=
=
=--,
故答案为:15. 【点睛】
本题考查等比数列求和,对于等比数列,一般是通过建立首项和公比的方程组,求出这两个量,再结合相关公式进行计算,考查运算求解能力,属于中等题.
15.设1F 、2F 为椭圆C :2
214
x y +=的两个焦点,M 为C 上点,122F MF π∠=,则
12F MF ?的面积为______.
【答案】1
【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ?的值,然后利用三角形的面积公式可计算出12F MF ?的面积. 【详解】
由题意可知,2a =,1b =,223c a b =-=,则12223F F c ==. 如下图,由题意知122
F MF π
∠=
,由勾股定理得22
2
12
1212MF MF F F +==,
由椭圆定义得1224MF MF a +==,
将该等式两边平方得2
2
1122216MF MF MF MF +?+=,122MF MF ∴?=,
因此,12F MF ?的面积为121211
2122
F MF S MF MF ?=
?=?=,故答案为1.
本题考查椭圆焦点三角形面积的计算,解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解,并结合三角形的面积公式进行计算,考查运算求解能力,属于中等题.
16.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点M 为上底面1111D C B A 的中心,N 为下底面ABCD 内一点,且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2,则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】
【解析】作出图形,设正方体底面ABCD 的中心为点O ,可得出MO ⊥平面ABCD ,由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=,可得出1
2
ON =
,从而可知点N 的轨迹是半径为1
2
的圆,然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】
如下图所示,
由题意知,M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ,连接ON , 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角,所以,tan 2OM
MNO ON
∠==, 则1
2ON =
,所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心,以12
为半径的圆, 因此,N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2
124S ππ??=?= ???
,故答案为:4π. 【点睛】
本题考查立体几何中的轨迹问题,同时也考查直线与平面所成角的定义,解题时要熟悉几种常见曲线的定义,考查空间想象能力,属于中等题.
三、解答题
17.某调研机构,对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,
结果显示,有100人为“低碳族”,该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图,估计这100名“低碳族”年龄的平均值,中位数; (2)若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中,用分层抽样的方法抽取30人,试估算每个年龄段应各抽取多少人?
【答案】(1)平均值为36,中位数为36;(2)年龄在[)30,34的8人,在[)34,38的22人.
【解析】(1)将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积,再将这些乘积相加可得出平均值,利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积; (2)先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比,再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】
(1)100位“低碳族”的年龄平均值x 为
240.04280.08320.16360.44
x =?+?+?+?400.16440.1480.0235.9236+?+?+?=≈,
设中位数为a ,前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=, 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=,则()34,38a ∈, 由题意可得()0.28340.110.5a +-?=,解得36a =,因此,中位数为36; (2)年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16?=,0.1140.44?=, 频率之比为0.16:0.444:11=,所抽取的30人中,年龄在[)30,34的人数为
4
30815
?
=, 年龄在[)34,38的人数为11
302215
?=. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算,同时也考查了分层抽样相关的计算,考查计算能力,属于基础题.
18.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足
sin cos 6b A a B π?
?=- ??
?.
(1)求角B 的大小;
(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC S ?的最大值. 【答案】(1)
3π;(2)3. 【解析】(1)利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π?
?=- ??
?,再利用两角差的
余弦公式可得出tan B 的值,结合角B 的范围可得出角B 的大小;
(2)由中线向量得出2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出ac 的最大值,再利用三角形的面积公式可得出
ABC ?面积的最大值.
【详解】
(1)由正弦定理及sin cos 6b A a B π?
?
=- ??
?
得sin sin sin cos 6B A A B π??
=-
??
?
, 由()0,A π∈知sin 0A >,
则31sin cos cos sin 622
B B B B π??
=-
=+ ??
?,化简得sin 3cos B B =,tan 3B ∴=.
又()0,B π∈,因此,3
B π
=
;
(2)如下图,由13
sin 24
ABC S ac B ac ?=
=,
又D 为AC 的中点,则2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
,
等式两边平方得222
42BD BC BC BA BA =+?+u u u r u u u r u u u r u u r u u r , 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++?=++≥u u u r u u u r
, 则43ac ≤
,当且仅当a c =时取等号,因此,ABC ?的面积最大值为343
3?=. 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用,同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题,对于三角形的中线计算,可以利用中线向量进行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
19.如图甲,在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,AB BC ⊥,224CD AB BC ===,过A 点作AE CD ⊥,垂足为E ,现将ADE ?沿AE 折叠,使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ,连接BF 、CF 、EF ,如图乙.
(1)求证:BC ⊥平面DEC ; (2)求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2)
2
3
. 【解析】(1)可证明出//BC AE ,由折叠的性质得出AE CE ⊥,AE DE ⊥,利用直线与平面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ,再由//BC AE ,可得出BC ⊥平面
DEC ;
(2)证明DE ⊥平面ABCE ,由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为
1
2
DE ,计算出BCE ?的面积,然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积,即为所求结果. 【详解】
(1)在图甲中,直角梯形ABCD 中,//AB CD ,AB BC ⊥,BC CD ∴⊥,
AE CD ⊥Q ,则//BC AE .
折叠后,在图乙中,AE CE ⊥,AE DE ⊥,又CE DE E =I ,AE ∴⊥平面DCE .
//BC AE Q ,BC ∴⊥平面DCE ;
(2)由(1)知,DE AE ⊥,又DE CE ⊥,且AE CE E =I ,DE ∴⊥平面ABCE .
F Q 为AD 的中点,所以,三棱锥F BCE -的高为11
2122
DE =?=,
224CD AB BC ===Q ,易知四边形ABCE 是矩形,则2CD AB ==,
BCE ?的面积为211
2222BCE S BC CE ?=?=?=,
因此,1112
123233
E FBC
F BCE BCE V V DE S --?==??=??=.
【点睛】
本题考查立体几何的翻折问题,考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算,在处理翻折问题时,要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
20.已知()x
f x e =,()ln
g x x =.
(1)令()()()h x f x g x =-,求证:()h x 有唯一的极值点;
(2)若点A 为函数()g x 上的任意一点,点B 为函数()g x 上的任意一点,求A 、B 两点之间距离的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(22.
【解析】(1)求出函数()y h x =的导数,利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理,说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点,再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号,可得证函数()y h x =有唯一极值点;
(2)根据函数()x
f x e =与()ln
g x x =关于直线y x =,将直线y x =平移后与分别
与曲线()y f x =、()y g x =切于A 、B ,由此可得出AB 的最小值. 【详解】
(1)由题意知()ln x
h x e x =-,所以()1x
h x e x
'=-
,
由x y e =单调递增,1
y x
=在()0,∞+上单调递减,()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增,
又1202h e ??
'=-<
???
,()110h e '=->, 所以存在唯一的01,12x ??
∈
???
,使得()00h x '=, 当()00,x x ∈时,()00h x '<,函数()y h x =单调递减; 当()0,x x ∈+∞时,()00h x '>,函数()y h x =单调递增; 因此,函数()y h x =有唯一的极值点;
(2)由于()x
f x e =与()ln
g x x =互为反函数,两个函数图象关于直线y x =对称,
如下图,
将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切,()x
f x e '=,
令()1x
f x e '==,0x ∴=,可得点()0,1A .
将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切,()1g x x
'=, 令()1
1g x x
'=
=,1x ∴=,可得点()10
B ,, 因此,A 、B ()()
22
01102-+-=【点睛】
本题考查函数极值点个数,同时也考查反函数对称性的应用,在求解函数极值点个数问题时,要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
21.已知抛物线()2
:20E y px p =>,过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、
()22,B x y 两点,满足124y y =-.
(1)求抛物线E 的方程;
(2)已知点C 的坐标为()2,0-,记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ,2k ,求2212
11
k k +的最小值.
【答案】(1)2
4y x =;(2)
92
. 【解析】(1)设直线AB 的方程为2
p
x my =+
,将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立,消去x ,利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值,由此得出抛物线E 的方程;
(2)由(1)得出直线AB 的方程为1x my =+,将该直线方程与抛物线E 的方程联立,
并列出韦达定理,利用斜率公式结合韦达定理得出
2212
11
k k +关于m 的表达式,可得出2212
11k k +的最小值. 【详解】
(1)因为直线AB 过焦点,02p F ??
???
,设直线AB 的方程为2p x my =+,
将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px ?
=+?
??=?,消去x 得
2220y mpy p --=,
所以有2124y y p =-=-,0p >Q ,2p ∴=,因此,抛物线E 的方程2
4y x =;
(2)由(1)知抛物线的焦点坐示为()1,0F ,设直线AB 的方程为1x my =+,
联立抛物线的方程2
440y my --=,所以124y y m +=,124y y =-,
则有1113m k y =+,22
13m k y =+, 因此22
2
22221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ????????+=+++++++ ? ? ? ?????????
()()22
1212222122212122484926926954162
y y y y m y y m m m m m m y y y y +-++=+?+?=+?+?
=+-.
因此,当且仅当0m =时,221211k k +有最小值92
. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解,同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解,对于直线与抛物线的综合问题,一般将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理设而不求法进行计算,计算量较大,考查方程思想的应用,属于中等题. 22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θ
θ=??
=?
(其中θ为参数)
曲线2C 的普通方程为2
214
x y +=,以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系.
(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程; (2)射线1l :000,
2πθθθ??
??=∈ ???????
依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点,射线2l :000,22ππθθθ??
??=+
∈
????
??
?
依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点,求AOC BOD
S S ??的最大值.
【答案】(1)1C 的极坐标方程为3ρ=,2C 的极坐标方程为2
224
cos 4sin ρθθ
=
+;
(2)
458
. 【解析】(1)将两曲线的方程均化为普通方程,然后由cos sin x y ρθ
ρθ=??=?
可将两曲线的方程
化为极坐标方程;
(2)作出图形,设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ??
+
??
?
,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式,可得出121
2
BOD S ρρ?=
,利用基本不等式可求出AOC
BOD
S S ??的最大值.
【详解】
(1)由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θ
θ=??=?
(其中θ为参数),
所以曲线1C 的普通方程为229x y +=, 由cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.
又曲线2C 的普通方程为2
2
14
x y +=,
由cos sin x y ρθρθ
=??
=?,得曲线2C 的极坐标方程为2
22
4cos 4sin ρθθ=+; (2)如图,由题意知19
22
AOC S OA OC ?=
?=,
点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ?
?
+
??
?
, 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200
cos 4sin ρθθ=
+,
2222
20000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ=
=
+???
?+++ ? ?
???
?,
1222220000
1122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ?=
?=++()()
2
2220
000cos 4sin sin 4cos θ
θθθ=
++
()()2222
000099545cos 4sin sin 4cos 4
428
AOC BOD S S θθθθ??∴
=++?=, 当且仅当2222
0000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+,即04
θπ
=
,不等式取等号, 因此,
AOC BOD S S ??的最大值为45
8
. 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,以及利用极坐标解决最值问题,解题时要注意极坐标方程法的适用情况,考查运算求解能力,属于中等题. 23.已知函数()1f x x a x =-+-.
(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}
03x x ≤≤,求实数a 的值; (2)当2a = 时,若()1
42
2n
n f x +≥--对一切实数x 恒成立,求实数n 的取值范围.
【答案】(1)2a =;(2)(]2,log 3-∞.
【解析】(1)由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3,可得出
()()03
33
f f ?=??
=??,从而求出实数a 的值; (2)利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1,可得出
14223n n +--≤,再令2n t =,可得出2230t t --≤,解出3t ≤,即23n ≤,从而可
解出实数n 的取值范围. 【详解】
(1)由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3,
则()()0333f f ?=??=??
,即13323a a ?+=??-+=??,解得2a =;
(2)当2a =时,由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=, 又()1
42
2n
n f x +≥--对一切实数x 恒成立,所以11422n n +≥--,
令2n t =,化简得2230t t --≤,解得3t ≤, 所以2log 3n ≤,实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】
本题考查不等式的解集与不等式之间的关系,同时也考查了绝对值不等式恒成立,解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值,并借助三角不等式求解,考查化归与转化思想,属于中等题.