解析函数

第二章 解析函数

2.1 基本要求和内容提要 2.1.1基本要求

1. 正确理解复变函数可导与解析的概念，弄清可导与解析两概念之间的关系，弄清复变

函数可导与其实部、虚部作为二元实函数可微之间的联系与差别. 2. 能运用C-R 条件判别给定函数的解析性.

3. 熟练掌握解析函数的和、差、积、商、复合函数及反函数的求导公式.

4. 要知道解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u 或v ，求解析函数u iv +.

5. 要记住自变量取复数值时初等函数的定义和它们的一些主要性质. 2.1.2 内容提要

解析函数是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用. 1. 解析函数的概念

（1） 复变函数的导数

定义2.1 设函数0()w f z z =在点的某领域内有定义，0z z +?是领域内任一点，

00()()w f z z f z ?=+?-，如果

0000()()lim

lim

z z f z z f z w

z z ?→?→+?-?=?? 存在有限的极限值A ，则称0()f z z 在处可导，A 记作0()f z '或

z z dw

dz =，即

0000

()()

()lim

z f z z f z f z z

?→+?-'=? 或 0()()(0)w f z z o z z '?=?+??→.

也称0000()()()()df z f z z f z dz f z z ''=?或为在处的微分，故也称0()f z z 在处可微. （2） 解析函数的概念与求导法则

定义2.2 如果00()f z z z 在及的邻域内处处可导，则称0()f z z 在处解析；如果()f z 在区域D 内每一点解析，

则称()f z 在D 内解析，或说()f z 是D 内的解析函数；如果0()f z z 在处不解析，则称0z 为()f z 的奇点. [1]导数的四则运算

设()f z 和()g z 都是区域D 上的解析函数， 则()

()(),()(),(()0)()

f z f z

g z f z g z g z g z ±≠及

在D 上解析，且有

[]()()()(),f z g z f z g z '''±=

±

[]()()()()()()f z g z f z g z f z g z '''=

+，

[]

2

()()()()()

()()f z f z g z f z g z g z g z '''??-=????. [2] 复合函数的求导法则

设函数()f z ξ=在区域D 上解析，函数()w g ξ=在区域G 内解析，又

()f D G ?(()f D 的表示函数()f z ξ=值域，也就是区域D 的像）

，则复合函数(())()w g f z h z ==在D 内解析，且有

[]()(())(())()h z g f z g f z f z ''''==.

[3] 反函数的求导法则

设函数()w f z =在区域D 内解析且()0f z '≠，又反函数1

()()z f w w ?-==存

在且连续，则

()11

()()(())

z w w f z f w ???='=

=

''. (3) 函数解析的一个充分必要条件

定理 2.1 函数()(,)(,)f z u x y i v x y z x iy =+=+在处可导的充要条件是，

(,),(,)(,)u x y v x y x y 在点处可微，而且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）方程

（简称C-R 方程）：

u v x y ??=??，u v

y x

??=??. 当定理2.1的条件满足时，可按下列公式之一计算()f z '： ()u v v v u u v u f z i i i i x x y x x y y y

????????'=

+=+=-=-????????. 注意，C-R 条件只是函数()f z 可导的必要条件而并非充分条件. 如果考虑区域上的解析函数，由定理2.1就可以得到下面的结论.

定理2.2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析（即在D 内可导）的充要

条件是，(,)(,)u x y v x y 和在D 内处处可微，而且满足C-R 方程.

推论 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，如果在D 内

(,)(,)u x y v x y 和的四个偏导数,,,x y x y u u v v ''''存在且连续，并且满足C-R 方程，则

()f z 在D 内解析.

2. 解析函数和调和函数的关系

（1） 调和函数的概念

定义2.3 如果二元实函数(,)x y ?在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Laplace ）方程

22220x y

??

??+=??， 则称(,)x y ?为区域D 内的调和函数，或说函数(,)x y ?在区域D 内调和.

定理 2.3 设函数()(,)(,)f z u x y i x y =+在区域D 内解析，则()f z 的实部

(,)(,)u x y v x y 和虚部都是区域D 内的调和函数.

（2） 共轭调和函数

定义2.4 设函数(,)x y ?及(,)x y ψ均为区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程

,x y x y

?ψψ?????==-???? 则称ψ是?的共轭调和函数.

显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数. 反过来，由具有共轭性质的两个调和函

数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理回答了这个问题.

定理2.4 复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充分必要条件是：

在区域D 内，()f z 的虚部(,)v x y 是实部(,)u x y 的共轭调和函数.

根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数.

（3） 解析函数和调和函数的关系

由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中一个，则可根据C-R 方程求出另一个，通常有两种方法：偏积分法和线积分法. 3. 初等函数

指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数、幂函数、反三角函数以及反双曲函数. 当初等实变函数推广到初等复变函数时，揭示出了许多重要性质. 如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性.

2.2 典型例题与解题方法

例1 试讨论函数()Im f z z =的可导性. 解一 用导数定义来讨论.

()()Im()Im w f z z f z z z z

z z z

?+?-+?-==

??? Im Im Im Im z z z z

z z

+?-?==

?? Im ()x i y y

x i y x i y

?+??=

=?+??+?.

当点沿平行于实轴的方向()0=?y 而使0→?z 时， 00lim lim lim

00

00=?=?+??=??→?=?→?→?x

y i x y z w x y x z ，

当点沿平行于虚轴的方向()0=?x 而使0→?z 时， i y i y y i x y z w y y x z 1

lim lim lim

00

00=??=?+??=??→?→?=?→?.

因此，当点沿不同方向而使0→?z 时，

z

w ??的极限不同. 所以z w

z ??→?0lim 不存

在. 而z 是复平面上任意点，所以z z f Im )(=在复平面上处处不可导，自然也处处不解析.显然z z f Im )(=在复平面处处连续. 解二 用C-R 条件来研究.

设iy x z +=，则y z z f ==Im )(，所以

0,==v y u .

.0,0,1,0=??=??=??=??y

v

x v y u

x u 因

x

v

y u ??-≠??，故函数z z f Im )(=在复平面上处处不可导. 例2 讨论函数iy x z f 2)(+=的可导性. 解 因为

0()()

lim

z f z z f z z

?→+?-?

02()2lim z x x i y y x iy z ?→+?++?--=? y

i x yi

x z ?+??+?=→?2lim

0.

先令z z ?+沿着平行于x 轴的方向趋近于z （图 2.1），此时0=?y ，因而

1lim 2lim

00=??=?+??+?→?→?x x

y i x yi x x z .

再令z z ?+沿着平行于y 轴的方向趋近于z ，此时0=?x ，故极限

22lim 2lim

00=??=?+??+?→?→?yi yi

y i x yi x y z ，

所以函数()2f z x yi =+在复平面上处处可导. 例3 证明2

(1);(2);(3)sin z

z e z 在复平面上不解析.

分析 一般证明函数在复平面处处不可导或不解析多用函数不满足C-R 条件来证明. 证 （1）因2

2

2

2z x y i xy =--，所以 xy y x v y x y x u 2),(,),(2

2

-=-=.

.2,2,2,2x y

v

y x v

y y u

x x

u

-=??-=??-=??=?? 由此可知，2

w z =仅在点（0，0）处C-R 条件成立，所以2

w z =仅在点（0，0）处

可导，而在整个复平面上不解析. （2）因()cos sin z

x

e e

y i y =-，所以

,sin ,cos y e v y e u x

x

-==

,cos ,cos y e y

v y e x u x x -=??=?? 所以只有当)2,1,0(2

Λ±±=±

=k k y π

π时，才有

y

v

x u ??=??. 由此可见：z

e 在复平面上不解析. （3）因sin sin cos z x ch y i x sh y =-，所以 sin ,cos u x ch y v x sh y ==-，

cos ,cos u v x ch y x ch y x y

??==-??，

因此，只有当)2,1,0(2

Λ±±=±

=k k x π

π时，才有

y

v x u ??=??， 可见sin z 在复平面上不解析. 例4 证明2

222y

x y

i y x x w +-+=

在0≠z 处解析，并求导函数. 分析 这种类型的题目在证明了解析性之后，求导数只要求出沿x 方向的导数

x

v

i x u ??+?? 或沿y 方向的导数

y

u

i y v ??-??即可，这是因为，w 可导意味着沿任何方向的导数都相等. 证 因为2222

,x y

u v x y x y

=

=-++.所以 ()()

()

()

2

22222

2

22

2

222222,2,2,y x x y y v y x xy x v y x xy y u y x x y x u +-=??+=

??+-=

??+-=??. 以上是四个偏导数在除去原点外的平面上连续，所以u v 、除0=z 外可微，且满足C-R 条件，因此w u iv =+除0z =外解析.

()()

222222222y x xy

i y x x y x v i x u w +++-=??+??='. 例5 下列函数在复平面上何处可导？何处解析？

（1）

1z

； （2）()()2

222y xy i x y x -+--. 解 （1） 222211y

x y i y x x iy x z +++=-=. 所以

,,2

222y x y

v y x x u +=+=

()()

,2,2

2

222222y x xy y u y x x y x u +-==??+-=??

()()22

22

22222,v xy v x y x y x y x y ?-?-==??++. 对于0≠z ，处处不满足C-R 条件（z=0时函数无定义），所以函数1

z

处处不可导，从而处处不解析.

（2） (

)(

)2

2

22y

xy i x y x w -+--=.

，，2

222y xy v x y x u -=--=

,2,12y y

u

x x u -=??-=??

.22,2y x y

v y x v -=??=?? 这四个偏导数处处连续，所以),(,),(y x v y x u 处处可微.要C-R 条件成立, 必须满足y x x 2212-=-，从而2

1

=

y . 所以(

)(

)2

2

22y xy i x y x w -+--=仅在直线2

1=y 上可导，而在复平面上

处处不解析. 例6

求证函数()f z =0z =满足C-R 条件，但它在0=z 处没有导数.

证 0),(,),(==

y x v xy y x u .

(0,0)

0x u x →?==?，

(0,0)

0y u y

→?==?，

且

0=??=??y

v x v ，所以在（0，0）满足C-R 条件. 但是 ()

()

??

?????→<+-→>+=+-=--→=→.

00,11,

00,11

)1(0lim 00lim

00x x i x x i i x x z y x x y

x z 且且

所以，0)(==z xy z f 在处不可导.

注：此题说明C-R 条件是可导的必要条件，而非充分条件. 例7 函数i y x y x z f 2

2

3

3

2)(+-=是不是解析函数？并求其导数. 解 2233

2),(,),(y x y x v y x y x u =-=.

y x y

v

xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=??=??-=??=?? 均连续.要满足C-R 条件，必须要2

2

2

2

34,43y xy y x x ==成立.即仅当0==y x 和

4

3

=

=y x 时才成立，所以)(z f 不是解析函数. 0)0()

0,0()

0,0(=??+??=

'x v

i

x

u f ，

)1(16

27

)4343()4

3,43()43

,43(i x

v i x

u i f +=

??+??=+'. 例9 设)(z f 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的（即互为充要条件）： （1）常数≡)(z f ； （2）0)(≡'z f ； （3）常数≡)(Re z f ； （4）常数≡)(Im z f ； （5）解析)(z f ； （6）常数≡)(z f . 证 按)1()6()5()4()3()2()1(??????的顺序证明. )2()1(? 显然，0)()(='?=z f C z f .

)3()2(? 设D z z f ∈=',0)(.因为)(z f 在D 内解析，对任意D z ∈， 0)(=??-??=??+??=

'y

u

i y v x v i x u z f . 于是对任意D z ∈，有

0=??=??y

u x u . 所以C y x u =),(（常数），即=)(Re z f 常数.

)4()3(? 设C z f iv u z f =+=)(Re ,)(（常数）. 即C u =，因为)(z f 在D 内解析，

所以

0=??=??x u y v ，0=??-=??y

u

x v ， 因此C y x v =),(，即C z f =)(Im （常数）.

)5()4(? 若iC u z f iC u z f C z f -=+==)(,)(,)(Im 11，因为)(z f 在D 内解析，

所以

0=??=??=??y C y v x u ，0=??-=??-=??x

C x v y u . 即

x

v y u y v x u ?-?-=???-?=??)(,)(. 因此，)(z f 在D 内解析.

)6()5(? 设)()(z f z g =在D 内解析，iv u z f -=)(，由C-R 条件，

x

v

y u y v x u ??=????-=??,. （1） 又因为)(z f 在D 内解析，所以

x

v

y u y v x u ??-=????=??,. （2） 由（1）、（2）得x v x v y v y v ??-=????=??-

,，所以0=??=??y

v

x v ，因此2C v =. 由（1）

0=??=??y

u x u ，因此1C u =. 所以 i C C z f 21)(+==常数.

)1()6(? 设D z C z f ∈=,)(，所以在D 内，C v u =+2

2

. 若0=C ，则0)(,0===z f v u ，结论成立.

若0≠C ，将C v u =+2

2

的两边分别对,x y 求偏导数，得

022=??+??x

v

v x u u

，

（3） 022=??+??y v v y u u

. （4） 由于)(z f 在D 内解析，故有

x

v

y u y v x u ??-=????=??,. 代入（4）式，得 022=??-??x

v u x u v

. （5） 联立（3）、（5）解方程组，因为

04)(4222222≠-=+-=-C v u u

v v

u ，

所以方程组有唯一解

0,0=??=??x

v x u ， 由此立即可得

0=??=??y

v

y u ， 所以12,u C v C ==(12,C C 都是常数). 即 21)(iC C z f +=.

例10 证明)(z f 在上半平面解析的充要条件是)(z f 在下半平面解析.

分析 由上例知，当)(z f 和)(z f 都解析时，)(z f 必为常数. 故当)(z f 不是常数时，

)(z f 和)(z f 不可能同时解析. 但本例却指出：当)(z f 解析时，不论)(z f 是否为常数，

)(z f 必解析；反过来也成立.

证 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=.

先证必要性.因为)(z f 解析，故有

x

v y u y v x u ??-=????=??,， 因此

y y x v y y x v x y x u ?--?=-?-?=?-?)],([)(),(),(，

x

y x v x y x v y y x u ?--?=?-?-=-?-?)]

,([),()(),(.

两式表明)(z f 的实部与虚部满足C-R 条件，又显然),(),(y x v y x u ---与可微，所以)(z f 在下半平面可微.

再证充分性.若已知)(z f 在下半平面解析，则由必要性中推出之等式，

)(z f 必于上半平面解析，亦即)(z f 于上半平面解析.

例11 设D 是关于实轴对称的区域，证明函数)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的.

分析 由于区域D 关于实轴对称，则D z D z ∈?∈.我们可分别利用函数解析的充要条件与定义给出两种证明.

证一 设),(),()(y x v i y x u z f +=，则),(),()(y x v i y x u z f ---=， )(z f 在D 内解析),(,),(y x v y x u ?在D 内可微，且 ),(),(,

),(),(y x v y x u y x v y x u x y y x -==.

记(,)(,),(,)(,)x y u x y x y v x y ?ψ=-=--，则

),,(),,(y x u y y x u x y x --=??-=????

(,),(,).x y v x y v x y x y

ψψ??=--=-?? 不难推知，当)(z f 在D 内解析时，(,),(,)x y x y ?ψ在D 内可微且

,,x y y x

?ψ?ψ

????==-???? 即)(z f 在D 内解析.反之亦然. 证二 令)()(z f z g =，则 0

000)

()(lim

)()(lim

00

z z z f z f z z z g z g z z z z --=--→→ ???

?

??--=→0

0)()(lim 0z z z f z f z z .

若)(z f 在点0z 可导，则由上式可知)()(z f z g =在点0z 可导并且

00()()g z f z ''=. 反之，若)(z g 在点0z 可导，则)()(z g z f =在点0z 可导.再利用解析函数的定义可知)(z f 与)(z f 在D 内是同时解析的. 例12 试求下列函数值：（1）3

2i e π-；（2）)5cos(i +π.

解一 （1）????????? ??-+??

? ??-==--3sin 3cos 3

23

323

2ππππi e e

e

i

i

2

3

cos sin 33e i ππ?

?=-???

?

???

? ??-=i e 23213

2()

i e 3123

2-=. （2）2

)5cos()

5()5(i i i i e e i +-++=+πππ

2

55i

i e e ππ-+-+=

2

55i

i e e e e ππ--+=

()()[]

ππππsin cos sin cos 2155

i e i e -++=

- []

)1()1(21

55-+-=-e e

52

5

5ch e e -=+-

=-. 解二 ()i i i 5sin sin 5cos cos 5cos πππ-=+ 55cos ch i -=-=.

例13试求下列函数值及其主值：（1）()

i 33ln - ；（2）)3(-Ln . 解（1）()()()

πk i i i i 233arg 33ln 33ln +-+-=- i k i π23

3

arctan

32ln +-+= .2,1,0,6232ln Λ±±=??? ??

-+=k k i ππ

（2）()()).2,1,0(123ln 2)3arg(3ln )3(Λ±±=++=+-+=-k k i k i Ln ππ

令0=k ，得主值

()

i i i ππ

+-

=-3ln 6

32ln 33ln 和.

注意：在微积分中所见到的初等函数都有相应的复形式，并且在复形式下这些函数之间的关系更为清楚统一，但是实的初等函数的某些性质在复形式下时不再成立.例如上例中，负数也有对数，还有z e 可以取负值，正弦、余弦函数不再是有界的，等等.这些地方我们应加以注意. 例14 求()i

i -+11的值及其主值.

解 ()

()()?

?

???

?

??? ??++-+--==+ππk i i i Ln i i

e

e i 242ln

1)1(111

?

?

?

??-++??? ??++=2ln 24242ln ππππk i k e

).2,1,0(2ln 4sin 2ln 4cos 224

Λ±±=???

?????? ??-+??? ?

?-=+k i e

k πππ

π

当0=k 时，主值为()

???

?????? ??-+??? ??-=+-2ln 4sin 2ln 4

cos 2141πππ

i e i i

.

例15 解下列方程：（1）2cos sin =-z z ；（2）i z sh =；（3）1=z th .

解（1）由于??? ??

-=-4sin cos 4cos sin 2cos sin ππz z z z

??? ?

?

-=4sin 2πz ，

所以方程2cos sin =-z z 等价于24sin =??? ??

-πz 或2sin 4Arc z =-π.

再由()

21sin z iz Ln i z Arc -+-=可知 (

)

i i i Arc z ±-=

+=

2ln

4

2sin 4

π

π

()

??

?

?????? ??++±-=πππ

k i i 2212ln 4 ()

)2,1,0(12ln 24

3Λ±±=±-+=

k i k ππ

. 故方程2cos sin =-z z 的解为

()

Λ2,1,012ln 24

3±±=±-+=k i k z ππ.

（2）方程i z sh =等价于

()

0122

2

=--=--z z z

z ie e i e e 或，它的根为

)2,1,0(22Λ±±=??

?

??+===k i k i Ln z i e z ππ或.故方程i z sh =的解为

Λ2,1,022±±=??

?

??+=k i k z ππ

（3）由双曲正切函数的定义

1

1

22+-=+-==--z z z z z z e e e e e e z ch z sh z th ， 于是方程1=z th 等价于1122+=-z

z e e .两边平方并令iv u e z +=2，可知

()()22

22

11v u v u ++=+-， 则推出 0=u

因()[]z e e u z z Im 2cos Re Re 22==，所以 []2

4

Im 0Im 2cos 0π

π

k z z u +

=?=?=，其中Λ2,1,0±±=k . 故方程1=z th 的解为满足2

4

Im π

π

k z +

=

()Λ2,1,0±±=k 的所有复数z. 例16 已知),(,y x y x φ?）与（都是区域D 内的调和函数，试证明

),(),(y x b y x a φ?+也是区域D 内的调和函数，其中,a b 为常数.

证 如果令φ?b a u +=，那么 y y y x x x b a u b a u φ?φ?+=+=,， yx yx yx xy xy xy b a u b a u φ?φ?+=+=,， yy yy yy xx xx xx b a u b a u φ?φ?+=+=,

，

由于?与φ是D 内的调和函数，则?与φ的二阶偏导数在D 内均连续，

且有00=+=+yy xx yy xx φφ??，.从而,,,,yy yx xy xx u u u u 在D 内也连续，且有()()

0=+++=+yy xx yy xx yy xx b a u u φφ??， 因此，u 即φ?b a +是区域D 内的调和函数.

例26 试证：

2

2y

x y

u +=是在不包含原点的复平面所成的区域D 内的调和函数； 并求一个以u 为实部的解析函数iv u z f +=)(. 证 先证明u 是调和函数. ()

()

()

,62,2623

22

2

33

22

3

22

22

y

x

xy x u y

x

y y x u y

x

xy

u xy xx x ++-=

+-=

+-=

，

()

()

()

.62,263

22

2

33

22

3

22

22

2

2y

x

xy x u y

x

y y x u y

x

y x u yx yy y ++-=

++-=

+-=

，

显然，当()()0,0,≠y x 时，u 的二阶偏导数均连续，且满足Laplace 方程，

所以在不包含原点的复平面所成的区域D 内u 是调和函数. 下面来求一个解析函数iv u z f +=)(. 解一（用偏积分法） 因为x y u v =，所以()

2

22

2y

x

xy

v y +-=

，

从而 ()

)(22

22

2

2

x g y

x x

dy y x

xy

v ++=+-=

?. 由此得 ()

()

2

22

2

22

22

2

2)(y

x

y x u x g y

x

x y v y x +--

=-='++-=

，

故 C x g x g ==')(,0)(. 因此 22

x

v C x y

=++，而

2222

()y x

f z u i v i iC x y x y =+=

++++

()2

2i x iy i iC iC x y z

-=+=++. 解二（用线积分法）取()00,x y 为()1,0，积分路线如图2.4，就有 (

)

()

00,,x y y x x y v u dx u dy C =

-++?

()

()

()

()

22

,2

2

1,02

2

2

22x y x y xy

dx dy C x

y

x

y

--=-

++++?

()

221

02212x

y y

dx x dy C x x y =-

--++?? 22

x

C x y

=

++.

以下做法与解一同.

注：上面求v 的方法，理论上只适于0x >的情形（否则在积分过程中x 要取得零值，而这时被积函数无意义）.但可以直接验证所求得的22

x

v C x y =++（在

除去原点所得区域内）符合题中要求.

最后再指出一点：既然任给一个调和函数(,)x y ?，我们一定能够找到一个以(,)x y ?为实部或虚部的解析函数，

而解析函数实部与虚部的任意阶偏导数是调和函数.因此，(,)x y ?的任意阶偏导数也是调和函数.换句话说，调和函数的任意阶偏导数仍然是调和函数.

例27 已知22(,),(,),()(,)(,)u x y x y v x y f z u x y i v x y =-=+求使函数在复平面上

解析.

解 因 22222,2;2,2;u u u u

x y x x y y ????===-=-???? 因此 2222220u u

x y

??+=-=??.

从而u 是全平面上的调和函数. 方法一 取()()00,0,0x y =，则

()0

,022x

y

v x y dx xdy C xy C =++=+??.

方法二 由C-R 条件22(2)u u

dv dx dy ydx xdy d xy y x

??=-

+=+=??， 所以 2v xy C =+. 方法三 因为

2v u

y x y

??=-=??， 两边对x 积分，得2()v xy y ?=+， 两边对y 求导，得

v

2()y

x y ??'=+?. 但

2,()0,(),v u x y y C y x

????'====??所以故2v xy C =+.

于是 2222

()(2)()f z x y i xy C x iy iC z iC =-++=++=+.

它在复平面上解析.

例28 已知23(,)3v x y xy x =-+，求以v 为虚部的解析函数()f z u i v =+. 解 显然，v 是调和函数.由C-R 条件，

2233,6v u v u y x xy x y y x

????=-+=-=-=????. 由第一式得：323()u y x y x ?=-+，代入第二式，则有6()6.xy x xy ?'-+=- 于是()0,()x x C ??'==.因此

32

(,)3u x y y x y C =-+，

(

)32

23

()33f z u i v y x y C i xy x =+=-++-+

3

i z C =+.

例29 已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求其共轭调和函数(,)v x y 及解析函数()(,)(,)f z u x y i v x y =+. 解一（偏积分法） 利用C-R 方程，

(2)2v u

y x y x x y

??=-=--+=-?? 所以 2

(2)2()2

x v y x dx xy g y =-=-+?.

有

2()v

x g y y

?'=+?. 又

2v u x y y x

??==+?? 比较两式可得：2()2,()x g y x y g y y ''+=+=故，有2

()2y g y ydy C ==+?. 因此 22

2()22

x y v xy C C =-+

+为任意常数. 因而得到解析函数

()(,)(,)f z u x y i v x y =+

()222

2

222x y x y xy i xy iC ??

=-++-++ ??

?

()()222

2242

i x i xy y x i xy y iC =+--

+-+ ()2

2

z z i iC =?-+.

解二（线积分法）

因为 (

)

()

,0,0(,)(,)x y v x y dv x y C =

+?

()

(),0,0x y v

v

dx dy C x

y

??=+

+???

()

()

,0,0x y u u

dx dy C y x

??=-

++???

, 所以

()()()

()

,0,0(,)22x y v x y y x dx x y dy C =-+++?

，

于是由图2.5，

()()

()

()()()

,,0,00,0(,)22x y x y v x y y x dx x y dy C =-+++?

?

()()()

()()()

,0,0,0,0

22x x y x y x dx x y dy C =-+++??

()()()()

22x

y

y x x

y x dx

x y dy C ===-+

++?

?

()()0

02x y

x dx x y dy C =

-+++??

22

222

x y xy C =-+++ （C 为任意常数），

从而可得解析函数

()(,)(,)f z u x y i v x y =+

()

22

z z i iC -=

+. 例30 已知()()()2242u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数()f z u i v =+ 解 因为()()()224242x x u v x xy y x y x y +=+++-+- ()()()224422y y u v x xy y x y x y +=-+++-+-

且,x y y x u v u v ==-，所以上面两式分别相加减，可得 2

2

332y v x y =--， （1） 6x v xy =. （2） 由（1）式得()222333232()v x y dy x y y y g x =--=--+?. 代入（2）式，得6()6xy g x xy '+= ，可推出()g x C =（实常数）. 因此 23(,)32v x y x y y y C =--+，

()()()22(,)42(,)u x y x y x xy y x y v x y =-++-+-， 所确定的解析函数()f z u i v =+为

()()3223()3232f z x xy x C i x y y y C =---+--+ 32,

(1),z z k k i C C =-+=-+为任意常数.