小学数学几何中的重叠问题.教师版

7-7-3.几何中的重叠问题

教学目标

1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；

2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A

B ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B = (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

1．先包含——A B

+重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；

2．再排除——A B A B

+- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．

图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．

1．先包含：A B C

++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．

2．再排除：A B C A B B C A C

++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-

A B B C A C -- 计算时都被减掉了．

3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+ ．

例题精讲

【例1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

+-=(厘【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487

米)．

【答案】87厘米

【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357

+-=(厘米)．

【答案】57厘米

【例2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如

果利用两个42

?的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各

被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠

部分．于是，被覆盖面积4222212

=??-?=(平方厘米)．

【答案】12厘米

【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果

利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各

被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正

方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468

?+?-?=(平方厘米)．

【答案】68平方厘米

【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答

【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=?+?-?=(平方厘米)．

【答案】140平方厘米

【例3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三

个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？

【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答

A 10

【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆

面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片

共同重叠的面积，得：100505050A =

++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+）

，得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=?+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．

【答案】30平方厘米

【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，

5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答

【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ．

A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+ .

有73=30×3-6-8-5+A B C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．

【答案】58

【例4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总

和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

【考点】几何中的重叠问题【难度】3星

【题型】解答

【解析】阴影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次．所以三张纸重叠

部分的面积60310040220=?--÷=（）(平方厘米)．

【答案】20平方厘米

【巩固】如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在

外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？

【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答

【解析】设A 与C 公共部分的面积为x ，由包含与排除原理可得：

⑴先“包含”：把图形A 、B 、C 的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积

都重复计算了1次，因此要排除掉．

⑵再“排除”：5687x ---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873x ---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x ---+=，解得：6x =．

【答案】6

小学数学公开课听课心得体会3篇

小学数学公开课听课心得体会3篇今天上午我校组织教师到实验小学听公开课课。使我深刻地感受到了小学数学课堂教学的生活化、艺术化。课堂教学是一个“仁者见仁，智者见智”的话题，大家对教材的钻研都有自己独特的见解。所以，我跟大家交流我个人听课的一点肤浅的看法。这些课在教学过程中创设的情境，目的明确，为教学服务。例如：赵曼老师上三年级《级的变化规律》，赵老师在课件里呈现了其情境的内容和形式的选择都符合三年级学生的年龄特点。整个教学过程都紧紧围绕着教学目标，非常具体，有新意和启发性。特别之处，是赵老师在学生主动探索的过程中，让学生体会数学来源于生活并运用于生活，激发学生学习兴趣。不但激发了他们了学习的欲望，而且兴趣也被调动起来，于是在自然、愉快的气氛中享受着学习，这便是情境所起的作用。这种情境的创设非常适合低年级的学生。赵老师根据小学生的特点为学生创设充满趣味的学习情景，以激发他们的学习兴趣。最大限度地利用小学生好奇、好动、好问等心理特点，并紧密结合数学学科的自身特点，创设使学生感到真实、新奇、有趣的学习情境，激起学生心理上的疑问以创造学生“心求通而未得”的心态。古人云：“学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。”赵老师提出疑问，设置悬念，启迪他们积极思考，激发学生的求知欲，激起他们探索、追求的浓厚兴趣。促使学生的认知情感由潜伏状态转入积极状态，由自发的好奇心变为强烈的求知欲，产

生跃跃欲试的主体探索意识，实现课堂教学中师生心理的同步发展。揭示知识的新矛盾，让学生用数学思想去思考问题，解决问题。使他们在质疑中思考，“山重水复疑无路”，在思考中学到知识，寻求“柳暗花明又一村”的效果。总之，赵教师注重从学生的生活实际出发，为学生创设现实的生活情景，充分发挥学生的主体作用，引导学生自主学习、合作交流的教学模式，让人人学有价值的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，体现了新课程的教学理念。小学数学公开课听课心得体会2 上午我参加了在实验小学举行的数学公开课活动。通过这几节课的学习，我深刻地感受到了小学数学课堂教学的生活化、艺术化。深切感受到课堂教学是一门艺术，下面我把个人听课的一点体会汇报如下：一、通过情景创设激发学生学习兴趣这些课在教学过程中创设的情境，目的明确，为教学服务。例如：李老师上的二年级《1000以内数的认识》，李老师在课件里呈现了其情境的内容和形式的选择都符合二年级学生的年龄特点。整个教学过程都紧紧围绕着教学目标，非常具体，有新意和启发性。特别之处，是李老师在学生主动探索的过程中，让学生体会数学来源于生活并运用于生活，激发学生学习兴趣。不但激发了他们了学习的欲望，而且兴趣也被调动起来，于是在自然、愉快的气氛中享受着学习，这便是情境所起的作用。这种情境的创设非常适合低年

小学数学几何直观

一、什么是几何直观几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于帮助学生直观地理解数学。二、对于几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西(直接看到的是一个层次)，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。爱因斯：tH_(Einstein，1879—1955)曾说过一句名言：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且它是知识进化的源泉。严格地说，想象力是科学研究中的实在因素。”①"数学是研究数量关系与空间形式的科学。”空间形式最主要的表现就是“图形”，除了美术，只有数学把图形作为基本的、主要的研究对象。在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学一几何一图形”这样一个关系链中让我们体会到它所带来的最大好处。这正如20世纪最伟大的数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)在其名著《直观几何》一书中所谈到的，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一斑。从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚无的，它与数学的内容紧密相连。事实上，很多重要的数学内容、概念，例如，数，度量，函数，以至于高中的解析几何，向量，等等，都具有“双重性”，既有“数的特征”，也有“形的特征”，只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们、掌握它们的本质意义。也只有这样，才能让这些内容、概念变得形象、生动起来，变得更容易使学生接受并运用他们去思考问题，形成几何直观能力，这也就是经常说的“数形结合”。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上的变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此也可以看到，在义务教育阶段培养学生的几何直观是很重要的。几何直观与“逻辑”“推理”也是不可分的。几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了什么而是通过看到的图形思考到了什么想象到了什么这是数学非常重要而有价值的思维方式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论证思路，这也就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。有些数学研究的对象是可以“看得见、摸得着”的，而很多数学研究对象是“看不见，摸不着”的，是抽象的，这是数学的一个基本特点。但是，数学中那些抽象的对象绝不是无

小学数学教师心得体会6篇

小学数学教师心得体会6篇小学数学教师应该耐心的教导学生，教师作为学生学习的引导者为学生提供活动的舞台，调整学习的方向，是关键时刻予以适当点拔的学习过程的支持者。下面是带来的小学数学教师心得体会，欢迎查看。小学数学教师心得体会范文1 学习了《新课标》，我进一步了解到《数学20xx版课程标准》在课程目标和内容、教学观念和学习方式、评价目的和方法上的变革。使我对新课标的要求有了新的认识和体会，其中"让学生在学习活动中体验和理解数学"是《数学新课程标准》给我最深的感触。因此，本人通过对新课程标准的再学习，有以下的认识：一、在教学情境中体验数学的趣味爱因斯坦说："兴趣是最好的老师。"兴趣是学生学习中最活跃的因素，因此，在数学教学中创设生动有趣的情境，如运用做游戏、讲故事、直观演示等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和学习数学知识。一个好的教学情境可以沟通教师与学生的心灵，充分调动学生的学习积极性，使之主动参与到学习活动中。使学生把学习作为一种乐趣、一种享受、一种渴望，积极参与数学活动。二、在生活实践中体验数学的价值在数学教学中要从学生熟悉的生活背景引入，让学生感受到数学无处不在，使学生对数学产生亲切感，激发他们到生活中寻找数学知识。《数学课程标准》还指出："提倡让学生在做中学"。因此在平时

的教学中，我力求领悟教材的编写意图，把握教材的知识要求，充分利用学具，让学生多动手操作，手脑并用，培养技能、技巧，发挥学生的创造性。数学源于生活。因此我教学时必须紧密联系实际，注重对数学事实的体验，让学生在生活中，实践中学习数学，从而体验学习数学的价值。三、在自主合作中体验数学的探索。《数学课程标准》指出："有效的数学学习活动不能单纯地信赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要学习方式"而实践证明，小组合作互动学习更是一种有效的学习形式，通过合作学习不仅可以学到课本上的知识，更重要的是培养学生的合作意识和参与意识，使学生学会与他人合作的方法，进而认识自我、发展自我，充分体验合作探索成功的喜悦。学生在合作、交流、碰撞中掌握了探究的方法。不但确立了学生的主体地位，还培养了他们自主学习的能力，满足了他们的成功欲，从而让学生享受学习数学的快乐。总之，面对新课程改革的挑战，我们必须多动脑筋，多想办法，密切数学与实际生活的联系，使学生从生活经验和客观事实出发，在研究现实问题的过程中用数学、理解数学和发展数学，让学生享受"数学学科的快乐"且快乐地学数学。小学数学教师心得体会范文2 新学期开学以来，又一次学习了小学数学新课标，让我受益非浅。对新课程标准和教材有了进一步的理解。新的教材体现了新课程标准

小学数学骨干教师听课心得体会

小学数学骨干教师听课心得体会我们听了名师们的课，他们的课堂没有华丽，只有朴实;没有太多精美的课件，只有书本与粉笔，而我们每一个听课的老师却往往不知不觉地陶醉其中，随着教者在课堂上的引导，或喜或悲或乐或怒，仿佛置身的不是课堂，而是走进了文本，自己就是文本中的角色。以下是由聘才网小编为大家整理的相关内容，仅供阅读参考。小学X年级是小学阶段的一个重要转折时期，如何提高小学生整体数学素质，一直是数学教学的一个重要研究课题。特别是当前，要想让学生一堂课40分钟全神贯注的听讲确实不易，就算是好同学也很难做到，老师讲课的时候必须让他们把焦点放在老师身上。小学三年级的数学教学，最令我烦心的是如何提高学生学习数学的兴趣。原因较多，也是比较复杂的，我个人认为除了学生自身的原因，数学学科本身的特点，任课教师的教学方法和教学手段及教学基本功是否扎实也是很关键的。于是我在教学设计中不断的反思，上课前认真准备，同时我还积极的通过其他途径来完善自己的每一节课堂教学。对于优生，要想抓住他的思维必须给他留有悬念，而且是最能吸引他的还得不要让他处在胜利之中;对于中等生，他们不扰乱课堂纪律，有时你把他叫起来，他根本不知道你在讲哪儿，对他们来说心不在焉，要不断提醒他们注意听，

多组织课堂教学;而对于后进生，首先给他们订的目标就不要太高要让他们跳一跳够得着，这样让他们自己觉得有希望，尝到成功的喜悦，只要他们取得一点点成绩就要适时的表扬。让他们觉得老师并没有放弃他们，觉得自己还是很有希望提高的。除了这些之外，作为教师在上课的时候说话要和声细语，营造一种轻松和谐的学习氛围，让学生讲课时不管你多生气，多着急，在给学生讲课时都要忍住，要耐心的讲解。永远记住：没有教不会的学生，只有不会教的老师。要做一名学生喜欢的老师，他喜欢你才会愿意学这门学科。数学教育要面向全体学生，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。我所任教的三年级学生，学习上困难比较大的学生特别多，在教学中，我细心观察了学习吃力、成绩始终不能有较大进步的学生，我发现他们没有真正意识到学习是一个努力、尝试、多次失败的过程。基于此，在教学中我试着运用了失败教育法，有效的克服了这一问题。学生的意志、毅力也得到了的培养、提高。只要在教学中注重对学生心理训练，养成健康心理——不怕麻烦、不怕失败、敢于挑战，定能使学生学有所成。主要采取了下列措施： (1)在班中实行帮教活动，每一个学困生都找到一个学习优秀的好朋友来每天对所学的知识进行辅导和考试，教师定期进行抽查。

小学数学教师课堂大赛听课心得

小学数学课堂大赛听课心得温暖的3月我有幸参加了区上组织的数学课堂技能大赛评比活动，聆听了来自不同学校的6节课堂展示，听课之后我有如下反思。一、高效课堂来自多姿多彩的情境创设 1、情境创设应目的明确。每一节课都有一定的教学任务。教学中及时引导学生从情境中运用数学语言提炼出数学问题。如果是问题情境，教师提出的问题则要具体、明确，有新意和启发性，不能笼统地提出诸如你发现了什么等问题。 2、教学情境应具有一定的时代气息。当今的信息社会里，学生可以通过多种渠道获得大量信息，教师创设的情境也应具有一种时代气息。二、学生的自主学习很重要以学生的自习课时间和其他时间内通过学生的主动学习、提前预习，来提高我们的课堂效率，导学案起到非常明显的作用。我们的数学课堂正是通过：基础知识填空的完善、典型例题的学习、课堂同步练习的训练、帮助学生预习新课、解决新课中的大部分简单问题，把以往学生在课堂上的任务放在课下课前提前解决，让学生带着问题听课，经过这么长时间的的推行，觉得效率还是不错得。三、高效课堂来自贴近学生生活的问题设置力求从学生熟悉的生活情景与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的数学问题，以激发学生学习的兴趣与动机，使学生初步感受数学与日常生活的密切联系。数学教学中，教师要不失时机创设与学生生活环境、知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情景，使学生从中感悟到数学的乐趣，产生学习的需要，激发探索新知识的积极性，主动有效地参与学习。四、课堂展示，展出自信和魅力课堂教学的核心是调动全体学生主动参与学习全过程，使学生自主地学习、和谐地发展。教师要发挥组织者、引导者、点拔者的作用，带动学生的主体性、主动性，让学生进行探究学习。放手让学生独立思考，展示学生个性，从而使每一个学生都得到发展。使数学课堂教学真实高效。

几何直观乘法分配律

“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》阐述课程内容中的一句话，其中“几何直观、运算能力和模型思想”是这次新课程标准中新增加的内容，凸显了其在义务教育阶段数学课程中的重要性。那么，什么是几何直观呢？主要是指利用图形描述和分析问题。这里的“图形”主要指点、线、面、体以及以上四要素组成的其它几何图形，几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，而且可以是数学问题。为什么在2011年版新课程标准中，要提出应当注重发展学生的呢？一、几何直观有助于学生对数学概念的理解小学生是按照“感知――表象――概念”这一规律学习数学知识的。几何直观可强化感性认识，能为建立清晰而准确的概念打下基础。例如，教学“三角形的认识”时，为了让学生能准确理解什么是三角形？导入新课，老师可让学生拿出自己的三角板摸一摸它的外观，引导学生说出这就是“三角形”后，并让学生用三角板画出“三角形”，再让学生说一说：“你是怎样画三角形的？”“用三条线段首尾相接画成一个三角形。”接着问：在生活中还有哪些物体的外形是三角形的？学生举例：红领巾、小三角旗、自行车框架、屋架等，教师随之播放准备好的课件，呈现这些几何图案。接着引导学生“做”三角形：用三根小棒摆一摆，摆成一个三角形，并让一名学生在实物投影仪上操作演示，并让这位学生说一说：“你是怎样摆的？”“用三根小棒首尾相接摆成一个三角形。”其他同学也互相说一说，怎样摆成三角形？此时，老师在黑板上画一个三角形，然后对学生说：“通过刚才画三角形、摆三角形，你们说说看，什么样的图形叫三角形呢？”在学生讨论交流的基础上得出结论：由三条线段围成的图形叫作三角形。以上认识三角形的过程，就是充分利用几何直观，即通过摸、画、做等有形的三角形，来认识三角形、描述三角形，直至概括出什么是三角形。通过几何直观的感性认识，为描述清晰而准确的“三角形”概念起到了关键的作用。二、几何直观有助于发展学生的空间观念培养空间观念是小学数学新课程标准的重要内容之一。空间观念是指物体的大小、形状及相互位置关系在头脑中留下的表象。小学生的空间观念往往是在直观学习几何知识中形成的，或学生利用形象直观的几何图形来描述和分析问题，解决问题，获取知识的同时，反过来又在大脑中建立了物体的大小、形状等表象，发展了自己的空间观念。因此，要让学生通过各种观察、实际操作直观的几何图形，来描述分析问题，在解决问题和获取知识的过程中，促进空间观念的形成和发展。例如，在“圆柱的表面积”教学，学生通过观察圆柱体，明确圆柱的表面积包括“圆柱的侧面积和两个底面的面积”后，老师重点引导学生思考：“圆柱的侧面积是一个曲面怎样计算呢？”“能不能把曲面变成平面呢？”接下来重点引导学生动手操作：“能不能把圆柱的侧面积展开来看一看，?1?7拿出一张长方形或正方形的纸裹住圆柱，但用长方形的纸比较好理解下面的操作过程?1?7我们可以把裹住圆柱的长方形纸看作圆柱的侧面，同桌的同学共同试一试，看有什么发现？”学生合作探究：并观察思考展开后纸的形状与圆柱体的侧面有什么关系？即长方形与圆柱体的侧面有什么关系？探究发现：长方形的大小就是圆柱侧面的大小，长方形的面积就是圆柱的侧面积，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，圆柱的侧面积=长方形的长×宽=圆柱的底面周长×高；圆柱的表面积=圆柱的底面周长×高+两个底面的面积。三、几何直观有助于学生对复杂数学问题的理解《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程内容中的说明：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮

小学一年级数学教师教学感悟

小学一年级数学教师教学感悟由于没能找到保持稳定练习的中小学教师进行交流，所以第一个月的与教师交流感悟博客不知道如何去写，自己在网上就搜集了一些有关小学一年级老师的教学感悟进行总结了一下。首先小学一年级是学生步入义务教育的第一年，做好基础工作是非常必要的，至于一年级数学来说，要想培养学生良好的兴趣就必须采用适当的方法来完成。下面是一些老师总结的一些教学经验，这里与大家分享一下。对于小学一年级数学教学，“量身定制”是适合低龄儿童的方法，无论在课堂上还是生活中，让学生对数学充满足够的好奇心、树立学好数学的信心，才能让学生产生浓厚兴趣并逐步引导他们学好数学。数学被称为“百科之父”，当孩子会说话时大人们便教孩子数数，从这个现象我们足以看出数学知识的重要性。目前的一年级数学课本从形式上也较以前有了很大的变化，每一课学习内容、每一道练习题都可以用一个小故事把它表达出来，并把知识融入到学生的学习当中，与学生的实际生活联系紧密。在课堂教学中，教师有更广泛的发挥空间，应该注重吸引学生的注意力，培养学生良好的学习习惯和学习兴趣，能用数学的方法去解决学生日常生活中所遇到的一些问题，也要兼顾学生独立性、互动性和创造性等方面的培养。那么怎样才能使学生愿意学并学好数学呢？一、培养学生主动学习的意识培养学生主动学习的意识，让本来枯燥的数学变得更有趣，只有对数学产生兴趣，才是学好数学的根本。对于刚升入小学一年级的孩子，大部分已经接受到了学前教育，所以说，他们对数学并不是一无所知。因此，在上第一节数学课《数一数》时，我先让学生观察教室，让他们寻找教室中能看到的数，例如数人数、桌子等，又领学生到校园进行参观，寻找校园中都有哪些数。还让学生说出那些和自己有关的数字，看谁说得多、说得好，让学生感觉到数学生永远在自己的身边、自己的生活中充满着数学，增强学数学的兴趣。二、创设浓厚的学习氛围和生动有趣的学习情境创设浓厚的学习氛围和生动有趣的学习情境，是学好数学的保障。爱玩是孩子的天性，即使是孩子在玩儿，也能不断地接受新的知识、新鲜的事物，怎样才能让孩子在玩儿中获得知识呢？针对每课不同的学习内容，我编排设计了很多不同的游戏、故事。例如，在上《认识钟表》一课时，我给孩子拿来钟表，以游戏的形式演示：1号起床的时间是7：00，2号将时针和分针拨到该时位置，让学生变换着来演示。这样，学生既能准确认识了时间，又能学会思考，还能亲自动手。动起手的孩子们显得格外积极，也逐步地培养了他们的动手能力。三、引导学生从不同角度观察、思考、解决问题引导学生从不同角度去观察、思考、解决问题是学生学好数学的重要途径。现在的数学教材中有很多的练习题具有不唯一性的特点，这就需要我们抓住时机，鼓励学生养成多动脑、勤思考的好习惯，调动学生的积极性。刚开始，当我提到还有不同的答案，谁能回答时，很多学生的表情都很茫然，此时教室里鸦雀无声，我慢慢提示着，鼓励大家，积极思考的学生立刻举起手，有的能答对，有的有点偏离，但明显看出大家都想积极表现自己，都在努力去思考。我认为表扬

小学数学教师听课心得3篇

小学数学教师听课心得3篇听课中的记录关涉课堂观察和思考、课后评课,也关涉积累课堂教学案例、开展教学科研。下面是为大家带来的小学数学教师听课心得，希望可以帮助大家。小学数学教师听课心得范文1：通过一天的集体听课观摩，让我见识到了多种多样的教学模式，来自全国各地的名师，以他们各自的团队特色，给我们上演一场教育教学的视觉盛宴。在这7节观摩课中，既有全国知名教师团队的特征，又有区域教学的特点，对我们来说，他们的课堂教学代表着当前课改，有很大的学习意义。其中，来自北京的薛铮老师教授了《积的变化规律》这一课。薛老师代表的是吴正宪教师团队，这堂课充分体现了学生的主体作用，在薛老师的引导下，使学生由具体的问题列出算式，从而发现问题：因数和积，谁变了?是怎么变的?然后引导学生交流、讨论，从而发现规律，总结规律。这样的课堂，让学生由具体的问题发现规律，突出了教学的实效性。来自江苏的吴冬冬老师教授了《长方体、正方体的认识》这一课。吴教师对教材的理解程度以及极具特色的教学设计给我留下了印象。对于长方体顶点、面、棱的认识，以往的教授

方式往往通过让学生摸一摸、看一看、数一数来得出，而这节课，吴老师通过多媒体的图形、立体的动画，学生的实际操作，最后得出结论。真正体现知识来源于生活。浙江的学俞老师教授的《用字母表示数》一课，给我印象最深，这整整一堂课中并没有使用任何课件，而是在课堂中就地取材，在纸包里装粉笔，用在课堂上的学生和教师的岁数、会场的人数，甚至用自己秃顶的头发来引导学生对确定和不确定的认识，学生们在俞老师诙谐幽默的教学中不间断的发现、思考，时时会有在场老师的阵阵笑声和掌声，经典的反复问话“小朋友你今年几岁啊?”、“一共有a人，小朋友有30人，那么大人有多少人啊?”，课堂上欢声笑语不断，虽然没有使用多媒体，但精彩程度却不亚于年轻的老师有课件的课堂，让我受益匪浅。通过这次小学数学教学年会所收获的教学经验，反思我们平时的课堂教学，我们欠缺的还很多，我们离那些名师的教学还有一定的距离。我们的教学素养有待进一步提高，教学能力还需进一步的加强。小学数学教师听课心得范文2：小学三年级是小学阶段的一个重要转折时期，如何提高小学生整体数学素质，一直是数学教学的一个重要研究课题。特别是当前，要想让学生一堂课40分钟全神贯注的听讲确实不

“几何直观”在小学数学计算教学的运用与研究

“几何直观”在小学数学计算教学的运用与研究海盐县六里小学吴国【内容摘要】在以往的计算教学中，我们在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。而现在我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，这给学生理解和教师的教学带来诸多挑战，教学中怎样有效落实？有没有办法让算理更形象化，直观化，具体化？笔者提出用几何直观帮助学生理解算理，本文通过借助几何直观，帮助理解数量关系、借助几何直观，帮助建立数学模型、借助几何直观，发现算式间的关系等三方面来阐述如何借助几何直观理解算理。【关键词】几何直观计算教学算理在上学期有上级教育主管部门进行期末教学质量的检测中，三年级期末检测卷上出现了这样一道题（图1）：图1 检测后，笔者随后对自己班35名学生的答题情况进行了谈话统计，结果如下：学中常常存在这样的现象： 1．老师在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，力求学生熟练掌握计算方法，达到一定的计算速度和准确度，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。 2．我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，课堂教学中怎样才能有效落实？那么，在计算教学中，我们该如何站在学生的视角，根据学生的思维特点，为学生理解抽象的算理提供一个形象的载体？怎样在算理和算法之间架起一座直通的、有效的桥梁？笔者通过对新课标的认真研读，认为在计算教学时教师不妨将几何直观落实到位，发挥几何直观对理解算理的作用。新课标的论述是“几何直观主要是指利用图形描述和表示（）表示（） 1 3 × 2 5 6 5 6%

小学数学教师教学心得体会

数学来源于生活，注重于实践。小学数学教学中要注重培养学生的综合素质，促进学生的全面发展。小学是学生情感意识仍在发育的重要时期，教师要对学生进行素质教育，提高学生的学习兴趣，培养学生的学习能力，让学生在"数学乐园"中自由翱翔。小学数学教师教学心得体会一、落实三维目标在新课程背景下，数学教学目标变得丰富了，它涉及“知识与技能，过程与方法，情感、态度和价值观”等三个维度的目标，使得数学教学目标更加全面，更能促进学生的发展。这三维目标的关系可以形象地表述为：知识与技能既是数学教学目标，又是促进学生价值观念变化的重要载体;过程与方法是数学教学的核心环节，是认知的杠杆;情感、态度和价值观是数学教学目标的重要组成部分，不是获得知识与技能的附属品，而是具有独立意义的，且与其它教学目标有机地整合在一起的，它是认知的根本;错误与失败是认知的绿叶。在教学实践中，我摸索了落实三维目标的两条教学策略。二、重视隐性知识的教学英国教育家波兰尼把知识分为隐性知识和显形知识，他认为：许多技能、方法、交往、态度、体会、情感等方面的知识都是隐性知识(即只能意会的知识)。隐性知识无法形成像数学课本一样的格式化知识，只能通过学生在实践活动或具体案例的分析中感受和习得。学生在数学学习中的体验、感受、感悟、反思和习得，不仅有助于他们深化相关数学知识的理解、认识，而且能提升他们学习数学的兴趣，促进他们学习数学的态度朝主动、积极方面发展，感受成功探究带来的愉悦。例

如，在“三角形的内角和”学习中，学生通过量一量活动，初步感受了三角形的内角和大致是180度，但是此时学生尚存疑惑;通过拼一拼活动，学生便可发现三角形的三个内角可以拼成一个平角，这时疑惑消失了、成功探究的喜悦出现了;再通过特殊三角形的推导说明，学生更坚定了自己的猜测是正确的，自信心诞生了……通过他们亲身经历数学的探究活动和与同伴的协作互助，不仅促使他们习得三角形内角和的知识，而且促使他们习得怎样探究一类数学知识的方法，同时促使他们的数学学习在情感、态度和价值观方面产生了良性变化。三、重视数学知识形成过程的教学注重数学知识形成过程的教学，实际上是注重获取数学知识经历的体验，它彻底改变了传统教学中“重知识、轻方法，重结论、轻过程”的做法。在具体的数学教学中，作为教师要精心设计数学知识的形成过程教学，使它符合学生的认知规律，能科学有序地引导学生开展探究活动，让学生的心智得以运动，并经历这种心智运动所伴随的情感体验。例如，教学“能被3整除的数的特征”时，先让学生猜一猜能被3整除的数有什么特征?于是学生猜测个位上是3、6、9的数能被3整除;再引导学生举实际例子验证猜测是否正确;当学生发现猜测不正确后，引导学生在计数器上用“算珠”任意摆数、试除，由学生自主发现算珠个数是3的倍数时，摆出的数能被3整除;这时引导学生思考：摆出的数与算珠有什么关系呢?进而引导学生发现：一个数各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。这样学生经历了猜测、验证、实验、发现的过程，自然能获得深刻的体验，获得自主探索的成功。在落实三维目标中，有的教师把“情感、态度和价值观”从三维目标中游离出来，力图创造一种有教育意义的情境，对

小学数学教师外出听课心得体会

小学数学教师外出听课心得体会 #小学数学教师外出听课心得体会1# 在传统的小学数学教学中，学生认知的建构与知识的获取之间往往有一道不可逾越的鸿沟，学生认知过程与知识结构不能协同发展。这学期，听了我校几位数学教师的课，他们在课堂教学中，为学生提供自主学习空间，让学生置身于一定的情境之中，去体验数学知识形成过程，促进学生主动发展，让我记忆犹新。一、“做”数学——在探索中发现 “做数学”是新课程倡导的一个重要理念。它强调学生学习数学是一个现实的体验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，认为学生的实践、探索与思考数学是学生理解数学的重要条件。“做数学”不仅是指简单的数学操作活动，而且是学习者自我探索、自我构建、自我发现、自我创造的一种动态过程。如《角的初步认识》这节课设计非常新颖，钟老师让学生用纸、吸管、用毛线折角，这样从学生身边的事物引出角，能引起学生的注意，提高学生的学习兴趣。从而引出角的概念，让学生很快从生活中找到角。在学生掌握角的组成，会判断角的基础上，钟老师又让学生用说一说、画一画、做一做、折一折、摆一摆等方法让学生创造角，进一步升华了角的概念。在巩固练习设计上，钟老师也是由浅入深，层层深入，最后让学生用三根小棒创造角，看谁创造得多。这一设计，极大的调

动了学生的积极性，课堂气氛一下子沸腾了。这样，把教材内容变静为动，变单一为多项，变封闭为开放，有效的激发了学生主动参与探究的热情，让“做数学”成为促进学生发展的原动力。当学生发现有的题目无法用已学过的知识解决时，学生强烈的认知冲突被激活，就在学生处于“心求通而未得，口欲言而不能”的激愤状态时，教师又提出：“看谁的方法多?”学生个个情绪高涨，跃跃欲试，沉浸在操作探究的兴奋之中，终于探索出各种的摆法。这样，通过动手操作、自主探究、合作交流，学生不仅获取了知识、发展了能力，而且还体验算法多样化，也感受到成功的愉悦，增强了自主学习和自主创新的意识。课末，设计一些开放性题目或非常规题目，让学生进行练习，激活了学生的思维。实现了认识上的飞跃、思维上的深化。这样，使学生在做数学的过程中真正发挥主体作用，成为学习的主人。二、“议”数学——在合作中交流建构主义认为：“学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识过程，教师的作用仅仅在于给学生提供有效的活动机会，在讨论交流和自主探究的过程中，学生构建自己的知识。”因此，教师应向学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使学生主动地去构建。如杨老师在讲《用字母表示数》的课中，让学生用小组内交流，怎样用字母表示长方形、正方形的周长、面积公式，学生在交流的过程中自主的学习知识。这样安排，使每个学生都有说的机会，

小学数学教师听课心得体会_2

小学数学教师听课心得体会我校于10月11日开展了以“加强学生动手操作能力、逻辑思维能力、抽象概括能力的培养、提高课堂教学的实效性”为主题的教学实践活动。通过公开课，提高教师实施素质教育的能力和水平，切实引导广大教师深入探讨课堂教学规律，钻研教材教法，努力打造高效课堂，提高教育教学质量。通过这次活动，使我深刻感受到了小学课堂教学的生活化与艺术化。听了13位数学老师的课，其中王文岳和刘雪钰两位老师的课让我印象很深。他们在课堂上用情感开启了学生的思维。他们不只是授课，更是与学生心灵的沟通，用自己的那份热情唤起了学生的求知欲。课堂气氛活跃，学生积极配合，探讨问题，效率很高。自上课至课终，老师始终围绕学生运转，对学生并没有过多的限制和束缚，学生的想象、讨论、联系是自由进行的，学生占据了课堂的主阵地，同时，学生也没有脱离轨道，没有脱离教师精妙设计的运行轨道，教师充分“放”了学生，学生充分“离”老师，而结果是圆满的，成功的，学生收货了知识，教师尽到了“传道、授业、解惑”的义务。在两节优质课中，教师放手让学生自主探究解决问题。每一节课，老师都很有耐性的对学生有效的引导，充分体现

“教师以学生为主体，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者，引导者和合作者”的教学理念。老师们语言精炼、丰富，充分鼓励了学生，这十分值的我们学习，在思想教育方面，这些教师都处理的比较好，自然真挚的情感流露感染了学生和听课的每一位学生及教师。教学语言是一门艺术，谁能将它演绎得好，就能抓住学生的心。当我听着这两位教师的课时，我想教师的语言竟有如此之魅力，它能深入学生的心灵深处，王文岳老师在教学《周长的认识》这一课时，他让学生一边观看图片，一边听讲解，声情并茂的语言唤起了学生的思绪，把学生的思路引向了更高层次的探究世界。彰显出精湛的功底和高超的教学智慧。能联系实际生活来教学，激发了学生的学习兴趣，提高了课堂教学效率，才能真正体现寓教于乐的教学理念。通过这次听课活动我对新课改有了更深的认识。教学改革就是创新，观念的更新是教育生存和发展的前提，在以后的教学中我要努力做到以下几点： 1、认真学习教育理念和教育教学先进经验。 2、努力开发多方面的教学资源，丰富教学内容。 3、上课时大胆放手，培养学生的自学能力、分析问题、解决问题的能力。以上是我在听课中的一点体会和心得，我要在今后工作

“几何直观”在小学数学计算教育教学的运用与研究

“几何直观”在小学数学计算教学的运用与研究

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“几何直观”在小学数学计算教学的运用与研究海盐县六里小学吴国【内容摘要】在以往的计算教学中，我们在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。而现在我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，这给学生理解和教师的教学带来诸多挑战，教学中怎样有效落实？有没有办法让算理更形象化，直观化，具体化？笔者提出用几何直观帮助学生理解算理，本文通过借助几何直观，帮助理解数量关系、借助几何直观，帮助建立数学模型、借助几何直观，发现算式间的关系等三方面来阐述如何借助几何直观理解算理。【关键词】几何直观计算教学算理在上学期有上级教育主管部门进行期末教学质量的检测中，三年级期末检测卷上出现了这样一道题（图1）：图1 检测后，笔者随后对自己班35名学生的答题情况进行了谈话统计，结果如下：通过统计表，我们发现，大部分学生能比较快的说出数位对齐的方法，即哪位上的数去乘，就写在哪位数下面。为什么要这样？大部分学生却不能进行合理的解释与说明。也是我们一线老师对学生是否能真正理解了算法背后所蕴含的算理而困惑的。即算理比较抽象、深奥，难以落实。计算教学在小学阶段占有十分重要的地位，也是数学教学的一个重要领域。但在教学中常常存在这样的现象： 1．老师在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，力求学生熟练掌握计算方法，达到一定的计算速度和准确度，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教表示（）表示（） 1 3 × 2 5 6 5 6% 60% 34% 不能解释算理计算错误不能解释算理但会计算能够解释算理并会计算

小学数学教师教学随笔新整理

小学数学教师教学随笔范县实验小学李园园教育的主体是学生，学生的认知能力、生活经验客观地受家庭环境、社会因素等不同而存在差异，要根据学生的实际情况创造性的地使用教材、巧选素材、合理设置教学活动内容、使用有效于学生学习的教学方法和学习方法。我使用人教版小学数学新教材教学已有几年了，我真正懂得“课标是源、教材是流”，逐渐具备创造性使用教材教学的能力。但也留下了一些教学遗憾：一方面部分学生计算速度慢、正确率不高。另一方面部分学生解决问题的能力差。一、用“发展”眼光去评价小学数学教育对象 1．教师要树立“发展”观 “发展是硬道理”，人的发展首当其冲是各种发展的核心，教学必需坚持“以人为本”。在数学教学中，必须要打破“只注重书本知识，只注重问题结果”，以“结果对错”做为学生解答数学问题的唯一评价标准，以“得分高低”做为学生学习成效的唯一评价尺度等从眼前出发，急功近利，有损于学生终身发展的落后评价观，而应该思考一下我们今天的教学对于学生的明天，对于他们能否自主地学习、发展有什么影响。 2．教师要为学生的长远发展做好长远的服务 “终身教育”是时代对受教育者提出的要求，所以做为教育者的教师要从“服务”的角度审视每一天的工作，不仅是一本书、一个单元、几道题等该掌握的知识，而是学生在获得这些知识的同时，是否焕发出生命的活力，使“自觉的学习”将来能够伴随他们的终身。所以教师要关注每一个学生，为他们的长远发展做好今天的服务，从这样的角度加强自我反思和评价。 3．实现学生有差异的发展 “差异性”是人在素养方面的客观存在，它反映了人在教育发展中的不平衡性，这就决定了我们的教育应该是个性化的教育，数学教学应满足不同学生的个性发展需求。在教学中，教师要关注学生的差异，实施有区别的分层教学；在评价上，教师更要实施分层评价，使评价符合学生的个性发展实际。我们必须摒弃那种追求高平均分、高优秀率的一刀切的教学要求和评价要求，使每个

小学数学教师如何听课

小学数学如何听课一、听课的必要性和重要性听课是教师必须具备的一项基本功，是提高教师教学水平的一种方式，是教师的一项必不可少的经常性的职责与任务。听课一有利于教师之间相互学习，相互取长补短，共同提高，“取人之长，补己之短”；“他山之石，可以攻玉”……就说明这个道理；二有利于青年教师学习优秀教师的先进教学经验，使自己能更快的成为一名合格的教师；三有利于良好教学风气的形成，促进教学改革的深入，提高教学水平，提高教学质量。二、听课前的准备 1、听课内容的准备：听课前一是看看相关教参教材，掌握课标和教材要求，熟悉有关内容。二是了解上课教师的教学特点；三了解听课班级学生的情况。这样听起课来就比较心中有数，听课效果就更好。 2、角色定位：听课要听出特点，抓住实质，评出水平，听课者需要准确定位自己的听课角色。（1）进入“学生”角色听课者必须首先有意识地转变角色，收敛自己的优越心态，放下架子，充当小学生，规规矩矩，认认真真地充当学

生的角色，使自己处于“学”的情境中。要设身处地，从学生角度，按学生水平去听课，常想一想，如果我是学生那种水平，认识能力能否听得懂，学得会，就是说看别的老师这样讲是否符合学生的实际。（2）进入“教者”角色听课者要设身处地地思考：这堂课自己来上该怎样讲？将讲课者的教法与自己的构思进行比较，从而才能判断出优劣。这样可避免两种态度：一是以局外人的身份去挑剔，看不到长处，不理解讲课者的良苦用心；二是无原则地同情、理解，看不到短处。（3）进入“指导者”角色听课者如果从指导者的角度来听课，就能做到一运用已有的教学理论和教学经验，对课堂教学做出分析与判断；二对课堂教学细心观察，敏锐地发现优点，以便评课时及时给予肯定；三准确地发现讲课者的不足，在归纳概括的基础上形成改进和提高的建议。（4）、进入“管理者”的角色听课者如果将自己置身于管理者的角度，就能统观全局，发现教师教学中存在的典型性和普遍性的问题，为学校的决策提供依据，并能从系统教学的高度有的放矢地向全体教师提出具体要求。（5）进入“审美者”的角色我认为听课者的最佳角色应该是审美者这个角色。用欣赏的目光去感受他们课堂教学中一举一动的仪态美、抑扬顿

小学数学几何中的重叠问题.教师版

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