排列组合组合练习题精心总结

排列组合教案

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

例：1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A 大学里有4种他所感兴趣的专业，在B 大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择？

2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

例：1.从A 村到B 村的道路有3条，从B 村到C 村的道路有2条，从A 村经B 村到C 村，不同的线路种数是

2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

3.从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_ __；

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

例：1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

（1） 从书架中任意取一本书，有多少种取法？

（2） 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

2.现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问： （1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？

（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？

排列定义 从n 个不同的元素中，取m 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取m 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 A(n,m)表示。排列的个数用m

n A 表示。当m=n 时称为全排列。

(1)排列数公式

!(1)(2)(1)()()!

m n n A n n n n m m n n m =---+=

≤-L ；!(1)(2)21n

n A n n n n ==--?L 。

例：1.=23A ；=25A ；=35A ；=3

7A

=13A ；=15A ；=17A ；=03A =05A ；=07A

1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法？

2.从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少种不同的方法？

组合定义 从n 个不同元素中取m 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取m 个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,m)表示，组合的个数用m

n C 表示.

(2)组合数公式

()(1)(1)!()(1)21!!m

m

n n

m m A n n n m n C m n A m m m n m ?-??-+===≤?-???-L L ；其中0

1n C =.

例：=25C ；=35C ；27C = ；=5

7C =15C ；=17C ；=05C ；=07C

1.（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

2.在一100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件， （1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

排列数、组合数的性质：①m

n m n n C C -=；②111

m m m n n n C C C ---=+；③1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.

例：1.=26C ，=46C ；2.=38C ，=5

8C . 2.=++++2

827262535C C C C C ；

3．=++++3

837353433C C C C C ；

解排列组合问题的方法有： 一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

1． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．

2．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.

3.某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为____ _；

4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

5.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

6.用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；

7.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有__ ___种；

9.A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___ __个三角形；

10.用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；

11．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）

图5

12．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）

图6

13.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

二：相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；

2. 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

3.有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)

4.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）

A、60种

B、48种

C、36种

D、24种

三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.）

1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种

B、3600种

C、4820种

D、4800种

3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，

5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

四：可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的

m种方约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有n

法.

1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；

五：有序问题组合法

1.学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩{89,90,91,92,93}(1,2,3,4)i x i ∈=且满足

1234x x x x <≤<，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种；

2.设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8A =，对任意x A ∈，有(1)(2)(3)f f f <<，则映射:f A A →的个数是_ ____；

3.离心率等于q p log (其中91,91≤<≤

,N q p ∈)的不同形状的的双曲线的个数

方法.

,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种

个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。

4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A 、210种

B 、300种

C 、464种

D 、600种

七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A 、140种 B 、80种 C 、70种 D 、35种

2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种

八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种；

2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；

九：阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组至少一份，分成n 份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后

再做）

1. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？

4.有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少

编号数，问有多少种不同的方法？（2

16

C）

十.（不同物品）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。

1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有种分法.

3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有种分法.

4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有种分法.

5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有种分法.

本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A、480种

B、240种

C、120种

D、96种

9．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）

A、

444

1284

C C C

种 B、

444

1284

3C C C

种 C、

443

1283

C C A

种 D、

444

1284

3

3

C C C

A种

11.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A、1260种

B、2025种

C、2520种

D、5040种

12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

十一：选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_ _。

2.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

1.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种

2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种；

3.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有______ ___种

4.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

十三：多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

1.如若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2 n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，则x,y 的大小关系为_____；

2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种

个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

十四：圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：

12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a L L L L 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，

故认

为相同，n 个元素的圆排列数有!n n

种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全

排列.

1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法？

1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

十五：排除法，部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A 、70种

B 、64种

C 、58种

D 、52种

2.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种

3.如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。

3. 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三

张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

十六：已排好元素中新增元素增位排列法

1.在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。

3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法；

二项式定理：

).(......)(2221110+---∈++++++=+N n b C b a C b a C b a C a C b a n

n n k k n k n n n n n n n n

例：1.5

)(y x +的展开式为

2.7

)(y x +的展开式为 3.7

)2(y x +的展开式为

4.设∈n N *，化简=+++++n

n n n n n C 7C 7C 7C 7133221Λ_____________； 5.设∈n N *，化简=++++-1

23216C 6C 6C C n n n n n n Λ_______________； n n n n n n C C C C 2...210=++++

例：1. 7

)(y x +的展开式中，每项的系数和为

2. 7

)(y x +的展开式中，每项的二项式系数和为 3. 7)2(y x +的展开式中，每项的二项式系数和为 4. 7)2(y x +的展开式中，每项的系数和为

二项式的题型一：（求k

x 或m

n

y x 的系数）

1．（重庆3）2

82

()x x

+的展开式中4

x 的系数是（ ） A ．16

B ．70

C ．560

D ．1120

2．(2008天津理) 5

2?

??? ?

?-x x 的二项展开式中，2

x 的系数是 （用数字作答）. 3．（全国1/13）10

()x y -的展开式中，7

3

x y 的系数与3

7

x y 的系数之和等于

4．（全国2/13） (4

的展开式中33

x y 的系数为

5．(2008全国Ⅱ卷理) 64(1(1-+的展开式中x 的系数是（ ）

A ．4-

B ．3-

C ．3

D ．4

6．(2008四川理) ()()3

4

121x x +-展开式中2x 的系数为______________。

7．（2008浙江文、理）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4

x 的项的系数

是（ ）

（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

8. (2008广东理)已知6

2)1(kx +(k 是正整数)的展开式中，8

x 的系数小于120，则k=_____.

题型二：求常数项

1．（四川13）6

1(2)2x x

-

的展开式的常数项是 （用数字作答）

2．(2008山东理)（X -

3

1

x

）12

展开式中的常数项为（ ）

（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)220

3．（全国Ⅰ卷理科第10题）2

1

()n

x x

-的展开式中，常数项为15，则n = （ ） B ．4 C ．5 D ．6

4．(安徽理科第12题)若33n

x

? ?

的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于

5．（湖北理科第1题）如果2323n

x x ?

?- ??

?的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为

（ ）

Ａ．3

Ｂ．5 Ｃ．6

Ｄ．10

6．（全国Ⅱ卷理科第13题）8

2

1(12)x x x ??+- ??

?的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

7．(2008江西理) (1＋3x )6

(1＋

4

1

x

)10

展开式中的常数项为（ ）

A ．1

B ．46

C ．4245

D ．4246

题型三：求展开式的系数或二项式系数

1．(2008福建理)若(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2

+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=_______.(用数字作答)

2．（重庆理科第4题）若n

x

x )1

(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．10 .20 C

3．（2008北京理）若231n

x x ?

?+ ??

?展开式的各项系数之和为32，则n =______，其展开式中

的常数项为_____（用数字作答）

4．（江西理科第4题）已知

n

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）

Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6

Ｄ．7

5．（湖南10）在333(1)(1(1)x +++++的展开式中，x 的系数为_____(用数字作答)

6．（2008安徽文、理）设88

018(1),x a a x a x +=+++L 则0,18,,a a a L 中奇数的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

7．已知（n a a )1

3

2

+

的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）

8.设()x a a x a x a x 21

22101221-1=+++L ，则1110a a += .

题型四：

1、4141被7除所得的余数是___________；

2、1899

-被9除的余数为……………………………………………………………（ ） （A ）7 （B ）－2 （C ）8 （D ）－1

3、9191除以100的余数是……………………………………………………………（ ） （A ）1 （B ）90 （C ）91 （D ）9