武汉实验外国语学校初中部必修第二册第五单元《概率》测试卷(包含答案解析)

一、选择题

1．下列命题正确的是（ ）

A ．用事件A 发生的频率()n f A 估计概率()P A ，重复试验次数n 越大，估计的就越精确.

B ．若事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立.

C ．事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.

D ．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 2．某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确定是受A 感染的.对于C 因为难以判定是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和B 感染的概率都是

1

2.同样也假定D 受A ，B 和C 感染的概率都是13

.在这种假定下，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染的概率是（ ） A ．

16

B ．1

3

C ．12

D ．

23

3．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）． A ．

5216

B ．

25

216

C ．

31216

D ．

91

216

4．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．

23

B ．

112

C ．

16

D ．

13

5．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（ ）

A ．

13

B ．

23

C ．

14

D ．

34

6．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( ) A ．对立事件

B ．不可能事件

C ．互斥但不对立事件

D ．不是互斥事件

7．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（ ） A ．

1126

B ．

521

C ．

635

D ．

421

8．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ） A ．

49

B ．

59

C ．

23

D ．

79

9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是,,a b c ，当且仅当a b c b >>且时称为

“凹数”，若{},,1

234a b c ∈，，，，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 A ．

1

3

B ．

532

C ．

732

D ．

712

10．有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动，从该5位同学中任取3人，至少有1名女生的概率为（ ）

A ．

1

10

B ．

25

C ．

35

D ．

910

11．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为X ，已知

16

(1)45

P X ==，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品数为（ ）

A ．2件

B ．4件

C ．6件

D ．8件

12．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．

335

B ．

338

C ．

217

D ．以上都不正确

13．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是

3

5

.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ） 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 A ．

35

B ．

12

C ．

1320

D ．

25

二、解答题

14．在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[)[)[)0,1,1,2,2,3，

[)[)[)3,4,4,5,5,6，[)[]677,8,,（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布

直方图（如图）.

（1）由图中数据，求a 的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率；

（2）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[)0,1和[)1,2的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[)0,1中至少有1人的概率；

（3）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.

15．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查. 已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人. 下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：

h )的频率分布表.

分组

频数

频率

（2）求频率分布表中实数,,

x y z的值

（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.

16．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.

（1）求甲、乙成平局的概率；

（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

17．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确

完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2

3

，且每题正确完成与否互不

影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望;

(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?

18．

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.

19．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州-福州-广州-海口-北海（广西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市.

（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；

（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润

100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万，该公司为了确定建设工业厂房的数目()*1013,n n n N ≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频

数分布表： 月需求量（单位：万

件） 100 110 120 130 月份数

6

24

18

12

若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？

20．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在[]80,100的居民有900人． 满意度评分 [)40,60

[)60,80

[)80,90

[]90,100

满意度等级

不满意

基本满意

满意

非常满意

（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；

（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？

（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在[)50,60内的概率．

21．某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x ，a ，b 的值；

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄；

（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率.

22．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约

5.4km ，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22?列联表：

男性 女性

合计

参加 10

没参加 8

合计

30

已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是

815

. （1）完成答题卡上的22?列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？

（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

()

2

P K k

≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 23．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共

鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为4

5

，女生认为《少年的你》值得看的概

率为3

4

，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）

（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；

（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望. 24．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；

（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．

25．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某大学为了解学生对民法典的认识程度，选取了120人进行测试，测试得分情况如图所示.

（1）试求出图中实数a 的值，并求出成绩落在[]90,100的人数；

（2）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试.试判断该校能否通过测试；

（3）如果在[)80,90中抽取3人，在[]90,100中抽取2人，再从抽取的5人中选取2人进行民法典的宣传，那么选取的2人中恰好1人成绩落在[]90,100的概率是多少？ 26．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数

40

20

20

20

等级 A B C D 频数

28

17

34

21

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项．

【详解】

在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A 出现的次数和总的试验次数n 之比,称为事件

A 在这n 次试验中出现的频率.当试验次数n 很大时,频率将稳定在一个常数附近. n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说n 越大，估计

的精度越精确，A 错；

事件A 与事件B 相互独立，即A 是否发生与B 是否发生无关，∴事件A 是否发生与事件

B 是否发生也无关，它们相互独立，B 正确；

抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件A ，出现的点为不小于2记为事件B ，则事件

A

与事件B 同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为42

63

=，而事件A 与B 中恰有一个发生是指点为1或6，概率为212

633

=<．C 错；

抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D 错． 故选：B ． 【点睛】

本题考查概率的定义，考查事件的独立性．掌握概念的定义是解题关键．

2．C

解析：C 【分析】

设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ，分析题意得出()1P B =，1()2

P C =

，1

()3

P D =

，B ，C ，D 中恰有两人直接受A 感染为事件CD CD +，利用公式求得结果. 【详解】

根据题意得出：因为直接受A 感染的人至少是B ， 而C 、D 二人也有可能是由A 感染的， 设,,B C D 直接受A 感染为事件B 、C 、D ， 则事件B 、C 、D 是相互独立的，

()1P B =，1()2P C =

，1()3

P D =， 表明除了B 外，,C D 二人中恰有一人是由A 感染的， 所以12111()()()23232

P CD CD P CD P CD +=+=

?+?=， 所以B 、C 、D 中直接受A 传染的人数为2的概率为12

， 故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互独立事件同

时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目.

3．D

解析：D 【分析】

根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案. 【详解】

解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立， 记事件A 为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”， 则A 为“抛掷3次都没有出现6点向上”，

记事件i B 为“第i 次中，没有出现6点向上”，1,2,3i =，

则123A B B B =，又()56i P B =，所以()

3

51256216P A ??== ???

，

所以()()

12591

11216216

P A P A =-=-=. 故选：D. 【点睛】

本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.

4．D

解析：D 【分析】

讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案. 【详解】

当十位上的数为4时，共有2

36A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.

故34881243

p A =

==. 故选：D . 【点睛】

本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.

5．B

解析：B 【分析】

列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心O ”为事件M ，确定事件M 所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】

此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A B C E H →→→→，

A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，A D F G H →→→→，共6条.

记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A B O E H →→→→，

A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，共4条.

()4263P M ∴=

=，即他经过市中心的概率为23

. 故选：B. 【点睛】

本题考查概率的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．

6．C

解析：C 【分析】

对与黄色奖牌而言，可能是1班分得，可能是2班分得，也可能1班与2班均没有分得，然后根据对立事件和互斥事件的概念进行判断． 【详解】

由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件.故选C 【点睛】

本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，属于基础题．

7．D

解析：D 【分析】

对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有

2224C C 种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率.

【详解】

当两名男生来自高一年级，22

24149121C C P C ==，当两名男生来自高二，22342

491

7

C C P C == 12114

21721

P P P =+=

+=, 故选D. 【点睛】

本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.

8．C

解析：C 【分析】

现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】

设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,

基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：

()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,

∴齐王的马获胜的概率为62

93

P =

=，故选C. 【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再

21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏

写现象的发生.

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】

先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有44464??=个三位数.

再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有3

428

C ?=种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有2

416C ?=种方法，所

以共有凹数8+6=14个， 由古典概型的概率公式得P=1476432

=. 故答案为：C 【点睛】

本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

10．D

解析：D 【分析】

将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”所包含的基本事件数，利用古典概型

的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】

将3位男生分别记为A 、B 、C ，2位女生分别记为a 、b ，

从这5位同学中任取3人，所有的基本事件有：ABC 、ABa 、ABb 、ACa 、ACb 、

Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共10种，

其中，事件“从这5位同学中任取3人，至少有1名女生”包含的基本事件有：ABa 、

ABb 、ACa 、ACb 、Aab 、BCa 、BCb 、Bab 、Cab ，共9种，

因此，所求概率为910

P =. 故选：D. 【点睛】

方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）树状图法； （4）排列、组合数的应用.

11．A

解析：A 【分析】

设10件产品中存在n 件次品，根据题意列出方程求出n 的值． 【详解】

设10件产品中存在n 件次品，从中抽取2件，其次品数为X ，

由16

(1)45

P X ==得，11102

101645n n C C C -=， 化简得210160n n -+=， 解得2n =或8n =；

又该产品的次品率不超过40%，

4n ∴；

应取2n =， 故选：A 【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．

12．A

解析：A 【解析】

设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).

又()()()2112

44164

22

2020

,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()

2

4211441663|641635

P AB C P A B P B C C C ====++?. 本题选择A 选项.

点睛：条件概率的求解方法：

(1)利用定义，求P (A )和P (AB )，则()()

(|)n AB P B A n A =

.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得()()

(|)n AB P B A n A =

.

13．B

解析：B 【分析】

从20个随机数中观察随机数的三个数中恰有2个在0，1，2，3，4，5中的个数，然后可得概率． 【详解】

观察20个随机数，其中有116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号， 因此所求概率为101202

P ==． 故选：B ． 【点睛】

本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率．

二、解答题

14．（1）0.1a =；0.1；（2）7

10

；（3）5.38小时. 【分析】

（1）由频率之和等于1求出a 的值，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率； （2）由频率分布直方图可知自主学习时间在[

)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人，设在

[)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C ，利用列举法结合古典概型的概率公

式得出概率；

（3）由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可. 【详解】

解：（1）因为(0.02+0.03+0.05+0.1520.20.3)11a +?++?=，所以0.1a =. 由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[)3,4的频率为0.110.1?= 所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在[)3,4的概率为0.1.

（2）设“抽取的2人其中学习时间在[

)0,1中至少有1人”为事件A

由图中数据可知：该天居家自主学习时间在[

)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人. 设在[

)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C

则从这5人中任选2人的样本空间{}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC =， 共有10个，样本点事件A {}ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC =， 共有7个样本点()710

P A =

所以学习时间在[

)0,1中至少有1人的概率为710

（3）样本平均数：

()0.50.02 1.50.03 2.50.05 3.50.1 4.57.50.15 5.50.2 6.50.3x =?+?+?+?++?+?+?5.38=.

样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时. 【点睛】

关键点睛：在第一问中，关键是利用频率之和等于1求出a 的值，在第二问中主要是利用列举法求解概率.

15．（1）600人；（2）8；0.16；10；（3）3

5

.

【分析】

（1）利用样本中高二年级人数与高二年级总人数之比=样本中高一年级、高二年级人数之和与高一、高二年级总人数之和之比求解；

（2）先根据频率分布表求出z 的值，再根据高二年级学生样本人数计算出x ，从而得到其频率y 的值；

（3）记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为123,,b b b ，先列出从这5名高二学生中任选

3人进行面谈的所有可能情况，以及恰好有两男一女的情况数，然后根据古典概率模型概率的计算公式求解. 【详解】

解：（1）设该校高二学生的总数为n ，由题意5015050660540

n -=+，解得=600n ，所以该校高二学生总数为600人.

（2）由题意0.2050

z

=，解得10z =，

50(57128)8x z =-++++=，

0.1650

x

y =

=. （3）记“选中的3人恰好为两男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为1a ，2a ，男生为1b ，2b ，3b ，从中任选3人有以下情况： 121,,a a b ；122,,a a b ；123,,a a b ；112,,a b b ；

113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；213,,a b b ；223,,a b b ；123,,b b b ，共10种情况，基本事件

共有10个，它们是等可能的，

事件A 包含的基本事件有6个，分别为：112,,a b b ；113,,a b b ；123,,a b b ；212,,a b b ；

213,,a b b ；223,,a b b ，

故63()105P A ==，所以选中的3人恰好为两男一女的概率为35

. 【点睛】

（1）解决分层抽样问题时，常用的公式有： ①

n N =样本容量该层抽取的个体数

总体个数该层个体数

；

②总体中某两层的个数比等于样本中这两层抽取的个体数之比； （2）求解古典概率模型时，基本步骤如下：

①利用列举法、列表法、树状图等方法求出基本事件总数n ； ②求出事件A 所包含的基本事件个数m ； ③代入公式m

P n

=，求出概率值. 16．（1）2

5

；（2）不影响比赛的公平性.. 【分析】

（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；

（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论. 【详解】

解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，

则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，

甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况， 故平局的概率182205

P =

=. （2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，

故先取者（甲）获胜的概率2632010P =

=， 后取者（乙）获胜的概率3233151010

P =-

-=， 所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】

求古典概型概率的步骤：

（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；

（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； （3）利用公式()m

P A n

=

，求出事件A 的概率． 17．(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】

（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，

2~3,3Y B ??

???

，分别写出分布列，再求期望值均为2；

（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】

（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，

∴1223461(1)5C C P X C ?===，4212363(2)5C C P X C ?===，30423

61

(3)5

C C P X C ?===， ∴X 的分布列为：

∴1232555

EX =?

+?+?=． 2~3,3Y B ?? ???

，

∴0303

211(0)3327P Y C ????=== ? ?????，1

2

1

32162(1)C 33279P Y ????==== ?

?

??

??

， 2

1

2321124(2)C 33279P Y ????==== ? ?????，3

33218(3)3327P Y C ????=== ? ?

????

， ∴Y 的分布列为：

∴01232279927

EY =?+?+?+?=． （2）2221312(12)(22)(32)5555

DX =

?-+-?+-?=， 212

1333(3

)DY np p =-=??=，

∵DX DY <，

∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】

本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性. 18．（1）0.5；（2）0.1 【分析】

(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球

均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．

【详解】

(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以20.50.40.50.60.5P X

(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X

【点睛】

本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事

件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档

题．

19．(1)

115

143；(2)12间. 【解析】

分析：（1）根据对立事件的概率及古典概型求解即可．（2）设该产品每月的总利润为

Y ，分别求出10,11,12,13n =时每月总利润的数学期望，根据其中期望最大的来决定建设

厂房的数量．

详解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，

则()()

3831328115

111143143

C P A P A C =-=-=-=，

所以该公司所选的3

个城市中至少有1个在国内的概率为115

143

. （2）设该产品每月的总利润为Y ， ①当10n =时，1000Y =万元． ②当11n =时，Y 的分布列为

所以()9500.111000.91085E Y =?+?=万元. ③当12n =时，Y 的分布列为

所以()9000.110500.412000.51110E Y =?+?+?=万元. ④当13n =时，Y 的分布列为

所以()8500.110000.411500.313000.21090E Y =?+?+?+?=万元. 综上可知，当12n =时()1110E Y =万元最大，故建设厂房12间．

点睛：（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力．

（2）在实际问题中，一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．

20．（1）0.025a =，1500人；（2）该区防疫工作不需要进行大调整；（3）25

. 【分析】

（1）频率分布直方图中由概率和为1可求出a ，设总共调查了n 人，则

()900

0.0350.02510n

=+?，从而求出调查总人数． （2）由频率分布直方图求出各段的频率，从而求出η＝0.807＞0.8，即可得到结论. （3）求出不满意的人数在两段分别有30，60，每段抽取人数为2和4，在第一段的人记作a ，b ，在第二段的人记作A ，B ，C ，D ，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】

（1）由频率分布直方图知()0.0020.0040.0140.020.035101a +++++?=， 即()100.0751a ?+=，解得0.025a =，

设总共调查了n 人，则

()900

0.0350.02510n

=+?，解得1500n =， 即调查的总人数为1500人；

（2）由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、

0.25，

所以

450.02550.04650.14750.2850.35950.25

0.8070.8100

η?+?+?+?+?+?=

=>，

所以该区防疫工作不需要进行大调整；

（3）0.00210150030??=，0.00410150060??=， 即不满意的人数在两段分别有30、60，30:601:2=，

所以评分在[)40,50所抽取的人数为2，分别记为a 、b ， 评分在[)50,60所抽取的人数为4，分别记为A 、B 、C 、D ，

所以抽取两人的基本事件为：ab 、aA 、aB 、aC 、aD 、bA 、bB 、bC 、

bD 、AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ，共15个，

而两人都来自[)50,60的基本事件有：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 共6个， 则所求事件的概率为62155

=． 【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型概率公式的应用，考查分析推理和运算求解能力，属于中档题.

21．（1）500，200，50；（2）41；（3）12

. 【分析】

（1）根据频率直方图计算得x ，a ，b ；

（2）由频率直方图的平均值的计算方法可估计该企业员工的平均年龄；

（3）根据比例和分层抽样先求得第3组中抽取的人数.设这四人为甲乙丙丁，列举出所有的基本事件，由古典概率公式可求得答案. 【详解】

（1）50

500,0.0855002000.025

x a =

==??=?，

0.02550050b =??=， 所以x =500，a =200，b =50；

（2）300.025350.025400.085450.065500.02541x =??+??+??+??+??=， 所以估计该企业员工的平均年龄为41；