研究生矩阵试题
北京交通大学
2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业 班级 学号 姓名
一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3[]R x 中取两
个基：21231,1,(1)
x x ααα==-=-；21232,2,(2)x x βββ==-=-。（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，
（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。 二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,,,)T n n x x x x R =
∈ 满足
11(0,,,)n Tx x x -= 。（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域()R T 的 基和维数。
三． （12分）设1023510224i A i i i -?? ?=++ ? ?-??，120x i -?? ? ?= ? ? ?-??
，i = 。 计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。
四．（10分）求矩阵1123101032160113A -?? ?-- ?= ?- ? ?-??
的满秩分解。 五． （12分）求矩阵011110101A ?? ?= ? ???
的正交三角分解A UR =，其中U 是酉矩阵，R
是正线上三角矩阵。
六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题：
1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。证明A 是Hermite 矩阵，并
写出A 的Jordan 标准形的形式。
2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。
3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。
七． （24分） 设100011101A ?? ?=- ? ?-??
。（1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 错误! 2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题: （1）设4R 空间中的向量????????????=23121α,????????????--=32232α,????????????=78013α，????????????--=43234α,???? ? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2 {}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数. 解:=A {}54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V 的维数为３和１ （２） 设()T i i 11-=α,()T i i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα, 及它们的长度（i =）. (0, 2， 2); （３）求矩阵?? ??? ?????----=137723521111A 的满秩分解. 解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ? ?? ??? ??? ----747 510737201* (4)设-λ矩阵??? ? ? ??++=2)1(0000 00 )1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子. 解:????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ (5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 * H x x α=,验证x 是向量 范数． 二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++ （2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2, -1， 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-. 北京理工大学2017-2018学年第一学期 2017级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题 一、（10分）设线性变换f 在基123[1,1,1],[1,0,1],[0,1,1] ααα=-=-=下的矩阵表示为101110123A -????=????-?? （1）求f 在基123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]εεε===下的矩阵表示。 （2）求f 的核与值域。 二、（10分）求矩阵20000i A ????=?????? 的奇异值分解。 三、（10分）求矩阵111222111A -????=-????--?? 的谱分解。 四、（15分）已知(1)n u R n ∈>为一个单位列向量，令T A I uu =-，证明 （1）21A =； （2）对任意的X R ∈，如果有AX X ≠，那么22AX X <。 五、（15分）已知矩阵1212a A a ??-??=????-???? ， （1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞ =+∑绝对收敛？ （2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。 七、（20分）求下列矩阵的矩阵函数2,sin ,cos tA e A A π π 300030021 01300103123001013000301 00013()()()A A A ??????????? ???===?????? ???????????? 八、（5分）已知 sin 53sin 2sin 52sin sin 5sin sin sin 5sin 2sin 52sin sin 5sin sin 5sin 2sin 52sin sin 53sin t t t t t t tA t t t t t t t t t t t t +--????=-+-????--+?? 求矩阵A 。 九、（5分）已知不相容线性方程组 141223341 10 x x x x x x x x +=??+=??+=??+=? 求其最佳最小二乘解。 十、（10分）已知Hermite 二次型 12312132131(,,)f x x x ix x x x ix x x x =+-+ 求酉变换X UY =将123(,,)f x x x 化为标准型。 华南理工大学研究生课程考试题（A） 《矩阵分析》2016年12月 姓名院（系）学号成绩 注意事项：1.考试形式：闭卷（√）开卷（） 2.考生类别：博士研究生（）硕士研究生（√）专业学位研究生（） 3.本试卷共四大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、单项选择题（每小题3分，共15分）： 1、设,,是的两个不相同的真子空间，则下列不能构成子空间的是。（A）；（B）；（C）；（D）。 2、设,为阶酉矩阵,则下列矩阵为酉矩阵的是。 （A）；（B）；（C）；（D）。 3、设矩阵的秩为,则下列说法正确的是。 （A）的所有阶子式不等于0；（B）的所有阶子式等于0； （C）的阶子式不全为0；（D）的阶子式不全为0。 4、下列命题不正确的是。 （A）行数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子； （B）列数相同的两个矩阵一定存在最大右公因子。 （C）特征多项式的根一定是最小多项式的根； （D）最小多项式的根一定是特征多项式的根； 5、设,则。 （A）1；（B）；（C）；（D）。 二、填空题（每小题3分，共15分）： 1、设,,和,,是的 两个基,则从第一个基到第二个基的的过渡矩阵为 。 2、实线性空间的映射称为内积运算,如果满足下列条件: 。 3、奇异值分解定理内容为 。 4、设，则。 5、设，则。 三、计算题（每小题14分，共56分）： 1、设，，；，， ，。求和的一个基。 2、求欧氏空间的一个标准正交基（从基，，，出发），内积定义为 。 3、求的若当标准形和可逆矩阵， 并计算。 4、1）写出的求解公式。 2）已知，计算。 四、证明题（第一小题8分，第二小题6分，共14分）： 1、设，是维线性空间,证明都。 2、设方阵满足，且,证明。 北京交通大学 2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 的两个基为T T T I )1,0,1( ,)1,0,1( ,)1,1,1( :321=-==ααα和T T T II )5,4,3( ,)4,3,2( ,)1,2,1( :321===βββ， （1） 求基I 到基II 的过度矩阵；（2） 求T )1,1,1(=α在基I 下的坐 标。 二． （14分）设线性影射34:R R T →满足，对任意44321),,,(R x x x x T ∈， T T x x x x x x x x x x x x x x x T )3,2,(),,,(432142143214321-++-+++-=， 求T 的核()N T 及值域()R T 的基和维数。 三． （12分）设???? ? ??-=120520i i i A ， （1）计算1A 和∞A ；（2）如果T x )1,1,1(=， 计算1Ax 和∞Ax 。 四．（10分）求矩阵???? ? ??=131321*********A 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵???? ? ??=230111140A 的正交三角分解UR A =，其中U 是 酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （20分）证明题： 1． 设A 是反Hermite 矩阵，证明A E -是可逆的。 2．设A 是正规矩阵， 如果A 满足0432=--E A A ，证明：A 是Hermite 矩阵。 3．证明：n 维欧氏空间V 的线性变换T 是对称变换，即对任何,x y V ∈， ),(),(Ty x y Tx = 的充要条件是T 在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。 七． （20分） 设???? ? ??=100100011A 。 （1）求E A λ-的Smith 标准形；（2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求矩阵函数()f A ，并计算tA e 。 武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义: 第 1 页 共 3 页 重庆邮电大学研究生考卷(A 卷) 学号 姓名 考试方式 闭 卷 班级 考试课程名称 高等代数与矩阵分析 考试时间： 2010年 1月 8日 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 一 、已知 1(1,2,1,0)T α=，2(1,1,1,1)T α=-，1(2,1,0,1)T β=-，2(1,1,3,7)T β=- 求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。（10分） 二、证明：Jordan 块 10()0100a J a a a ?? ??=?? ???? 相似于矩阵 0000a a a εε?? ???? ???? ，这里0ε≠为任意实数。（10分） 证明：由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-，从而这两个λ-矩阵相 似，于是矩阵10()0100a J a a a ????=??????与0000a a a εε?? ???? ????相似. 三、求矩阵101120403A -?? ? = ? ?-?? 的 (1)Jordan 标准型； （2）变换矩阵P ； （3）计算100A 。（10分） 解 （1）Jordan 标准型为 110010002J ?? ?= ? ??? （2） 相似变换矩阵为 第 2 页 共 3 页 100111210P ?? ?=-- ? ??? （3） 由于1P AP J -=，因此1n n A PJ P -=，容易计算 100 1001001001990100 2012210124000 201A -?? ? =--+ ? ?-? ? 四、验证矩阵0110000i A i -?? ?= ? ??? 是正规阵，并求酉矩阵U ，使H U A U 为对角矩阵。 (10分) 五、已知A 是Hermit 矩阵，且0k A = （k 为自然数），试证：0A ＝。 （10分） 六、验证矩阵 0241 0221104 2 A ?? ? ? ?= ? ? ??? 为单纯矩阵，并求A 的谱分解。 （10分） 七、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。（10分） 八、设12(,,,)n ααα 与12(,,,)n βββ 是实数域R 上的线性空间V 的两组基，且 1212(,,,)(,,,)n n P βββααα= ，又对任意的V γ∈有 证明：（1）2x γ=是V 中的向量范数； （2）当P 是正交矩阵时，有22x y =。（10分） 九、已知矩阵 ()()()22111100170.20.5111;2;3011.030.10.5001k k k k k k k k ∞∞∞ ===?????? ? - ? ? ?-???? ? -?? ∑∑∑()()1111222212,,,.n n n n n x y x y x y x y x y x y x y γαααβββ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ? ? ????????? 12n ，，，；记，100121, 002A ?? ?=-- ? ??? 矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24． 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则 ),,,(4321ααααR =2． 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值 范围是22< <-a ． 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵， 记????? ??=1000110011P ，??? ?? ??=010*******P ，在则=A （ D ） 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为（B ） )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3 课程名称：矩阵分析 一、课程编码：1700002 课内学时： 32 学分： 2 二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业 三、先修课程：线性代数，高等数学 四、教学目标 通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。 五、教学方式 教师授课 六、主要内容及学时分配 1、线性空间和线性变换（5学时） 1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换 1.2子空间、线性变换 1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件 2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时） 2.1 λ-矩阵及Smith标准形 2.2 初等因子与相似条件 2.3 Jordan标准形及应用； 3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时） 3.1 欧式空间、酉空间 3.2标准正交基、Schmidt方法 3.3酉变换、正交变换 3.4幂等矩阵、正交投影 3.5正规矩阵、Schur 引理 3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式 3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵 3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形 4、矩阵分解（4学时） 4.1矩阵的满秩分解 4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解） 4.3矩阵的奇异值分解 4.4矩阵的极分解 4.5矩阵的谱分解 5、范数、序列、级数（4学时） 5.1向量范数 5.2矩阵范数 5.3诱导范数（算子范数） 5.4矩阵序列与极限 5.5矩阵幂级数 6、矩阵函数（4学时） 6.1矩阵多项式、最小多项式 6.2矩阵函数及其Jordan表示 6.3矩阵函数的多项式表示 6.4矩阵函数的幂级数表示 6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数 7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时） 7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分 7.2 函数向量的线性相关性 7.3 矩阵微分方程 (t) ()() dX A t X t dt = 7.4 线性向量微分方程 (t) ()()() dx A t x t f t dt =+ 8、矩阵的广义逆（3学时） 8.1 广义逆矩阵 8.2 伪逆矩阵 8.3 广义逆与线性方程组 课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线 inner product： vector norm： Matrix norm： operator norm The l 2 norm is a matrix norm (Frobenius norm) Proof We just verify the submultiplicative. Using Cauchy-Schwarz inequality, we have: The l 1 norm is a matrix norm.Proof We just verify the submultiplicative. Thel ∞ norm is not a matrix norm.Proof Consider the matrix: The maximum column sum norm ||| · |||1 is deduced by the l1 norm. Proof ： The maximum row sum norm ||| · |||∞ is deduced by the l ∞ norm. Proof ： The spectral norm ||| · |||2 is deduced by the l 2 norm. Proof ∑ =i ij j a A ||max ||||||1∑=∞j ij i a A | |max ||||||{} A A of eigenvalue an is A *=λλ:max ||||||2 The matrix is called diagonalizable if A is similar to a diagonal matrix. A matrix is diagonalizable iff A has n linearly independent eigenvectors. If U is unitary, compute and |||U|||2 :solution n M A ∈n M A ∈) (U ρ1)}(|:max{|)(=∈=U U σλλρ{} 1 )(:max ||||||*2=∈=U U U σλλ 2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）3[]R x 表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在 3[]R x 中取两个基：21231,1,(1)x x ααα==-=-； 21232,2,(2)x x βββ==-=-。（1）求123,,βββ到123,,ααα的过度矩阵，（2） 求21x x ++ 在123,,ααα下的坐标。 二． （14分）设T 是n R 的线性映射，对任意12(,, ,)T n n x x x x R =∈满足 11(0,, ,)n Tx x x -=。（1）证明0n T =； （2）求T 的核()N T 及值域 ()R T 的 基和维数。 三． （12分）设1023510224i A i i i -?? ?=++ ? ?-??，120x i -?? ? ?= ? ? ?-?? ，i = 。 计算11, , , Ax Ax A A ∞∞。 四．（10分）求矩阵1123101032160113A -?? ?-- ? = ?- ? ?-? ? 的满秩分解。 五． （12分）求矩阵011110101A ?? ? = ? ??? 的正交三角分解A UR =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵。 六． （16分，1、2小题各5分， 3小题6分）证明题： 1． 设A 是n 阶正规矩阵，且满足2320A A E -+=。证明A 是Hermite 矩阵，并写出A 的Jordan 标准形的形式。 2．设A 是正定Hermite 矩阵，且A 是酉矩阵，证明A E =。 3．证明：若A 是Hermite 矩阵，则iA e 是酉矩阵。 七． （24分） 设100011101A ?? ? =- ? ?-?? 。（1）求E A λ-的Smith 标准形； （2）写出A 的最小多项式， A 的初等因子和Jordan 标准形； （3）求相似变换矩阵P 使得1P AP J -=；（4）求1P -矩阵函数()f A ，并计算tA e 。 2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B) 专业 班级 学号 姓名 一． （12分）设3R 两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)T T T ααα==-=； 123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)T T T βββ=-=-=。（1）求123,,ααα到 123,,βββ的过度矩阵，（2） 求子空间V ，其中V 中的向量在两个基下的坐标相同。 二． （14分）设线性映射43:T R R →满足：对任意41234(,,,)T x x x x R ∈， 求的核()N T 及值域()R T 的基和维数。 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。 §9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。 定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R 2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 一、（共30分，每小题6分）完成下列各题： （1）设4 R 空间中的向量????????????=23121α，????????????--=32232α，????????????=78013α，???? ?? ??????--=43234α， ????? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V I 的 维数. 解：=A { }54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V I 的维数为 3和1 （2） 设() T i i 11-=α，() T i i 11-=β是酉空间中两向量，求 内积()βα, 及它们的长度（i = . （0， 2, 2）； （3）求矩阵?? ?? ? ?????----=137723521111A 的满秩分解. 解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ??? ??? ?? ? ----747 510737201* （4）设-λ矩阵???? ? ??++=2)1(000000 )1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形及其 行列式因子. 解：????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ （5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=， 验证x 是向量范数. 二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为 ?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε 北京交通大学 2011-2012学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 班级 学号 姓名 一、（共12分，每小题3分）试对下列概念给出定义： （1）线性映射的值域和核；（2）线性变换的特征值和特征向量； （3）矩阵的最小多项式； （4）矩阵的诱导范数. 二、（共24分，每小题8分）设5R 空间中的向量 110212α????????=????????，201221α????????=????????，312012α?? ? ? ?= ? ? ???，413233α????????=????????，512013α????????=????????，623445α?? ???? ??=?? ?? ???? ， Span V =1()1234,,,αααα，Span V =2()56,αα， （1）求矩阵()123456,,,,,A αααααα=的满秩分解； （2）求21V V +的维数及基； （3）求21V V 的维数及基. 三、（10分）求矩阵2000 0224400 2A ????? ?=?????? 的正交三角分解UR A =，其中U 是次酉矩阵，R 是正线上三角矩阵. 四、（10分）设13021i i A i i ??= ?---??24 C ?∈，计算12, , , F A A A A ∞. （这里12-=i ）. 2 五、（共28分，每题7分）证明题： （1）设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反Hermite 矩阵，证明：AB 的特征值的实部为0. （2）设A 为正规矩阵，证明：)(2A A ρ=. 这里)(A ρ为A 的谱半径. （3）设n n C B ?∈且1 第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将 来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ； 长 春 理 工 大 学 研 究 生 期 末 考 试 试 题 科目名称： 矩 阵 论 命题人：姜志侠 适用专业： 理 工 科 审核人： 开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期 □开卷 √闭卷 一、(10分)F 为数域，对于线性空间22?F 中任意矩阵??? ? ??=d c b a A ，规则σ，τ分别为??? ? ??=???? ??=c a A c b a A )(,0)(τσ，问σ，τ是否为22?F 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基???? ??=000111E ，???? ??=001012E ，???? ??=010021E ，??? ? ??=100022E 下的矩阵． 二、(10分) 已知正规矩阵??? ? ??-=1111A ，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角形矩阵。三、(10分) 用Schmidt 正交化方法求矩阵???? ? ??=101011110A 的QR 分解. 四、(10分) 设矩阵?????? ? ? ?-=2000120010201012A ,求A 的行列式因子,不变因子,初等因子组， Jordan 标准形。 五、(10分) 求可对角化矩阵460350361A ?? ?=-- ? ?--?? 的谱分解式. 六、(10分) 在线性空间n m C ?中，对任意矩阵n m ij a A ?=)(，定义函数ij j i a mn A ,max ?=，证明此函数是矩阵范数。 七、(10分) 已知函数矩阵 ???? ??????=32010cos sin )(x x e x x x x A x ， 其中0≠x ，试求)(lim 0x A x →，dx x dA )(，2 2)(dx x A d ，dx x dA )(. 八、(10分)已知矩阵?? ????--=1244916A ，写出矩阵函数)(A f 的Lagrange-Sylvester 内插多项式表示，并计算A πcos . . 矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。 第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组 1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题 20XX 年南京理工大学硕士研究生 《矩阵分析与计算》考试（A 卷）参考答案 注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效 一、（12分）设矩阵0.60.50.10.3A ??=????，计算21,,F A A A A ∞。 解：10.8, 1.1,F A A A ∞=== …………. 9 分 0.370.330.330.34T A A ??=???? m a x ()0.6853T A A λ≈， …………. 2 分 从而20.8278A == …………. 1 分 二、（15分）求矩阵141130001A -????=--?????? 的初等因子及Jordan 标准形。 解：初等因子 21,(1)λλ-+ …………. 10 分 Jordan 矩阵1111J ????=-????-?? …………. 5 分 三、（20分）已知1011011,11121A b ????????==???????????? （1）求A 的满秩分解；（2）求A +；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解；（4）求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解． 解：（1）101010101111A FG ??????==?????????? …………. 6 分 (2) 54114519112A +-????=-?????? …………. 6 分 (3) []21123 T b A b A += ≠,方程组无解； …………. 4 分 （4）极小范数最小二乘解为[]021129 T b x A +== …………. 4 分 四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明205141011210A i ????=?????? 有三互异特征值。 解：取(1,1,3)D diag =，则1B DAD -=的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值. ………….10 分 五、（10分）用LU 分解求解方程组 1234102040101312431301035x x x x ??????????????????=???????????????? ?? 解: 1020110200101011011243121210 10301012??????????????????=?????????????????? …………. 5 分 求解得到(2,2,1,1)T x = …………. 5分 六、（10分）利用幂法计算矩阵 1319????-?? 的按模最大特征值及对应特征向量。（取初始向量(1,1)T ,结果保留4位有效数字） 解: max 8.6055λ≈, 特征向量(0.3945,1)T ………… 10分矩阵分析期末考试
北京理工大学2017级硕士研究生矩阵分析考试题
《矩阵分析》考试题A 2016
研究生矩阵试题B2
矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
2009矩阵分析试题(A卷)
矩阵分析模拟试题及答案
矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
英文版矩阵分析考试要点
北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)
矩阵论试题
矩阵分析试题中北大学33
矩阵分析期末考试2012
北京交通大学研究生课程矩阵分析期末考试2011-12-16
2016矩阵论试题A20170109 (1)
#研究生矩阵论第1讲 线性空间
2014年矩阵论试题A
矩阵论知识点
南京理工大学硕士研究生矩阵分析与计算试题答案