区域覆盖问题

圆覆盖矩形区域问题

给定一个N M ?的矩形区域，现用半径为r 的圆对其进行完全覆盖，要求相邻两个圆相交的公共面积不小于一个圆面积的%k ，则应如何覆盖可使得完全覆盖整个图形时所用圆的个数最少（注：如果一个圆只有部分在图形中，也按一个计算）？

例如，设1000==N M 、100=r ，则当5=k 和18=k 时，

结果如何？是否有一般性结论？ 摘要：

本文利用了分类讨论思想方法，对如何合理地用圆对矩形区域进行覆盖的问题进行了有效的分类讨论, 使得对矩形区域进行完全覆盖所用圆的个数最少。其次，利用了由一般及特殊的方法，先得出一般结果，从而归纳分类总结出一般规律，进而得出结论。再次，对于这一问题， 采用了先铺圆再放矩形的方式。最后，将矩形进行了一系列平移，发现当矩形的一些边与圆与圆的相交弦重合时最优；而对于圆的放置，首先选择了放置相交面积相等的圆，从而又发现，对于中间每个圆的所有弦形成的多边形恰为正多边形。最后，由相交圆的面积满足不小于k%可以找到相应的多边形对应的边数。 关键词：矩形区域 圆 覆盖

1、问题重述:

给定一个MxN的矩形区域，现用半径为r的圆对其进行完全覆盖，要求相邻两个圆相交的公共面积不小于一个圆面积的k%。

1、怎应如何覆盖可使得完全覆盖整个图形时所用圆的个数最少（注：如果一个圆只有部分在图形中，也按一个计算）？

2、设M=N=1000，r=1 00，则当k=5和k=18时，结果如何？

3、是否有一般性结论？

2，模型的假设与符号说明:

1.模型假设：

1.圆与圆的相交面积相同（即相交弦长相等）

2.当圆部分在矩形区域中时，仍算一个圆

3.圆环系中的弦与矩形的某些边时重合的，若不重合我们也可以经过简单的平移，使得矩形的某些边与弦线重合

2.符号：

3.模型的建立与求解

1，圆的弦所对应的圆心角

n πθ2=

2，弦与圆心角关系

r l θ=

3，扇形面积

S

扇lr 2

1= 4，三角形面积

S 三角θSin r 2

21=

5，相交面积

S 相交2%r k π≥

6，对于相交面积的关系

S 扇—S

三角=2

1S 相交

将以上式子整理即可得到：

22%2

1

221221r k n Sin r r r n πππ?≥?-??? 即： ππ

π?≥-%22k n

Sin n

而对于一个相当大的矩形区域我们对其划分，将其划分为很多个正多边形。则这些正多边形应该具有刚好不重合地覆盖完整个矩形区域（对于边界上的正多边形我们可不做要求刚好覆盖）。 而对于正多边形的边数我们发现：