质因数分解及个数定理的正反应用

质因数个数定理的正反应用

一、知识点：

1、约数（又称因数）和倍数

1）、如果数a能被数b整除, a就叫b的倍数, b就叫a的约数（因数），如

10=2x5，则2和5都是10的因数，10是2的倍数，也是5的倍数；

16=2x8=1x16=4x4，则1、2、4、8、16都是16的因数（约数），反过来16是1、2、4、8、16的倍数

2）、一个数的约数（因数）的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.

3）、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的是它本身,它没有最大的倍数.

注意：因数总是成对出现，在枚举因数的时候一定要成对枚举，不要有遗漏；

2、如果一个数c既是数a的因数，又是数b的因数，那么c叫做a与b的公因数。如两个数的公因数有多个，其中中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。

用（ a，b）表示，例如：（1，2）=1

最大公因数的性质：两个数的任意公因数，都是最大公因数的因数，也是这两个数和、差、积的因数；

举例：12和30的最大公因数：（12,30）=6；

比如：16=1x16=2x8=4x4； 24=1x24=2x12=3x8=4x6；

那么1、2、4、8既是16的约数也是24的约数，其中8是16、24的最大公约数（公因数），（16，24）=8

16=1x16=2x8=4x4； 24=1x24=2x12=3x8=4x6； 56=1x56=2x28=4x14=7x8

则1、2、4、8既是16的约数也是24、56的约数，其中8是16、24、56的最大公约数（公因数），（16，24，56）=8

3、两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数。

两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数，都是最小公倍数的倍数；

注意：0要除外，0不能为最小公倍数

例如：2x1=2，2x2=4，2x3=6，2x4=8，2x5=10，2x10=20

5x1=5，5x2=10，5x3=15，5x4=20

10、20都是2的倍数，也是5的倍数，因此10、20称为2、5的公倍数，其中10最小，因此10是2和5的最小公倍数，记为[2，5]=10

4、如果一个数a只有1和a两个因数；另外一个数b只有1和b两个因数，则a、b 为互质数，如：5和13， 5=1x5；13=1x13，则5和13为互质数

5、特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数.

（1）如果几个数中,较大数是较小数的倍数,较小数是较大数的约数,则较大数是它们的最小公倍数,较小数是它们的最大公约数.

若A是B的倍数，则(A,B)=B，[A,B]=A；

（2）如果几个数两两互质,则它们的最大公约数是1,最小公倍数是这几个数连乘的积.若A、B互质，则(A,B)=1，[A,B] =Ax B；

6、质数和合数

1）、一个数只有1和它本身两个约数,这个数叫做质数（素数），例如5=1x5.

2）、一个数除了1和它本身外,还有别的约数,这个数叫做合数，例如 10=1x10=2x5 3）、1既不是质数,也不是合数.

4）、自然数按约数的个数可分为：质数、合数

5）、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数

7、互质的概念：

1）、互质：如果两个数最大公因数为1，则称这两个数互质；

2）、两数互质的几种常见情况：①连续自然数；②连续奇数；③两个质数……

举例：5和7互质；10和9互质；

8、最大公约数求法

枚举法

枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,30。

24的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24。

易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。

短除法

短除符号就像一个倒过来的除号，短除法就是先写出要求最大公因数的两个数A、B，再画一个短除号，接着在原本写除数的位置写两个数公有的质因数Z（通常从最小的质数开始），然后在短除号的下方写出这两个数被Z整除的商a，b，对a，b重复以上步骤，以此类推，直到最后的商互质为止，再把所有的除数相乘，其积即为A，B的最大公因数。

（短除法同样适用于求最小公倍数，只需将其所有除数与最后所得的商相乘即可）例：求12和18的最大公约数。

解：用短除法，由上图，易得12和18的最大公约数为2×3=6。

分解质因数

将需要求最大公因数的两个数A，B分别分解质因数，再从中找出A、B公有的质因数，把这些公有的质因数相乘，即得A、B的最大公约数。

例：求48和36的最大公因数。

把48和36分别分解质因数：

48=2×2×2×2×3

36=2×2×3×3

其中48和36公有的质因数有2、2、3，所以48和36的最大公因数是 2×2×3=12。辗转相除法

（欧几里得算法）对要求最大公因数的两个数a、b，设b

b=q……r1 (0≤r1

r1=q……r2 (0≤r2

例：求8251和6105的最大公因数。

考虑用较大数除以较小数，求得商和余数：

8251÷6105=1 (2146)

6105÷2146=2 (1813)

2146÷1813=1 (333)

1813÷333=5 (148)

333÷148=2 (37)

148÷37=4

最后除数37是148和37的最大公因数，也就是8251与6105的最大公因数。

更相减损术

更相减损术出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。其原文为：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言就是

第一步：任意给定两个正整数a、b；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。这个数就是a、b的最大公约数。例：求98与63的最大公因数。

分析：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数为7。

注：以上首三个方法同样适用于求多个自然数的最大公约数

约数（因数）个数定理

对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=(p1)(a1)x (p2)(a2)x (p3)(a3)x (x)

(pk)(ak)。

则n的正约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)

其中a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3，… pk的指数。

定理简证

首先同上，n可以分解质因数：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3x…xpk^ak,

由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1，共（a1+1）个;同理p2^a2的约数有（a2+1）个......pk^ak的约数有（ak+1）个。

故根据乘法原理：n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。

例题：正整数378000共有多少个正约数？

解：将378000分解质因数378000=2^4×3^3×5^3×7^1

由约数个数定理可知378000共有正约数(4+1)×(3+1)×(3+1)×(1+1)=160个。

9、最小公倍数计算方法

（1）分解质因数法

先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

比如求45和30的最小公倍数。

45=3*3*5

30=2*3*5

不同的质因数是2,5,3是他们两者都有的质因数，由于45有两个3，30只有一个3，所以计算最小公倍数的时候乘两个3.

最小公倍数等于2*3*3*5=90

又如计算36和270的最小公倍数

36=2*2*3*3

270=2*3*3*3*5

不同的质因数是5。2这个质因数在36中比较多，为两个，所以乘两次；3这个质因数在270个比较多，为三个，所以乘三次。

最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540

20和40的最小公倍数是40

（2）公式法

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。

例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。

10、奇数和偶数的运算性质：

1、相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数.

2、奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数,

奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数-偶数=偶数；奇数×奇数=奇数,

奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数.

11、常用质数：

最小两位数质数：11，最大两位数质数：97

最小两位数质数：101，最大两位数质数：997

最小两位数质数：1009，最大两位数质数：9973

易混淆的合数：

1001=7x11x13

1003=17x59

1007=19x53

403=13x31

二、模块一：因数个数定理

例1：①将8分解质因数，并枚举8的所有因数，8共有多少个因数?

②将1 2分解质因数，1 2共有多少个因数？

③将6 0分解质因数，6 0共有多少个因数？

解题思路:要求因数的个数，需要先分解质因数，然后利用指数和因数个数的关系进行求解，因数的个数等于各个质因数的指数+1，然后相乘

解：

1）8=23，因数4个因数

2）12=2x2x3=22x3，因数有（2+1）x (1+1) =6，共6个因数

3）60=1x60=2x2x3x5=22x3x5，因数有（2+1）x (1+1) x(1+1) =12，共12个因数

例2：①将3 6分解质因数，3 6共有多少个因数？其中奇因数有多少个？偶因数有多少个?

②9 0有多少个因数？其中偶因数有多少个?

解题思路分析:根据因数个数定理先分解质因数，然后求因数个数，再根据奇偶性来判断哪些为奇数、哪些为偶数；偶数x偶数=偶数，奇数x偶数=偶数，奇数x奇数=奇数，因此只需要知道质因数为奇数的指数，然后根据（指数+1）相乘就可以计算奇数因数的数量，然后计算偶数数量

解：1）36=2x2x3x3=22x32，因数有（2+1）x (2+1) =9，共9个，奇数：（2+1）=3个，偶数：（9-3）= 6个

2）90=2x3x3x5=2x32x5，因数个数：(1+1）x (2+1) x(1+1) =12，

奇数：（2+1）x（1+1）=6个

偶数：12-6=6个

练一练

120有多少个因数？其中偶因数有多少个？

解题思路分析:根据因数个数定理先分解质因数，然后求因数个数，再根据奇偶性来判断哪些为奇数、哪些为偶数；偶数x偶数=偶数，奇数x偶数=偶数，奇数x奇数=奇数，因此只需要知道质因数为奇数的指数，然后根据（指数+1）相乘就可以计算奇数因数的数量，然后计算偶数数量

解：1）120=2x2x2x3x5 = 23x3x5因数个数：(3+1）x (1+1) x(1+1) =16个，奇数个数：（1+1）x (1+1) =4个，偶数：16-4=12个

三、模块二：因数个数定理逆应用

例 3：①—个自然数有5个因数，这个数最小是多少？

②一个自然数有4个因数，这个数最小是多少？

③一个自然数有8个因数，这个数最小是多少？

解题思路分析:1）5=1x5，因此这个数只能是一个质数的4次方，要最小，这个数为24=16

2）4=2x2，因此这个数可能是a3或者 axb，需要分别计算它们的最小数，再比较

3）8=1x8=2x4=2x2x2，因此这个数可能是于a7或者 axb3或者axbxc，需要分别计算它们的最小值进行比较

解：1）5=1x5，最小的包含5个因数的数为2（5-1）=16

2）4=2x2=1x4

2（4-1）=8

2x3=6

最小为6

3）8=1x8=2x4=2x2x2，这个数可能为a7或者 axb3或者axbxc

2（8-1）=128

23x3=72

2x3x5=30

最小的包含8个因数的数为30

练一练

一个自然数有1 2个因数，这个数最小是多少？

解题思路分析:12=1x12=3x4=2x6=2x3x2，因此这个数可能是于a11或者a2xb3或者 axb5或者axb2xc，需要分别计算它们的最小值进行比较解：12=1x12=3x4=2x6=2x3x2

2（12-1）= 211= 2048；

32x23= 72；22x33= 108；25x3= 96；35x2〉25x3

22x3x5=60；

最小数为60

例4：某个自然数是3 6的倍数，并且恰好有15个因数，那么这个自然数最小是多少？

解题思路分析:根据自然数是36的倍数，因此先考虑36分解为质因数，看看有多少个不是2的因数，然后计算质因数为2的数量，，这样就可以求出最小数

解：36=2x2x3x3 = 22x32

15=5x3，因此这个数可能是a4x b2或者a2x b4，

24x 32 = 144；22x 34= 324

最小数为144

答：这个自然数最小为144

四、巩固

1.①将1 6分解质因数，1 6共有多少个因数？

②将4 5分解质因数，4 5共有多少个因数？

解题思路分析:根据因数个数定理先分解质因数，然后求因数个数，

解：1）16=2x2x2x2=24

因数个数为：4+1=5

2）45=3x3x5=32 x5

因数个数为：（2+1） X（1+1）=6

2. 100有多少个因数？其中偶因数有多少个？

解题思路分析:根据因数个数定理先分解质因数，然后求因数个数，再根据奇偶性来判断哪些为奇数、哪些为偶数；偶数x偶数=偶数，奇数x偶数=偶数，奇数x奇数=奇数，因此只需要知道质因数为奇数的指数，然后根据（指数+1）相乘就可以计算奇数因数的数量，然后计算偶数数量

解：100= 2x2x5x5=22x52

因数个数：（2+1）x（2+1）=9

奇数个数：2+1=3

偶数个数：9-3=6

3.一个自然数有9个因数，这个数最小是多少？

解题思路分析: 9=3x3，因此这个数只能是a8或者a2xb2，然后计算它们的最小值进行比较

解：2（9-1）= 28= 256

22x32= 36

最小为36

4.某个自然数是7 2的倍数，并且恰好有18个因数，那么这个自然数最小是多少？

解题思路分析:18=2x3x3，因此这个数可能是a17或者a x b8或者a5x b2，或者axb2xc2，根据自然数是72的倍数，因此先考虑72分解为质因数，先看72包含哪些质数，然后分别计算最小值，再比较

解：72=2x2x2x3x3 = 23x32

a5x b2最小为：25x32= 32 x 9 =288

答：这个自然数最小为288

五、复习巩固

1.两个直角三角形如图拼成一个四边形，a的长度为-

解题思路分析:观察发现，图形为两个直角三角形，可以考虑使用勾股定理计算

解：132-122= 52

52-42= a2

a= 3

2．艾迪、大宽、薇儿给地主做长工.已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2，大宽和薇儿一个月的工资之比为3 : 4地主每个月给他们一共51元的工资，艾迪、大宽、薇儿的工资分别为（9）元、（ 18）元、（24）元.

解题分析：可以考虑化连比，然后计算

解：艾迪：大宽=1：2

大宽：薇儿=3：4

艾迪：大宽：薇儿=3：6：8

总份数：3+6+8=17

艾迪：51÷17x3= 9元

大宽：51÷17x6= 18元

薇儿：51÷17x8= 24元

3.计算： + + + + +

解题思路分析:使用加法结合律进行计算

解：原式 = + + + + +

= 3

六、练习册

1.☆☆①将24分解质因数，24共有多少个因数？

②将180分解质因数，180共有多少个因数？

③a3x b2x c4一共有多少个因数？（a、b、c均为不同的质数)

分析：根据因数个数定理计算，先分解质因数

解：1）24= 2x2x2x3= 23x3，因数个数：（3+1）x 2 =8个

2）180= 2x2x3x3x5= 23x32x5，因数个数：(3+1)x(2+1)x(1+1) =24个3）因数个数：(3+1)x(2+1)x(4+1) =60个

2.☆☆96有多少个因数？其中偶因数有多少个？奇因数有多少个?

分析：分解质因数再求解

解：

3.☆☆22x24有多少个因数？其中奇因数有多少个？偶因数有多少个？

分析：分解质因数再求解

解：

4.☆☆①一个自然数有7个因数，这个数最小是多少？

②一个自然数有6个因数，这个数最小是多少？

解题思路分析: 1）有7个因数，，因此当分解质因数后，质因数为2时，这个数最小

2）6 = 2x3，因此这个自然数可能是一个质数的5次方或者一个质数的2次方x 一个质数的，需要分别考虑它们的最小值，然后再比较

解：1）7=1x7，因此为一个质数的6次方，最小为26= 64

2）6=2x3，因此自然数可能为a5或者axb2

25=32；3x22= 12

最小数为12

5.☆☆☆某个自然数是72的倍数，并且恰好有16个因数，那么这个自然数最小是多少？

解题思路分析:先将72分解质因数，72= 23x32，这个数一定含2、3这两个质因数，同时16=1x16=2x8=4x4=2x2x4，由于次方数必须有两个大于2，因此16=4x4，然后计算最小值

解：72= 23x32一定含2、3这两个质因数

16=1x16=2x8=4x4=2x2x4=2x2x2x2

由于是72的倍数，因此为a3xb3

最小为23x33= 216

答：这个自然数最小是216

6.☆☆☆某个自然数是100的倍数，并且恰好有12个因数，那么这个自然数最小是多少？

解题思路分析:先将100分解质因数，100= 22x52，这个数一定含2、5这两个质因数，同时12=1x12=2x6=3x4=2x2x3，由于次方数必须有两个大于2，因此12=3x4，然后计算最小值

解：100= 22x52

12=1x12=2x6=3x4=2x2x3

这个数一定含2、5这两个质因数，同时次方数必须有两个大于2，因此这个数为a2xb3

23x52=200

这个最小数为200

答：这个最小数为200

7.☆☆☆某个自然数的末四位都是零，并且恰好有63个因数，那么这个自然数最小是多少？

解题思路分析:根据末位4位为0，判断为10000的倍数，分解质因数，10000= 24x54，次方数必须有两个大于4，因此63=7x9，然后计算最小值

解：10000= 24x54，次方数必须有两个大于4，

63=7x9

最小数为28x56=4000000

答：这个自然数最小是4000000

8.☆☆☆能被30整除，且恰有30个不同因数的自然数共有多少个？

解题思路分析: 30 = 2 x 3 x 5，所以这个数必含质因数2、3、5，由于因数个数是3个数连乘，不可能有其他质因数，且这3个数的指数分别为1，2，4．由乘法原理可以计算，共有3 x 2 x1 = 6个数满足要求：

解：30 = 2 x 3 x 5，这个数必含质因数2、3、5，

因数个数30=2 x 3 x 5，所以这个数为a4xb2xc．

由乘法原理可以计算，共有3 x 2 x1 = 6个数满足要求：

2 x 32 x 54 , 2 x 34 x 52 , 22 x 3x 54 , 24 x 3x 52 , 22 x 34 x 5， 24 x 32 x 5答：满足条件的自然数有6个