年上海春季高考数学试题版含答案
年上海春季高考数学试题
版含答案
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2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
一. 填空题(本大题满分048分) 1. 计算:=+-∞→3
42
3lim
n n n .
2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .
3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f .
4. 不等式
01
21>+-x x
的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:2
22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共
点,则r 的取值范围是 .
6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=,则 当),0(∞+∈x 时,=)(x f .
7. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首
尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 8. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为 .
9. 在△ABC 中,已知5,8==AC BC ,三角形面积为12,则=C 2cos .
10. 若向量b a
、的夹角为 150,4,
3==b a ,则=+b a
2 .
11. 已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点,O 为坐标原 点,则三角形OAB 面积的最小值为 .
12. 同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;
反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为:若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21,则 (结论用数学式子表示). 二.选择题(本大题满分016分) 13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )
(A ))1,0(. (B ))0,1(. (C ))2,0(. (D ))0,2(. 14. 若b a c b a >∈,R 、、,则下列不等式成立的是( ) (A )-b
a
11<. (B )22b a >. (C )
1
12
2+>+c b
c a .(D )||||c b c a >. 15. 若R ∈k ,则“3>k ”是“方程13
322
=+--k y k x 表示双曲线”的( )
(A )充分不必要条件. (B )必要不充分条件.
(C )充要条件. (D )既不充分也不必要条件.
16. 若集合1
31,11,2,01A y y x x B y y x x ??????
==-≤≤==-<≤??????????
,则A ∩B 等于( )
(A )]1,(∞-. (B )[]1,1-. (C )?. (D )}1{.
三.解答题(本大题满分086分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中,所成
已知3,41===DD DC DA ,求异面直线B A 1与C B 1角的大小(结果用反三角函数值表示). 18. (本题满分12分) 已知复数w 满足
i (i )23(4w w -=-为虚数单位),|2|5
-+=
w w
z ,求一个以z 为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分. 已知函数??
????∈-??
?
?
?+
=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . (1)若5
4sin =x ,求函数)(x f 的值; (2)求函数)(x f 的值域.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按
顺时针方向)的轨迹方程为125
10022
=+y x ,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物
线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、??
? ??
764,0M 为顶点的抛物线的实线部分,降落
点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方
程;
(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点
B A 、测得离航天器的距离分别为多少时,应
向
航天器发出变轨指令?
21. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
设函数54)(2--=x x x f .
(1)在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像;
(2)设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明;
(3)当2>k 时,求证:在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列3021,,,a a a ,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列;
201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列;302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列(0≠d ).
(1)若4020=a ,求d ;
(2)试写出30a 关于d 的关系式,并求30a 的取值范围;
(3)续写已知数列,使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一.(第1至12题)每一题正确的给4分,否则一律得零分.
1. 43.
2. 2.
3. []8,5),5(31∈-x x .
4. ??
? ??-21,1. 5. )10,0(. 6. 4x x --. 7. 48. 8.
3
16
. 9.
25
7
. 10. 2. 11. 4. 12. )1(2121n m n
a a a m a a a n
m <≤+++≤
+++ 和
.
题 号
13 14 15 16 代 号
B C A B 17. [解法一] 连接D A 1,
D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分 连接BD ,在△DB A 1中,24,511===BD D A B A , ……6分
则D
A B A BD D A B A D BA 112
212112cos ??-+=∠
25
9
552322525=
??-+=
. ……10分 ∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为
25
9
arccos
. ……12分 [解法二] 以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. ……2分 则 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、,
得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=B A . ……6分 设B A 1与C B 1的夹角为θ,
则25
9
cos =
θ, ……10分 ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为25
9
arccos
, 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为25
9
arccos . ……12分 18. [解法一] i 2i
21i
34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w , ……4分 i 3|i |i
25
+=-+-=
∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ,则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=?=+z z z z ,
∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设i
b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+,
得 ???-==-,23,24a b b a ∴ ?
??-==,1,
2b a
i 2-=∴w , ……4分 以下解法同[解法一].
19. [解](1)53cos ,,2,54sin -=∴??
?
???∈=x x x ππ , ……2分
x x x x f cos 2cos 21
sin 232)(-???
?
??+= ……4分 5
3
354+=
. ……8分 (2)??
?
?
?
-
=6sin 2)(πx x f , ……10分 ππ
≤≤x 2
, 656
3
ππ
π
≤
-
≤∴
x , 16sin 21≤??? ?
?
-≤πx ,
∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分
20. [解](1)设曲线方程为7
64
2+
=ax y , 由题意可知,764640+?=a .
7
1
-
=∴a . ……4分 ∴ 曲线方程为7
64
712+-=x y . ……6分
(2)设变轨点为),(y x C ,根据题意可知
??????
?+-==+)
2(,76471)1(,12510022
2x y y x 得
036742=--y y ,
4=y 或4
9
-=y (不合题意,舍去).
4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x (不合题意,舍去). ∴
C 点的坐标为
)4,6(, ……11分
4||,52||==BC AC .
答:当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时,应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解](1) ……4分 (2)方程5)(=x f 的解分别是4
,0,142-和142+,由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减,在]2,1[-和),5[∞+上单调递增,因
此
(][)
∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分
由于A B ?∴->-<+,2142,6142. ……10分
(3)[解法一] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f .
436202422
+--
??
? ??
--=k k k x , ……12分 ∴
>,2k 124<-k
. 又51≤≤-x , ① 当1241<-≤-k ,即62≤ x -= , min )(x g ()[] 64104 1436202 2---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k , 则0)(min >x g . ……14分 ② 当 12 4-<-k ,即6>k 时,取1-=x , min )(x g =02>k . 由 ①、②可知,当2>k 时,0)(>x g ,]5,1[-∈x . 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 [解法二] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f . 由?? ?++-=+=, 54), 3(2 x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x , 令 0)53(4)4(2=---=?k k ,解得 2=k 或18=k , ……12分 在区间]5,1[-上,当2=k 时,)3(2+=x y 的图像与函数)(x f 的图像只交于一点 )8,1(; 当18=k 时,)3(18+=x y 的图像与函数)(x f 的图像没有交点. ……14分 如图可知,由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时,直线)3(+=x k y 是由直线 )3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图 像位于函数)(x f 图像的上方. ……16分 22. [解](1)3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分 (2)())0(11010222030≠++=+=d d d d a a , …… 8分 ??? ?????+??? ??+=4321102 30 d a , 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时,[)307.5,a ∈+∞. …… 12分 (3)所给数列可推广为无穷数列{}n a ,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列,当1≥n 时,数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是:试写出)1(10+n a 关于d 的关系式,并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是:由()323304011010d d d d a a +++=+=, 依次类推可得 () ??? ??=+≠--?=+++=++.1), 1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n 当0>d 时,)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分