2019年浙江绍兴中考数学试题含详解

2019年浙江省绍兴市中考数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，合计40分．{题目}1．（2019?绍兴T1）－5的绝对值是

A.5

B.－5

C.1

5

D.－

1

5

{答案}A

{}本题考查了绝对值的意义，根据负数的绝对值等于它的相反数，得|－5|＝5．因此本题选A．{分值}4

{章节:[1-1-2-4]绝对值}

{考点:绝对值的意义}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019?绍兴T2）某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126 000 000元，其中数字126 000 000元用科学记数法可表示为（）

A．12.6×107B．1.26×108C．1.26×109D．0.126×1010

{答案} B

{}本题考查了科学记数法的表示方法，126000000=1.26×100000000=1.26×108，因此本题选B．{分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019?绍兴T3）如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）

A．B．

C．D．

{答案}A

{}本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:简单组合体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019?绍兴T4）为了解某地区九年级男生的身体情况，随机抽取了该地区100名九

年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：

组别（cm）x＜160160≤x＜170170≤x＜180x≥180

人数5384215

根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.85B．0.57C．0.42D．0.15

{答案}D

{}本题考查了利用频率估计概率，先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．样本中身高不低于180cm的频率＝

15

100

＝0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-25-3]用频率估计概率}

{考点:利用频率估计概率}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019?绍兴T5）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）

A．5°B．10°C．30°D．70°

{答案} B

{}本题考查了三角形内角和定理和对顶角的性质，设a，b所在直线所夹的锐角是∠α，由对顶角相等，得到∠3＝∠2＝100°，再根据∠α＋∠1＋∠3＝180°，求得∠α＝180°－70°－100°＝10°，因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}

{考点:三角形内角和定理}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}6．（2019?绍兴T6）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）

α

3

A . －1

B . 0

C . 3

D . 4

{答案}C

{}本题考查了用待定系数法求一次函数式；设经过（1，4），（2，7）两点的直线式为y ＝kx ＋b ，∴???4＝k ＋b ，7＝2k ＋b .∴???k ＝3，b ＝1，∴y ＝3x ＋1，将点（a ，10）代入式，则a ＝3；因此本题选C ． {分值}4

{章节:[1-19-2-2]一次函数}

{考点:待定系数法求一次函数的式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}7．（2019?绍兴T7）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物

线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是（ ） A .向左平移2个单位 B .向右平移2个单位 C .向左平移8个单位 D .向右平移8个单位

{答案}4

{}本题考查了二次函数图象与几何变换，y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2

－16，顶点坐标是(－1，－

16)；y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2

－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，因此本题选B ． {分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:二次函数图象的平移} {类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}8．（2019?绍兴T8）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°，若BC ＝22，则

⌒

BC 的长为（ ）

A .π

B . 2π

C .2π

D . 22π

{答案}A

{}本题考查了弧长的计算和圆周角定理，如图，连接OB 、OC ，由三角形内角和定理，求得∠A ＝

180°－∠B －∠C ＝180°－65°－70°＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×45°＝90°，∴OB ＝BC

2

＝

222

＝2，∴⌒

BC 的长90×π×2180＝π，因此本题选A ．

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:圆周角定理} {考点:弧长的计算}

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019?绍兴T9）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边

FG 过点D ．在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（ ） A ．先变大后变小 B ．先变小后变大 C ．一直变大 D ．保持不变

{答案} D

{}本题考查了相似三角形的性质，由题意，得∠BCD ＝∠ECF ＝90°，∴∠BCE ＝∠DCF ，又∵∠

CBE ＝∠CFD ＝90°，∴△CBE ∽△CFD ，∴CE CD ＝CB

CF ，∴CE ?CF ＝CB ?CD ，即矩形ECFG 的面积＝正方形ABCD 的面积，因此本题选D ． {分值}4

{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019?绍兴T10）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，

里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ） A .245

B .325

C .1234

17

D .2034

17

{答案} A

{}本题考查了勾股定理的应用，解决此题的突破点在于根据题意得到关系式：长方体中水的容积＝倾斜后底面积为ADCB 的四棱柱的体积，列方程，得到DE 的长，

如图，设DE ＝x ，则AD ＝8－x

，1

2(8－x ＋8)×3×3＝3×3×6，解得x ＝4．∴DE ＝4．

在Rt △DEC 中，CD ＝DE 2

＋EC 2

＝42

＋32

＝5，

过点C 作CH ⊥BF 于点H ，则由△CBH ∽△CDE ，得到CH CE ＝CB CD ，即CH 3＝8

5，∴CH ＝245

，因此本题选

A ． {分值}4

{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例} {考点:勾股定理的应用} {考点:相似三角形的应用} {考点:几何选择压轴}

{类别:思想方法}{类别:高度原创} {难度:3-中等难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，合计30分．

{题目}11．（2019?绍兴T11）因式分解：x 2

－1＝ .

{答案}(x +1)(x -1)

{}本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，有x 2-1＝x 2-12＝(x +1)(x -1). {分值}5

{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}12．（2019?绍兴T12）不等式3x －2≥4的解为 . {答案} x ≥2.

{}本题考查了解一元一次不等式，先移项得，3x ≥4＋2，再合并同类项得，3x ≥6，把x 的系数化为1得，x ≥2． {分值}5

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式}

E

D C B

A

H

F

{类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}13．（2019?绍兴T13）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母m 所表示的数是 .

{答案}4

{}本题考查了幻方的特点，数的对称性是解题的关键．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15－2－5＝8，∴m ＝15－8－3＝4． {分值}5

{章节:[1-1-3-1]有理数的加法} {考点:有理数加法的实际应用} {类别:数学文化} {难度:2-简单}

{题目}14．（2019?绍兴T14）如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，∠PAD ＝30°，以点B

为圆心，AB 为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则∠ADE 的度数为 .

{答案}45°或15°.

{}本题考查了以正方形为背景的角度计算，正确画出图形是解题的关键．如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵∠PAD ＝30°，∴∠BAM ＝60°，又∵BA ＝BM ，∴△ABM 是等边三角形．当点E 在直线PA 的上方时，点E 与点B 重合，显然∠ADE ＝∠ADB ＝45°；当点E 在直线PA 的下方时，∠BDE ＝180°－∠BME ＝180°－2×60°＝60°，∴∠ADE ＝∠BDE －∠ADB ＝60°－45°＝15°，因此答案为45°或15°．

{分值

}5

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:等边三角形的判定} {考点:正方形的性质} {考点:几何综合} {类别:发现探究} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}

{题目}15．（2019?绍兴T15）如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 都在曲线y ＝k

x （常数k ＞0，x ＞0）上，若顶点D 的坐标为（5，3），则直线BD 的函数表达式是 .

{答案}y ＝35

x .

{}本题考查了反比例函数中几何图形问题，设C (5，k 5)，A (k 3，3)，则A (k 3，k

5

)；设直线BD 的函数表达

式为y ＝ax ＋b ，则?????k 3a ＋b ＝k 5，5a ＋b ＝3，

解得?????a ＝35，b ＝0， 因此直线BD 的函数表达式是y ＝3

5x ．

{分值}5

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:矩形的性质}

{考点:待定系数法求一次函数的式} {考点:双曲线与几何图形的综合} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}16．（2019?绍兴T16）把边长为2的正方形纸片ABCD 分割成如图的四块，其中点O 为正

方形的中心，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ 的周长是 ．

{答案}10或6＋22或8＋22．

{}本题考查了图形的剪拼，抓住图形的特征是解题的关键，如下图，共有3种周长不同的拼法，拼成的

四边形的周长分别为10或6＋22或8＋22．

E

{分值}5

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:勾股定理的应用} {考点:图形的剪拼} {考点:几何填空压轴} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计80分．

{题目}17．（2019?绍兴T17（1））（1）计算：4sin 60°＋(π－2)0

－(－12

)－2－12.

{}本题考查了实数的运算，根据实数运算法则直接解答．

{答案}解：原式＝4×3

2

＋1－4－23＝－3.

{分值}4

{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:正弦}

{考点:简单的实数运算}

{题目}17．（2019?绍兴T17（2））（2）x 为何值时，两个代数式x 2

＋1，4x ＋1的值相等？ {}本题考查了一元二次方程的解法，由题意得到x 2

＋1＝4x ＋1，利用因式分解法解方程即可．

{答案}解：由题意，得x 2＋1＝4x ＋1，x 2

－4x ＝0，x (x －4)＝0，x 1＝0，x 2＝4． {分值}4

{章节:[1-21-2-3] 因式分解法} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:解一元二次方程－因式分解法}

{题目}18．（2019?绍兴T18）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y （千瓦时）关于已行驶路程x （千米）的函数图象．

（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x ≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．

（2）当150≤x ≤200时，求y 关于x 的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．

{}本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；（2）运用待定系数法求出y 关于x 的函数表达式，再把x ＝180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量． {答案}解： （1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．

1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：150

60－35

＝6千米；

（2）设y ＝kx ＋b （k ≠0），把点(150，35)，(200，10)代入， 得???150k ＋b ＝35，200k ＋b ＝10，∴???k ＝－0.5，b ＝100，

∴y ＝－0.5x ＋110． 当x ＝180时，y ＝－0.5×180＋110＝20．

答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝－0.5x ＋110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时． {分值}8

{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案} {难度:2-简单} {类别:常考题}

{考点:待定系数法求一次函数的式} {考点:分段函数的应用}

{题目}19．（2019?绍兴T19）小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束市进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图：

根据图中信息，解答下列问题：

（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？

（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法. {}本题考查了条形统计图、折线统计图、算术平均数，抓住图中信息是解题的关键．（1）根据图中的信息可以求得这5期的集训共有多少天和小聪5次测试的平均成绩；（2）根据图中的信息和题意，说明自己的观点即可，本题答案不唯一，只要合理即可．

{答案}解：（1）这5期的集训共有：5＋7＋10＋14＋20＝56（天），

小聪这5次测试的平均成绩是：（11.88＋11.76＋11.61＋11.53＋11.62）÷5＝11.68（秒），

答：这5期的集训共有56天，小聪5次测试的平均成绩是11.68秒；

（2）一类：结合已知的两个统计图的信息及体育运动实际，如：集训时间不是越多越好，集

训时间过长，可能会造成劳累，导致成绩下滑．

二类：结合已知的两个统计图的信息，如：集训时间为10天或14天时，成绩最好．

三类：根据已知的两个统计图中的其中一个统计图的信息，如：集训时间每期都增加．

{分值}8

{章节:[1-20-1-1]平均数}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}

{考点:条形统计图}

{考点:折线统计图}

{考点:算术平均数}

{题目}20．（2019?绍兴T20）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均

为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．

（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高

度DE．

（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？

（精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

{}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．

（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H，则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF－DE即可解决问题．

{答案}解：（1）如图2中，作BO⊥DE，垂足为O．

∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，

∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，

∴OD＝BD?sin60°＝40?sin60°＝203（cm），

∴DF＝OD＋OE＝OD＋AB＝203＋5≈39.6（cm）．

（2）下降了．

如图3，过点D作DF⊥l于F，过点C作CP⊥DF于P，过点B作BG⊥DF于G，过点C作CH⊥BG 于H．则四边形PCHG是矩形，

∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，

又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，

∴CH＝BC sin60°＝103（cm），DP＝CD sin45°＝102（cm），

∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝102＋10＋5（cm），

∴下降高度：DE－DF＝203＋5－102－103－5＝103－102≈3.2（cm）．

{分值}8

{章节:[1-28-2-1]特殊角}

{难度:3-中等难度}

{类别:高度原创}{类别:常考题}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{题目}21．（2019?绍兴T21）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．

（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．

（2）以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长

小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答．

{}本题考查了切线的性质及应用，添加过切点的半径是常用辅助线．（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD＝90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，然后计算OA+OD即可；

（2）添加∠DCB＝30°，求AC的长，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠A＝∠DCB＝30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长；本题答案不唯一．

{答案}解：（1）连接OC，如图，

∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，

∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2，

∴AD ＝AO +OD ＝1+2＝3； （2）本题答案不唯一，如： 添加∠DCB ＝30°，求AC 的长． 解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°， ∵∠ACO +∠OCB ＝90°，∠OCB +∠DCB ＝90°， ∴∠ACO ＝∠DCB ， ∵∠ACO ＝∠A ， ∴∠A ＝∠DCB ＝30°，

在Rt △ACB 中，BC ＝1

2AB ＝1， ∴AC ＝3BC ＝3．

{分值}10

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:圆周角定理} {考点:切线的性质}

{题目}22．（2019?绍兴T22）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

{}本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，得出S 1＝AB ?BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE ，过点E 作EF ∥AB 交CD 于F ，FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥FG 于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，证出△CHF 为等腰三角形，得出AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ，求出BG ＝CH ＝FH ＝FG －HG ＝1，AG ＝AB －BG ＝5，得出S 2＝AE ?AG ＝6×5＝30；（2）在CD 上取点F ，过点F 作FM ⊥AB 于M ，FN ⊥AE 于N ，过点C 作CG ⊥FM 于G ，则四边形ANFM 为矩形，四边形BCGM 为矩形，证出△CGF 为等腰三角形，得出MG ＝BC ＝5，BM ＝CG ，FG ＝DG ，设AM ＝x ，则BM ＝6－x ，FM ＝GM +FG ＝GM +CG ＝BC +BM ＝11－x ，得出S ＝AM ×FM ＝x (1－x )－x 2+11x ，由二次函数的性质即可得出结果．

{答案}解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示： 过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB ?BC ＝6×5＝30； ②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，

则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，

∵∠C＝135°，∴∠FCH＝45°，

∴△CHF为等腰直角三角形，

∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH，

∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝6－5＝1，

∴AG＝AB－BG＝6－1＝5，

∴S2＝AE?AG＝6×5＝30；

（2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，

则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，

∵∠C＝135°，

∴∠FCG＝45°，

∴△CGF为等腰直角三角形，

∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝DG，

设AM＝x，则BM＝6－x，

∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11－x，

∴S＝AM×FM＝x(11－x)＝－x2+11x＝－(x－5.5)2+30.25，

∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．

{分值}12

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}

{难度:3-中等难度}

{类别:高度原创}

{考点:矩形的性质}

{考点:与平行四边形有关的面积问题}

{考点:二次函数与平行四边形综合}

{题目}23．（2019?绍兴T23）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底

边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM

＝10．

（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

{}本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质

等知识．

（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2

＝AD2－DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2＋DM2，计算即可．

（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．

{答案}解：（1）①AM＝AD＋DM＝40，或AM＝AD－DM＝20．

②显然∠MAD不能为直角．

当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，

∴AM＝202或（AM＝－202舍去）．

当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，

∴AM＝1010或（AM＝－1010舍去）．

综上所述，满足条件的AM的值为202或1010．

（2）如图2中，连接CD1．

由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝302，

∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝CD22＋D1D22＝306，

∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，

∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

又∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝306．

{分值}12

{章节:[1-17-1]勾股定理}

{难度:4-较高难度}

{类别:发现探究}

{考点:勾股定理}

{考点:全等三角形的判定SAS}

{考点:几何综合}

{题目}24．（2019?绍兴T24）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，

点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k ＝MN ∶EF ． （1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．

（2）若a ：b 的值为1

2

，求k 的最大值和最小值． （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE ＝60°，MP ＝EF ＝3PE 时，求a ∶b 的值．

{}本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，是一道几何综合题．（1）作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ．证明△FHE ≌△MQN （ASA ），即可解决问题．

（2）由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最

大值＝5，当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为25

5

．

（3）连接FN ，ME ．由k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ，推出MN PM ＝EF PE ＝3，推出PN PM ＝PF

PE

＝2，由△PNF ∽△

PME ，推出NF ME ＝PN

PM

＝2，ME ∥NF ，设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，接下来分两种

情形①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．②如图3中，当点N 与C 重合，分别求解即可．

{答案}解：（1）如图1中，

作EH ⊥BC 于H ，MQ ⊥CD 于Q ，设EF 交MN 于点O ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴FH ＝AB ，MQ ＝BC ， ∵AB ＝CB ，∴EH ＝MQ ， ∵EF ⊥MN ，∴∠EON ＝90°， ∵∠ECN ＝90°，∴∠MNQ +∠CEO ＝180°，∠FEH +∠CEO ＝180°， ∴∠FEH ＝∠MNQ ， ∵∠EHF ＝∠MQN ＝90°，∴△FHE ≌△MQN （ASA ）， ∴MN ＝EF ，∴k ＝MN ∶EF ＝1． （2）∵a ∶b ＝1∶2，∴b ＝2a ，

由题意：2a ≤MN ≤5a ，a ≤EF ≤5a ，

∴当MN 的长取最大时，EF 取最短，此时k 的值最大最大值＝5，

当MN 的最短时，EF 的值取最大，此时k 的值最小，最小值为25

5． （3）连接FN ，ME ．

∵k ＝3，MP ＝EF ＝3PE ， ∴MN PM ＝EF PE ＝3，∴PN PM ＝PF

PE

＝2， ∵∠FPN ＝∠EPM ，∴△PNF ∽△PME ，

∴

NF ME ＝PN

PM

＝2，ME ∥NF ， 设PE ＝2m ，则PF ＝4m ，MP ＝6m ，NP ＝12m ，

①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与B 重合．作FH ⊥BD 于H ．

∵∠MPE ＝∠FPH ＝60°，∴PH ＝2m ，FH ＝23m ，DH ＝10m ，

∴a b ＝AB AD ＝FH

HD ＝35

． ②如图3中，当点N 与C 重合，作EH ⊥MN 于H ．则PH ＝m ，HE ＝3m ，

∴HC ＝PH ＋PC ＝13m ，∴tan ∠HCE ＝MB BC ＝HE

HC ＝313， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB ＝∠FCB ＝∠CFD ， ∵∠B ＝∠D ，∴△MEB ∽△CFD ， ∴CD MB ＝FC ME ＝2，∴a b ＝CD BD ＝2MB BC ＝2313， 综上所述，a ∶b 的值为

35或23

13

． {分值}14

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:5-高难度} {类别:发现探究} {考点:矩形的性质}

{考点:相似三角形的性质} {考点:其他二次函数综合题} {考点:几何综合}