圆周运动-精品教案

匀速圆周运动

一、教学目标

1．理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度．理解角速度和周期的概念，会用它们的公式进行计算．

2．理解线速度、角速度、周期之间的关系：r v ω=

3．理解匀速圆周运动是变速运动．

二、重点难点

重点：描述匀速圆周运动的线速度、角速度、周期以及它们的关系．

难点：对匀速圆周运动的运动性质的正确理解．

三、教与学

教学过程：

在曲线运动中物体沿圆周运动很常见，匀速圆周运动在圆周运动中最简单．它给我们最直接的感知是物体沿圆周均匀地运动且具有重复性．

（一）匀速圆周运动

1．定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫做匀速圆周运动．

2．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动

（1）匀速圆周运动不是匀速运动

做匀速圆周运动的物体尽管它速度大小不变，但它的速度方向每时每刻都在改变．

（2）匀速圆周运动不是匀变速运动

【演示】用细线系一小球，手拉绳的一端，让球在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），小球沿圆周运动，则不同的位置，小球所受的合力（绳拉力与重力的合力）方向肯定不同．表明它的加速度方向每时每刻都在变化．

（二）描述匀速圆周运动的快慢的物理量

如图所示，同一轴上的两质点分别在两同心圆上做匀速圆周运动，一质点从A 经B 到C ，且AB 弧长度与BC 弧长度相等；另一质点在小圆周上从D 经E 到F ，DE 弧长也等于EF 弧长．那么在同一圆周上任意两段相等时间内质点通过的弧长是相等的，而对于不同的圆周上的质点通过的弧长不相等．很显然大圆上的质点走过的弧长更长，这就说明它运动得也更快，我们可以引入线速度这一物理量来描述做匀速圆周运动的质点的运动快慢．

1．运动快慢的描述——线速度v ：在匀速圆周运动中，物体通过的弧长（s ）跟所用时

间（t ）之比叫做匀速圆周运动的线速度t s v =． （1）线速度是矢量：方向为该点圆周的切线方向（如上图的C A v v 、）

（2）线速度是物体做匀速圆周运动的瞬时速度

（3）匀速圆周运动的线速度大小保持不变，而方向一直在变化．

2．转动快慢的描述——角速度ω

在匀速圆周运动中，物体与圆心的连线转过的角度（?）跟所用的时间t 之比叫做匀速圆周运动的角速度t ?ω=

（1）t ?

ω=中的?单位是弧度（rad ），所以角速度的单位在国际单位制中是弧度／秒

（rad ／s ）．

*（2）角速度是矢量

（3）匀速圆周运动的角速度保持不变（角速度的大小、方向都不变）

（4）转动的快慢也可以用周期、频率或转速来描述．

①周期T ：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周期．在国际单位制中，单位是秒（s ），匀速圆周运动是一种周期性的运动．

②频率f ：每秒钟完成匀速圆周运动的转数．在国际单位制中，单位是赫兹，简称赫（Hz ）1赫兹＝1转／秒．

③转速n ：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数．在国际单位制中单位是转过的转数。在国际单位制中单位是转／秒（r ／s ）．

匀速圆周运动的T 、f 、n 均不变．

3．描述匀速圆周运动的物理量间的关系

（1）线速度和角速度的大小关系r v ?=ω

因为t r s t s

v ?

ω?=?==所以r v ?=ω

（2）角速度与周期（或频率、转速）的关系：n f T

πππω222===

例1：在地图上查出您所在地的纬度值，试计算您由于地球的自转而做匀速圆周运动的线速度大小．想一想，这个速度是相对哪个参照物而言的？

【解析】由于地球的自转，地球上的每一点均绕地轴做匀速圆周运动，纬度越大，绕地轴做匀速圆周运动的半径越小，如图所示，纬度为?的P 点绕地轴做匀速圆周的圆心为O '，半径为?cos R r =中，则P 点的线速度为

?π?cos 2R T

r v p =?= 上式中T 为地球自转的周期，地球半径约为6104.6?m ，设?=37?，则

m/s 103.72m/s 37cos 104.63600242cos 226?=????==π?πR T v p 由于地球的自转，地球上P 点的线速度达到m/s 103.722? 由于地球的自转，地球上P 点的线速度达到m/s 103.722

?这个速度是相对地轴参照物而言的．

例2：如图所示，直径为d 的纸筒，以角速度ω绕O 轴转动，一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a 、b 两个弹孔，且Oa 、Ob 间的夹角为α，则子弹的速度为多少？

【解析】从题目中可以看出子弹和纸筒同时在做两种不同的、相互独立的运动，但它们仍可以通过时间联系在一起，先各自独立的算出两个运动的时间，然后根据时间相等列方程即可求得．

子弹通过圆纸筒做匀速直线运动的时间为v

d t =。 两子弹弹孔与圆心连线夹角等于α的条件是：在相等时间内圆纸筒转过的角速度απ?-+==)12(n ，则由角速度定义可知时间

ω

απω?-+==)12(n t （3210、、、=n ……） 由于子弹做匀速直线运动和纸筒做圆周运动具有等时性，所以

ω

απ-+=)12(n v d 得子弹的速度为απω-+=)12(n d v （3210、、、=n ……） 这类问题的特点是圆周运动与其他形式叠加，并具有周期性．处理问题的方法是抓住运动的等时性，在等时性条件下寻找诸物理量间的关系．

例3：如图（a ）所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品．A 轮处装有光电计数器，它可以记录通过A 处的产品数目．已经测得轮A 、B 的半径分别为20=A r cm 、10=B r cm ，相邻两产品距离为30cm ，1分钟内有41个产品通过A 处．求：

（a ）

（1）产品随传输带移动的速度大小．

（2）A 、B 轮轮缘上的两点P 、Q 及A 轮半径中点M 的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度的方向．

（3）如果A 轮是通过摩擦带动C 轮转动，且5=C r cm ，在图中描出C 轮的转动方向，求出C 轮的角速度（假设轮不打滑）．

【解析】在本题中，产品均与传输带保持相对静止．故产品的速度大小就等于带上每一点的速度大小，如果传输带不打滑，则A 、B 轮缘上每一点的线速度大小均与传输带运动速度大小相等．1分钟内有41个产品通过A 处，说明1分钟内传输带上每点运动过的路程为两产品间距的40倍．设传输带运动速度大小为v ，则

（1）0.2m/s m/s 6030.040=?==t s v （2）m/s 2.0==Q P v v

A 轮半径上的M 点与P 点的角速度相等，故

rad/s 12.02.0,m/s 1.0m/s 2.02121=====?==a P M P P M r v v v ωω rad/s 22==P Q ωω

（3）C 轮的转动方向应如图（b ）所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对静止的，即它们轮缘的线速度是相等的．故

（b ）

rad/s 4 ==C A A C C r r ωωω

如果不打滑，通过皮带传动的两轮轮缘上每一点的线速度与皮带运动的速度大小相等；通过齿轮啮合或由静摩擦传动的两轮轮缘上每一点的线速度也相等。而同一个轮上每一点的角速度都相等。

【例4】钟的秒针、分针、时针的角速度各是多少？若秒针长0.2m ，则它针尖的线速度是多少？

解析：由T

πω2=可知，要求秒针、分针、时针的角速度，关键是确定它们各自的周期。秒针转动一周的时间是60=秒T （s ），分针转动一周的时间是60=分T （分）3600=（s ），

时针转动一周所需时间是12=时T 小时43200=（s ）

)rad/s (105.02==秒

秒T πω )rad/s (1074.123-?==分

分T πω )rad/s (1054.124?==

时时T πω )m/s (101.22.0105.02-?=?==R v 秒秒ω

小结：匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。描述匀速圆周运动的运动快慢——线速度t s v =

，描述匀速圆周运动转动的快慢——角速度ω（或周期T 、频率f 、转速n ）。n f T T r

v 112===?=ωπω