浅谈一类有约束条件的最值题的解法

活用数形结合求解一类有约束条件的最值题

西安市第一中学 张莲生

简单线性规划是现行高中数学教材必修5的一部分必修内容，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。它是运筹学的一个重要内容，对于形成最优化思想有着重要的作用，并且在实际生产活动中也有着广泛的应用，可以实现对资源的最佳利用。简单线性规划只能解决一些二元线性约束下条件下的二元函数的最值问题，但它的思想可以延伸到其他的数学最值问题的求解过程中。

简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。

本文将从规划的思想出发来探讨高中数学中一类有约束条件的最值问题的解法。

一、线性约束条件下的二元函数最值问题

在这类问题中, 它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内各点的坐标即为可行解。当目标函数是一个二元一次函数时，在可行解中使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解；当目标函数不是二元一次函数时，可以利用目标函数所具有的几何意义转化求解.

（一）利用直线的截距求线性规划的最优解

例1 已知x 、y 满足条件24250x x y x y ≥??+≤??-++≥?

，求3z x y =+的最值。

解：约束条件所表示的可行域如图1

所示. 其中直线2x =与直线250x y -++=为(2,1)P -，直线4x y +=与直线25x y -++=交点为(3,1)Q .

3z x y =+可变形为3y x z =-+,此时z 可理解

为直线3y x z =-+的截距.

现作直线:3l y x =-， 再作一组与l ∵x 、y 是上面不等式组所表示的区域内的点的横纵坐标，

∴当直线3y x z =-+通过点(2,1)P -时，

z 取最小值即min 3215z =?-=，

当直线3y x z =-+通过点(3,1)Q 时，

z 取最大值即max 33110z =?+=.

例2 (2008年全国I ,13)若x 、y 满足约束条件03003x y x y x +≥??-+≥??≤≤?

，则2z x y =-的最大

值为 。

解：约束条件所表示的可行域如图2中的阴影部

分所示.其中直线30x y -+=与直线3x =的交点

为(3,6)A ，直线0x y +=与直线3x =的交点为

(3,3)B -,2z x y =-可变形为2y x z =-，将直线

2y x z =-在平面内平移，当过点(3,3)B -时，直

线2y x z =-在y 轴上的截距- z 最小,此时z 取最大值

特别提示：( 1)

( 2) 例1中3z x y =+可化为3y x z =-+， z 的几何意义为直线3y x z =-+在y 轴上的截距. 平移3y x =-可找出最值的位置, 纵截距最大(或最小)时z 即取得最大(或最小) 值.

例2中，由于2y x z =-， z -才是直线在y 轴上的截距,当截距最大(或最小) 时, z -取最大(或最小)，此时z 取得最小(或最大) 值.

(二) 利用斜率公式求形如y b z x a

-=-的目标函数的最值 例3 已知x 、y 满足004312x y x y ≥??≥??+≤?

，则231x y z x ++=+的取值范围为 . 解：约束条件所表示的可行域如图3中的阴影部分

所示.其中直线4312x y +=与x 轴的交点为(3,0)A ，

与y 轴的交点为(0,4)B ，

Q 2312111

x y y z x x +++==?+++， ∴z 可理解为可行域中点与点(1,1)P --连线