矩阵分析在通信中的应用
矩阵分析在通信中的应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
矩阵论在通信领域中的应用
基于多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析
1 背景分析
频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。
多输入多输出(MIMO)技术能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，本文把矩阵理论知识与MIMO技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息论理论和矩阵理论建立系统模型详细推导出MIMO信道容量,通过程序仿真反应实际情况，可以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。
2 问题的提出
基于MIMO的无线通信理论和传输技术显示了巨大的潜力和发展前景。MIMO技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(STC,Space-Time Codes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方面。MIMO作为未来一代宽带无线通信系统的框架技术，是实现充
分利用空间资源以提高频谱利用率的一个必然途径。
可问题是，MIMO系统大容量的实现和系统其它性能的提高以及MIMO系统中使用的各种信号处理算法的性能优劣都极大地依赖于MIMO信道的特性，特别是各个天线之间的相关性。最初对MIMO系统性能的研究与仿真通常都是在独立信道的假设下进行的，这与实际的MIMO信道大多数情况下具有一定的空间相关性是不太符合的。MIMO系统的性能在很大程度上会受到信道相关性的影响。因此，建立有效的能反映MIMO信道空间相关特性的MIMO信道模型以选择合适的处理算法并评估系统性能就变得相当重要。其中矩阵知识的应用，极大地简化的问题的分析难度，更加直观的反映出系统的特性。
3 模型的建立与分析
探讨选择模型
过去的研究一般局限于用数学模型描述无线信道的时域衰落特征，重点在于建立存在于无线衰落信道中的散射体、折射体和绕射体的统计模型或几何模型，从而用于无线信道衰落分布的预测、估计和测量。针对大尺度衰落现象，研究学者们分别建立了相应的路径损耗模型、基于对数正态分布的阴影衰落模型；针对小尺度衰落现象，已经提出了Rayleigh、Ricean等分布来进行描述。研究中发现，存在于衰落信道中的散射体不仅影响信道衰落的时域特征，而且由于散射体的分布和位置的不同，导致在不同天线上的接收信号之间的空时相关特性，还反映出信道的空时衰落特征。从而基于散射体几何分布的建模方法、参数化统计建模和基于相关特征的建模方法被相继提出，大量的信道测量数据也被公布。人们逐渐发现在实际移动无线衰落信道中，最早用于描述散射体均匀分布的Clarke模型不再有效，围绕无线收发信机的散射体更多地呈现非均匀分布。已有的多数建模方法均假设了到达接收端的来波方向(AOA)、或离去发送端的去波方向(AOD)为均匀分布情形。实际上，在蜂窝移动无线通信环境中，存在大量的非均匀来波情形，比如狭窄的
街道、地铁和室内情形。这些现象将会导致非均匀来波方向分布，从而影响不同天线上衰落的相关性。此外，在现有的蜂窝无线系统中，由于蜂窝微型化和小区扇形化，基站发送端的天线已由最初的全向辐射转为定向辐射，到达接收端的来波方向一般也呈非均匀分布。这些新特征急迫要求提出新的模型进行分析。
目前，在MIMO信道建模中多采用的是基于空时统计特性的建模方法。而其中的基于散射体地理特征的建模方法和空时相关统计特性的建模方法又是统计建模中较多采用的两种方法。这两种方法都有各自的优缺点：
(1)若基于散射体几何分布对MIMO衰落信道建模，则必须对散射体的分布进行合理的假设，并给出收发两端之间的距离、散射体的数目和尺寸以及散射体与收发两端的距离等一些可描述MIMO信道的二维几何参数。而过多的参数约束会增加建模的复杂度，同时，不同的环境下这些参数的值也不尽相同，因此，这种建模方法限制了具体的应用场合。
(2)若基于统计特性对MIMO无线衰落信道进行建模，需要给出描述离开角(AOD)、到达角(AOA)、水平方向角度功率谱(PAS)，电波的角度扩展(AS)等一系列参数的数学统计模型。这种方法能够较为全面的反映MIMO信道的衰落特性，特别是信道的空间衰落特性；而且目前已经有了对AOA、AOD、PAS、AS等参数在各种环境下的大量的测量值及其分布的数学描述。
根据上面的模型对比可发现，采用基于空时相关统计特性的建模方法建立MIMO无线衰落信道模型可以更好地进行MIMO信道容量的分析。
模型的主要参数和数学描述
基于空时相关特性的统计MIMO信道模型的主要参数包括：
(1)信道的功率与时延的分布、多普勒功率谱等表征信道时域和频域衰落特征的参
数。
(2)每一可分辨径的空间特性参数：发射端信号的离开角(AOD)、接收端信号的到达角(AOA)、信号的水平方向角度功率谱(PAS)、角度扩展(AS)等。
(3)发射端和接收端天线的数目和天线阵列结构以及天线元之间的间距。在上述的参数中，发射端信号的AOD 是指发送信号与发射天线元之间的夹角。
接收端信号的AOA 是指接收信号与接收天线元之间的夹角。它们的取值范围在[]ππ,-区间，AOD 和AOA 在通常情况下服从均匀分布，在某些情况下并不服从均匀分布。角度功率谱PAS 是指信号的功率谱密度在角度上的分布。研究表明，PAS 主要服从3种分布：均匀分布、截断高斯分布和截断拉普拉斯分布。此外，PAS 也可能是一个升余弦函数甚至为一个整数。角度扩展AS 是角度功率谱PAS 的二阶中心矩的平方根，在[]π2,0之间分布。它反映了信号功率谱在角度上的色散程度。角度扩展越大，信道的空间相关性就越小，反之则相关性越大。天线的阵列结构是指天线的摆放方式，较普遍的阵列结构就是均匀线性阵列(ULA,Uniform Linear Array)，另外还有均匀圆形阵列(UCA,Uniform Circular Array)等其它阵列结构。天线元间距是指两个相邻天线元之间的距离，天线间距通常用载波的波长λ进行归一化。天线元间距越小则空间相关性就越大，反之则相关性越小。
如图1所示，考虑发射端天线数为N ，接收端天线数为M 的两个均匀线性天线阵列(ULA)，假定天线为全向辐射天线。发射端天线阵列上的发射信号记为：
[]T
N t s t s t s t s )(),(),()(21 = （）
)(t s n )表示第n 个发射天线元上的发射信号，符号[]T
?表示矢量(或矩阵)的转置。同
样地，接收端天线阵列上的接收信号可以表示为：
[]T
M y t y t y t t y )(),(),()(21 = （）
描述连接发射端和接收端的宽带MIMO 无线信道矩阵可以表示为：
)()(1
l L
l l A H ττστ-=∑= （）
其中N M C H ?∈)(τ，并且
为描述收发两端天线阵列在时延l τ下的复信道传输系数矩阵，l mn h 表示从第n 个发射天线到第m 个接收天线之间的复传输系数。L 表示可分辩径的数目。
S(t)
Y(t)
天线元个数N
天线元个数M
散射介质
图1
MIMO 信道的数据模型
发射信号矢量)(t s 和接收信号矢量)(t y 之间的关系可以表示为(不包括噪声)
τττd t s H t y )()()(-=? （） 或者
τ
ττd t y H t s T )()()(-=? （）
假定在远场区有很少的空间独立的主要反射体，一个主要反射体有一个主要路径，此路径含有大量的引入波，这些波是由接收机和发射机附近的本地散射体的结构引起的，它们相对时延很小，接收机不能分离出来，即为不可分辨径。由于角度扩展不为零，所以将导致空时衰落。由于发射机和接收机附近的散射体的作用，将产生许多具有微小时延的不可分辨径，使得角度扩展不为零。假设第p 个可分辨径的AOA 和AOD 分别为Rx
p φ和Tx
p φ，是反映关于天线阵列和主要反射体位置的量；把发送阵列、接收阵列视线方位角定义成Tx
0φ和Rx 0φ，则接收端第个可分辨径的角度扩展)(Rx
p p φσ为
∑∑-=-=-=
10210
2
)1()(1)(L l L l Rx pl Rx pl Rx
p p L L φφφσ （）
式中，Rx
pl φ表示第p 个可分辨径中的第l 个不可分辨径对应的到达角度；L 标示不可分辨径的数目。对于发端的角度扩展)(Tx
p p φσ同理可得。设接收天线在发送天线的远场区内，可以假设接收天线的信号是平面波。第r 根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加时延为Rx
r p ,?
c
d r Rx
p
Rx r p Rx
φsin )1(,-=
? （）
式中，Rx d 是相邻天线间的距离。对应第r 根接收天线的接收信号相对于第1根接
收天线的附加相移Rx
p r ,Φ为
λπφc
Rx
r
p Rx p r Rx p r ,,2)(?=Φ=Φ （）
接收端均匀线性阵列的传播响应向量Rx
p a 可以表示为
T
j Rx p
Rx
p Rx M j Rx p e e a ??????=-Φ
-Φ-,1,1,1 （）
同样的可得发送端均匀线性阵列的传播响应向量Tx p a 可以表示为
T
j j Tx p
Tx
p Tx M Tx p
e e a ?
?????=-Φ-Φ-,1,1,1 （） 第m 根发送天线的发送信号相对于第1根发送天线的附加时延Tx m p ,?为
c
d m Tx
p
Tx Tx m p φsin )1(,-=
? （）
因此，相对应的附加相移Tx p
m ,Φ就是
λπc
Rx r
p Ts p m ,,2?=Φ （）
考虑到判决时间有限，不是所有信号的到达反射波都能分离开来。假设移动台或散射体发生运动，每一个本地散射体的路径长度发生变化，产生时变复衰落，对于给定速率v ，最大频率偏移为d f 。第p 个可分辨径的第m 个发送天线和第r 个接收天线之间的空时衰落系数)(,,t r m p β为：
（）
每一个到达路径经历的衰减为l p ,ν，假定l p ,ν是由随机过程产生，且1=νσ。通常在仿真时认为AOD 均匀分布在0～π2，这样可以得到经典功率谱。在固定m 和r 的情况下，
r m p ,,ν和Tx
r m p ,,φ表征着时间域的衰落特性；而在固定时间t 时，不同的m 和r 对应的r m p ,,ν和Tx r m p ,,φ则反映阵列的空间特性，其相关性由两个阵列传播响应矢量)(,Tx l p m a φ和)(,Tr
l p r a φ决定。
记第p 个空间主散射体产生的可分辨多径的时延p τ，且一般假设它们之间的独立过程互相
独立。不同的传播环境对应不同的Rx
l p ,φ分布。
有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。 相关性矩阵
MIMO 信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数ρ在数学上定义为：
[]
[][]
[]
[][]
[])
()(,2
2
2
2
b E b E a E a E b E a E ab E b a ---=
=*
*ρ （）
其中，符号?,表示求相关系数，符号()*
?表示复数共轭。根据a 和b 的性质的不同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑两个复数变量x 和y ：
复数相关系数c ρ，此时y b x a ==,：
y x c ,=ρ （） 包络相关系数e ρ，此时y b x a ==,：
y x e ,=ρ （）
功率相关系数p ρ，此时2
2
,y b x a ==：
2
2,y
x p =ρ （）
限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系数和功率相关系数。然而，对于MIMO 信道建模来说，复数相关系数包含了能反映信道特性的较全面的信息——幅度和相位，具有更好的性能。对于Rayleigh 衰落信道，复数相关系数c ρ定义式和功率相关系数的定义式有如下关系：
2
c p ρρ= （）
为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数()mn l a 服从零均值的复高斯分布，即()mn l a 的模()mn l a 服从Rayleigh 分布。并对该统计MIMO 信道模型进一步作出如下假设：
（1）同一多径下传输系数的平均功率相等
(){
}2
mn
l l a E P = 所有[][]M m N n ,2,1,2,1∈∧∈ （）
（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输系数不相关
()()0,21=mn l mn l a a 当 21l l ≠ （）
上式中的符号b a ,表示求a 和b 之间的相关系数；
（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第1m 根天线和第2m 根天线之间的相关系数为：
n m n m RX
m m a a 212
1,=ρ （）
上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS ，也会产生相同的空间相关函数。同理，定义发射端第1n 根天线和第
2n 根天线之间的相关系数为：
212
1,mn mn TX
n n a a =ρ （） 由（）和式（），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵RX R 和TX R 为：
M M RX MM RX M RX M RX M RX
RX RX M RX
RX
RX
R ????
?
?????????
?=ρρρρρρρρρ
2
12222111211 （）
N N TX NN TX N TX N TX N TX TX TX N
TX
TX
TX
R ????
?
??
???????
?=ρρρρρρρρρ 2
12222111211
但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵l H 提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。为此，定义
21111
12
22,n m n m m n m n a a =ρ （） 在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（）与下式等价：
1
2
12
1112
2
RX m
m TX
n n m n m n ρρρ= （）
根据式（），MIMO 信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关矩阵的Kronecker 乘积[17]：
RX TX MIMO R R R ?= 上式中，符号?表示矩阵的Kronecker 乘积运算。
在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（）对TX R 和RX R 作矩阵的Kronecker 乘积，得到MIMO 信道的整体相关矩阵MIMO R ，然后对MIMO R 作相应的矩阵分解，从而得到MIMO 信道的空间相关矩阵。
角度功率谱PAS 主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。讨论将基于上述3种分布的PAS ，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA ，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS 谱。
(1)均匀分布PAS
多簇的均匀分布PAS 的表达式为：
[]()[]{}
k k k k N k k u u c
Q PAS φφφεφφφεφ?+--?--=∑=,0,01,)()( （）
其中，)(φε为单位阶跃函数，c N 为波簇的数目，0φ为平均到达角AOA ，φ?为AOA 的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数k u Q ,使得)(φu PAS 满足概率分布函数的要求：
∑
??=?+?
--
==
c k
k k
k N k k
u u
d Q
d PAS 1,,0,01
)(φφφ
φπ
π
φφφ （）
由上式可得
∑==?c
N k k u Q 1
,1
2φ （）
令λπd D 2=，其中，d 为天线元之间的间距，λ为载波波长，λd 为天线元之间的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系函数：
φ
φφπ
π
d PAS D D R XX )()sin cos()(?-= （）
虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数定义为：
φ
φφπ
π
d PAS D D R XY )()sin sin()(?-=
将均匀分布PAS 的表达式代入)(D R XX 的表达式（），得到：
)2sin()2cos(24)()(,01
1)
(2,0,k k N k m D m k u U XX m m m J Q D J D R c
φφ?+=∑∑
=∞
= （）
其中，)(?m J 为m 阶第一类贝塞尔函数。同样地，将PAS 的表达式代入到式（），得到：
()[]()[]
φφ?+++=∑∑
=∞
=+12sin 12sin 1
2)(4)(,01
)12(,,m m m D J Q D R k N k m m k u U XY c
（）
(2)高斯分布PAS
高斯分布PAS 的表达式为：
()[]()[]{}k k k k k G N k k
G k G G c
Q PAS φφφεφφφεσφφσπφ?+--?--??????--=∑
=,0,0,2
201
,,2)(exp 2)(（）
同样可以推出其归一化常数k G Q ,应该满足：
∑==?c
N k k
G k
k G erf Q 1
,,1)2(
σφ （）
其中，)(?erf 为复数的误差函数。将)(φG PAS 的表达式代入（）和（），可以得到高斯分布PAS 下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为：
??
?????????? ??-?--???? ??-?k G k G k k G k G k jm erf jm erf ,,,,2222Re σσφσσφ （） 和
???????????? ??-?--???? ????? ??+-?k G k G k k G k G k jm erf m j erf ,,,,222212Re σσφσσφ （） 其中，[]x Re 表示取x 的实部。
(3)拉普拉斯分布PAS
拉普拉斯分布的PAS 谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一种分布。其表达式为：
()[]()[]{}k k k k k L N l k
L k L L c
Q PAS φφφεφφφεσφφσφ?+--?--????
???
?--
=∑
=,0,0,0
1
,,2ex p 2)( （）
其归一化条件由下式给出：
1]2exp 1[,1,=????
??
?--∑=k L k N k k L c
Q σφ （）
拉普拉斯分布PAS 下的复基带信号的两个互相关函数分别为：
??
???????-?)2cos(2
)2sin(2,k k L k m m m φσφ （）
和
()∑
∑
=∞
=+++=c
N k m k
L m k
L k L L XY m D J Q D R 1
2
2,12,,,)12()2
()(24)(σσ
()()()???
?
???
????++?++]12cos[2]12sin[12,k k L k m m m φσφ 由表达式，可以定义复数相关系数()D c ρ和功率相关系数()D p
ρ
的表达式如下：
())
()(D jR D R D c
XY XX +=ρ
()2
)
()(D jR D R D p
XY XX +=
ρ
可见一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。 4 软件计算
MIMO 信道模型的描述以及上一小节对仿真思路与方法的讨论，可知MIMO 信道矩阵产生的方法是：按照上一章所描述的方法产生MIMO 信道接收和发送端的相关矩阵RX R 和
TX R ，再按照式RX TX MIMO R R R ?=产生的MIMO 信道的整体相关矩阵。由MIMO R 进行相应的
矩阵分解得到一个对称映射矩阵C ，C 就是MIMO
信道的空间相关形成矩阵
即：T MIMO CC R =
如果使用的是复数相关矩阵，则应该对MIMO R 作矩阵的平方根分解。再按照仿真单入单出信道的方法产生信道的衰落系数h ，即h 为经过相应的多普勒功率谱成形后的零均值、单位方差的复高斯变量，h 反映了MIMO 信道的时频衰落特性。
最后，按照下式计算MIMO 信道抽头的系数矩阵：
Ca P A A vec l l l ==)(
其中，)(?vec 表示把一个N M ?的矩阵排成一个MN ?1的矢量；
[]T
MN M MN a a a a a A ,,,,12121111=?即为MIMO 信道的衰落系数；l P 为第l 个可分辨径的功
率；[]T
MN MN a a a a ,,211=?。综合上面的讨论，MIMO 相关衰落的产生过程如图所示。
图2 MIMO 信道中相关衰落的产生
信道矩阵的matlab 计算
为了产生带有相关性MIMO 信道的信道冲激响应。设置：输入参数：Nr 接收天线阵元的个数；Nt 发送天线阵元的个数；t 时间变量。输出参数：Mimo_channel MIMO 信道的信道冲激响应矩阵。
function f=mimo_channel(Nr, Nt,t)
s=35;
% mm=O;
fd=;
rand('state',0);
for i=1 :Nt*Nr
for l=1:1
h1=0;
h2=0;
for k=l:s-1
sita(k)=2*pi*rand;
h1 = h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-
1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));
h2 = h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-
1))*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1))*t+sita(k));
end
sita(s)=rand;
h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s)); h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2))*cos(2*pi*fd*t+sita(s));
h(i,1)=h1 +j*h2;
end
end
h
corrR=mimo_corr(30,0,,Nr)%;correlation at Rx
corrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%; correlation at Tx d--51anbuda corrRT=kron(corrR,corrT)%;
hr=transpose(chol(corrRT));
h=hr*h;
for p=1:Nr
for q=1:Nt
hh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p);
end
end
f=hh;