第2章 空域处理

第2章空域图象处理

图象是二维平面上像素的集合。数字图象空域分析就是直接对图象中的像素处理。在空域中对图象处理有不同形式，如图象的亮度变换、几何变换、图象滤波、图象混合等。

2.1 图象亮度变换

图象亮度变换可以(,)((,))

=用表示，新图象与原图象的像素一一对

g x y g f x y

应，只是亮度发生变化。根据亮度变换的形式不同，可以分为图象求反、增强对比度、黑白转换、直方图均衡化、直方图规定化等。

1. 图象求反

图象求反就是将图象的亮度求反，实现图象反亮。变换公式为(,)1(,)

=-，效果如图2-1。

g x y f x y

图2-1 图象求反

如果对彩色图象的三基色军均求反，则会使彩色图象反色。

2. 增强对比度

增强图象对比度是增强原图各部分之间的反差。典型的增强对比度曲线如图2-2。通过变换，原图中亮度值在f1到f2间的动态范围增加了，从而增强了这个范围内的对比度。效果如图2-3。

f 1f

g

()

1,g f 2()

2,g L 1

-L 1

-

图2-2 典型的增强对比度曲线

图2-3 图象对比度增强

3. 黑白转换

灰度图象转换为黑白图象，变换公式为1

(,)(,)0

(,)f x y T g x y f x y T

≥?=?

，其中

T 是

转换阈值。效果如图2-4。

图2-4 灰度图象黑白化

4. 直方图均衡化

图象的亮度统计直方图是1个1-D 的离散函数：

1

, ,1 ,0)(-==L k n n f p k k f

上式中f k 为图象f (x , y )的第k 级亮度值，n k 是图象f (x , y )中具有亮度值f k 的象素的个数，n 是图象象素总数。

例 直方图 图(a)对应正常的图象。图(b)对应动态范围偏小的图象。图(c)对应动态范围还比较大，但其直方图与图(a)的直方图相比整个向左移动的图象。图(d)对应动态范围也比较大，但其直方图与图(a)的直方图相比整个向右移动的图象。

(a)

(b)

(c)

(d)

直方图均衡化是一种借助直方图变换来增强图象的方法，其基本思想是把原始图的直方图变换为均匀分布的形式。

均衡化：将原始图像的直方图变换为均匀分布的形式，从而增加像素灰度值的动态范

围，达到增强图像整体对比度的效果。

方法：计算累计分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)，并将其作为灰度变换函数s=T(r), 从而将原始图像的关于灰度 r 的分布直方图，转换为 关于灰度 s 的均匀分布。

原理：从灰度直方图定义出发加以证明，设图像面积为A0，其灰度已经进行归一化处理。

P(r)dr 表现图像中灰度为[r,r+dr]的像素面积在整个图像中占的比例经过 s=T(r) 的映射，其灰度改变而面积不变，因此：P(r)dr=p(s)ds 。

考虑原始图像f(x,y)在[0, r] 灰度范围内像素面积占图像面积的比率F(r):

考虑变换后图像g(x,y)在对应的 [0, s] 灰度范围内像素面积占图像面积的比率G(s):

变换前后上述像素在图像中所占比率不变，因此有：G(s)=F(r)， 即

均衡化的直方图 ps(s)=1 ，因此

故有：

数字图像直方图均衡化处理的计算步骤：

1.统计原始图象的直方图 , r k 是归一化的输入图象灰度级；

2.计算直方图累积分布曲线；

3.用累积分布函数作变换函数进行图像灰度变换。

根据计算得到的累积分布函数，建立输入图象与输出图象灰度级之间的对应关系，并将变换后灰度级恢复成原先数范围。

均衡化效果实例：

()()

()lim

[0,1]

r A r r A r p r r r A ?→∞

+?-=∈??0

()()r

r F r p r dr

=?0

()()s

s G s p s ds

=?0

()()r

s

r s p r dr p s ds

=?

?0

()s

r

r ds p r dr

=?

?0

()()r

r S T r p r dr

==

?

例 直方图均衡化效果 图(a)和(b)分别为1幅8 bit 亮度级的原始图和它的直方图。图(c)和(d)分别为对原始图进行直方图均衡化得到的结果及其对应的直方图。

(a)

(b)

(c)

(d)

5．直方图规定化

直方图规定化方法主要有3个步骤（设M 和N 分别为原始图和规定图中的亮度级数，且只考虑M N ≤的情况）：

(1) 如同均衡化方法中，对原始图的直方图进行亮度均衡化：

1

, ,1 ,0)

(0

-==∑=M k f p g k

i i f k

(2) 规定需要的直方图，并计算能使规定的直方图均衡化的变换：

1

, ,1 ,0)

(0

-==∑=N l u p v l

j j u l

(3) 将第1个步骤得到的变换反转过来，即将原始直方图对应映射到规定的直方图，也就是将所有p f (f i )对应到p u (u j )去。

例 直方图规定化 图(a)为一幅图象的原始直方图，图(b)为规定直方图，他们对应的累积直方图分别如图(c)和(d)所示。

0.10.2

0.3

1

2

3

4

5

6

7

0.20.40.6

01

23

456

7

(a)

(b)

1

0.20.40.60.810

1

234567

1

1

0.20.40.60.810

1

2

3

4

5

67

2. 单映射规则和组映射规则

单映射规则：先找到能使下式最小的k 和l ：

1 , ,1 ,01

, ,1 ,0)

()(0

0-=-=-∑∑==N l M k u p s p l

j j u k i i s 然后将p s (s i )对应到p u (u j )去。 组映射规则：设有1个整数函数I (l )，l = 0, 1, …, N – 1，满足0 ≤ I (0) ≤ … ≤ I (l ) ≤ … ≤ I (N – 1) ≤ M – 1。先确定能使下式达到最小的I (l )：

1

, ,1 ,0)

()()

(00

-=-∑∑==N l u p s p l I i l

j j j i s

如果l = 0，则将其i 从0到I (0)的p s (s i )对应到p u (u 0)去；如果l ≥ 1，则将其i 从I (l – 1)+1到I (l )的p s (s i )都对应到p u (u j )去。

例 单映射规则和组映射规则 单映射从原始累积直方图向规定累积直方图进行（如图），其中0.19映射到0.20，见实线；0.44也映射到0.20（见粗线），而不是映射到0.80（见虚线）。

0.3

0.75

原始累积直方图

规定累积直方图

1

组映射从规定类积直方图向原始累积直方图映射（如图），其中0.20映射到0.19，见粗线，而不是映射到0.44（见虚线）；同理0.80映射到0.81（见粗线），而不是映射到0.65或0.89（见虚线）。

0.3

0.75

原始累积直方图

规定累积直方图

1

上述两种情况下的结果直方图见图，其中图

(a)为用单映射规则得到的结果，与规定直方图差距较大；图(b)为用组映射规则得到的结果，基本与规定直方图一致。

0.20.40.60

1

2

3

45

67 0

0.20.40.6

1

234567

(a)

(b)

例

直方图规定化示例 原始图见图(a)，利用如图(b)所示的规定化函数对原始图进行直方图规定化的变换，得

到的结果见图

(c)（其直方图见图

(d)所示）。

2.2 几何变换

图象的几何变换包括图象平移、旋转、缩放、扭曲等。设原始图象在(,)x y 处的亮度为(,)f x y ，处理后得到的新图象亮度设为(,)g x y ，则

''(,)(,)((,),(,))g x y f x y f a x y b x y ==。(,)a x y 和(,)b x y 表示空间变换，若它们是连续

的，则将保持图象中的连通关系。

1. 平移

'0'

x x x y y y =+=+

2. 缩放

'1'

2x k x

y k y == 3. 扭曲

'1112'

22x k x k y y k y =+= 或

'11'

2122x k x y k x k y

==+

4. 旋转

''

cos sin 02sin cos x x y y x y θθθπ

θθ=-≤<=+

5. 卷绕

图象卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。有时利用多项式函数来拟合控制点之间的对应关系，这时称为多项式卷绕（Polynomial Warping ）。一般情况下，由控制点将图象分成许多多变形区域，对每个变形区域使用双线性插值函数来填充非控制点。

=>

实现几何运算有两种方法，其一为前向映射法，即：将输入象素的灰度一个个地转移到输出图象中，如果一个输入象素被映射到四个输出象素之间的位置，则其灰度值就按插值法在四个输出象素之间进行分配；其二为后向映射法（象素填充法），这时将输出象素逐个地映射回输入图象中，若输出象素被映射到四个输入象素之间的位置，则其灰度由它们的插值来确定。在实际中，通常采用后向映射法。

仿射变换（Affine Transformation ）和图象卷绕（Image Warping ）是两类常见的几何运算。前者属于射影几何变换，多用于图象配准（Image Registration ）作为比较或匹配的预处理过程；后者用控制点及插值过程来定义，将一幅图象逐渐变化到另一幅图象的图象变形（Morphing ）过程是其典型的应用，多见于影视特技及广告的制作。

2.3 空域滤波

在图象处理中，经常考虑像素领域内的关系，这就是空域滤波。根据空域滤波的特点一般可分成线性的和非线性的两类。线性滤波器的设计常基于对傅里叶变换的分析，非线性空间滤波器则一般直接对邻域进行操作。

对于线性、时不变滤波，设单位像素(,)m n δ的响应为(,)h m n ，图象(,)f m n 表示为(,)(,)(,)i j f m n f i j m i n j δ∞∞

=-∞=-∞

=

--∑∑

，则经过滤波后新图象设为

(,)(,)(,)i j g m n f i j h m i n j ∞

∞

=-∞=-∞

=--∑∑，记为(,)(,)*(,)g m n f m n h m n =。

(,)(,)(,)i j g m n f i j h i m j n ∞

∞

=-∞=-∞

=

--∑∑

，其中(,)(,)h m n h m n =--，可以看作滤波器的模

板。图2-10示出一个3 ? 3的模板，k 0-k 8是(,)h m n 的值，其中k 0为中心像素的权重系数，k 1-k 8为8个邻域像素的权重系数。

(a)

(b)

(c)

4k k k k k k 32k k k 5016

7

8

空域滤波就是利用模板在图中漫游，并将模板中心与图中每个象素位置重合，将模板上的系数与模板下对应的象素值相乘，然后相加，其和就是新图象（模板滤波的输出）对应模板中心位置的象素值，即018(,)(,)(,1)(1,1)g m n k f i j k f i j k f i j =++++-+，如图2-11

所示。

1. 在领域内求均值

在图象像素的邻域内求均值，模板1/91/91/91/91/91/91/91/91/9h ??

??=??????

，效果如图2-12。

(a)

(b)

2.高斯模糊

高斯滤波是用高斯函数作模板的低通滤波，具有模糊图象的性能。高斯函数为

2222

1

(,)exp 22x y g x y πδδ??

+=- ??

?，δ为方差。

设03.33r δ=≈，

0r ≥时8

(,)(0,0)2g x y g -≤?，即(,)g x y 为最大值

2

12πδ

的2-8倍，忽略为0。因此，高斯函数

的有效区域可以看作。当03r =时，对应的7 ? 7模板如下：

0.0000

0.0003 0.0021

0.0039

0.0021

0.0003 0.0000

图2-11 模板滤波示意图

模板 图像

0.0003 0.0072 0.0459 0.0850 0.0459 0.0072 0.0003 0.0021 0.0459 0.2916 0.5400 0.2916 0.0459 0.0021 0.0039 0.0850 0.5400 1.0000 0.5400 0.0850 0.0039 0.0021 0.0459 0.2916 0.5400 0.2916 0.0459 0.0021 0.0003 0.0072 0.0459 0.0850 0.0459 0.0072 0.0003 0.0000 0.0003 0.0021 0.0039 0.0021 0.0003 0.0000

3.Gabor 滤波

Gabor 函数最早由Gabor 博士于1946年提出，通过高斯函数加上频移后产生。Gabor 滤波器是用Gabor 函数作单位冲激响应的带通滤波器，有着良好的滤波性能，其输出可以看作输入信号的Gabor 小波变换。二维Gabor 滤波器能够较好地模拟生物的视觉系统，因而在图像分析中具有重要的作用。

一维

Gabor 函数的一般形式为：

202()2x g x j x ωδ??=-+ ???

其中，δ为高斯函数的标准偏差。将其推广到二维，得到二维Gabor 函数：

22022

1

(,)exp 22x y g x y j x ωπδδ??

+=-+ ???

采用二进制尺度2-γ

伸缩，即

''22x x y y

γγ--==，则二维Gabor 函数变为：

()

2

2

222

2

,011

(,)2

exp 2222l

x y j x y G x γ

γ

γ

γ

πωδ

δ

---??

=

?-?++ ? ???

再均匀旋转角度θl ，则二维Gabor 函数又变为：

()

()(

)

()()(

)

()(

)

2

2

222

2

,02

2

22022

2222022

1

1(,)2

exp 22cos sin 221

1

2exp 2cos 2cos sin 22112exp 2sin 2cos sin 22l

l l l l l l x y j x y x y j x y y G x y x y x γ

γ

γ

γ

γ

γγγ

γγπωπωπωθθδ

δ

θθδδθθδδ---------??

=

?-?+++ ?

???

??

=?-?++ ? ?

????+?-?++ ? ?

??

其中，γ=0，1，2，…；2l l L

πθ=

，l=0，1，…，L /2-1。

经过伸缩和旋转的二维Gabor 函数，实部和虚部波形如图（δ=3，γ=2）。

4. 非线性处理

中值滤波器是一种非线性平滑滤波器，既可消除噪声又可保持图象的细节。它的工作步骤如下：

(1) 将模板在图中漫游，并将模板中心与图中某个象素位置重合； (2) 读取模板下各对应象素的亮度值； (3) 将这些亮度值从小到大排成1列； (4) 找出这些值里排在中间的1个；

(5) 将这个中间值赋给对应模板中心位置的象素。

例 邻域平均和中值滤波的比较 图(a)和(c)分别给出用3 ? 3和5 ? 5模板对同一幅噪声图进行邻域平均处理得到的结果，而图(b)和(d)分别为用3 ? 3和5 ? 5模板进行中值滤波处理得到的结果。

(a)

(b)

(c)

(d)

2.3 图象混合

图象混合是对多幅图象相同位置的像素加权相加。亮度变换可以

(,)((,))

g x y g f x y =用表示，新图象与原图象的像素一一对应，只是亮度发生变化。根据亮度变换的形式不同，可以分为图象求反、增强对比度、黑白转换、直方图均衡化、直方图规定化等。 1. 加法运算

图象加法的一种应用方式是通过图象平均以减少在图象采集中产生的噪声。设有1幅混入噪声的图g (x , y )是由原始图f (x , y )和噪声图e (x , y )叠加而成，即:

),(),(),(y x e y x f y x g += 这里假设各点的噪声是互不相关的，且具有零均值。设将M 个图象{g i (x , y )}相加求平均：

∑==

M

i i y x g M y x g 1)

,(1

),(

那么新图象和噪声图象各自均方差间的关系为：

),(),(1

y x e y x g M σσ?=

可见随着平均图数量M 的增加，噪声在每个象素位置(x , y )的影响逐步减少。

例 用图象平均消除随机噪声 图(a)为1幅迭加了零均值高斯随机噪声亮度图象。图(b)，图(c)和图(d)分别为用4，8和16幅同类图（噪声均值和方差不变，但样本不同）进行相加平均的结果。

(a) (b)

(c)

(d)

2. 减法运算

设有图象f (x , y )和h (x , y )，它们的差为：

),(),(),(y x h y x f y x g -= 图象相减的结果就可把两图的差异显示出来，这在运动检测中很有用。

例 用图象求差检测目标运动信息 图(a)到图(c)为一个视频序列中的连续三帧，图(d)给出第1帧和第2帧的差，图(e)给出第2帧和第3帧的差，图(f)给出第1帧和第3帧的差。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

图4.4.2 利用图象相减进行运动检测