概率论与数理统计试题及答案

考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小

题，每小题3分，总计15分）

1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6

2．设随机变量的概率密度???≤>=-10

1)(2x x Kx x f ，则K=（ B ）。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量ηξ,，若)()()(ηξξηE E E =，则（ B ）。 (A) )()()(ηξξηD D D = （B ）)()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 （D ）ηξ,不独立

5．设)4,5.1(~N ξ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<ξ<4}=（ A ）。 (A) (B) (C) (D)

二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，

总计15分）

1．设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ ）。 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。

3．设随机变量X 的概率密度??

?≤≤=其它

,

010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ 8/10 ）。

4．设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ，则D(ηξ+)=（ 13 ）。 *5．设),(~y 2σμN ，则

~y n

σμ

-（ N(0,1) ）。

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）

1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％，

次品的概率是多少

（1）全概率公式

)

4(0345

.0)6(100

210040100410035100510025)()()(3

1

分分=?+?+?=

=∑=i i i B A P B P A P

2．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,00

,)(5x x Ae x f x

(1)确定常数A (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).

（2）①)3(15

1

0)(0

5分==

+=???+∞

∞

-∞

-+∞

-A dx Ae dx dx x x ?

故A=5 。

②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞

-?e dx e P x ξ （3分）

③当x<0时,F(x)=0; （1分）

当0≥x 时，x

x

x

x e dx e dx dx x x F 50

515)()(-∞

-∞

---=+==???? （2分）

故???<≥-=-0

0,,0

1)(5x x e

x F x

. （1分）

3．设二维随机变量（ηξ,）的分布密度???<<<<=其它,01

0,,6),(2ξξηξηξf

求关于ξ和关于η的边缘密度函数。

（3）

?

+∞∞

-=分）

2(),()(dy y x f x f x 分）（其它3010),(6622??

???≤≤-==?x x x x x dy

?

+∞

∞

-=分）

（2),()(dx y x f y f y 分）

（其它3010),(66??

???≤≤-==?y y y y y dx

4．设连续型随即变量ξ的概率密度??

?

??≤<-≤≤=其它,02

1,210,

)(x x x x x f ，

求E(x),D(x)

（4）??-+=1

02

12)2(dx x x dx x EX 1)18(31

)14(31=---+=

（4分）

??-+=102123

2)2(dx x x dx x EX 6

7)116(41)18(3241=---+=（3分）

6

1

167)(22=-=-=EX EX DX （3分）

四．证明题（本大题共2小题，总计10分）

2．设)

,2,1(}{Λ=k X k 是独立随机变量序列，且?

???

??

??--++12212212112

1202~k k k k k k X ， 试证}{k X 服从大数定理。

(2))

2(.),2,1(,

12

1

)2(21)2()()()

2(,

0212)211(021

)2()(12212221

2212分分Λ==+?-===+-?+?

-=++++k X E X D X E k k k k k k k k

k k k k

由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。 （1分）

考试科目：概率论与数理统计 考试时间：120分钟 试卷总分100分

一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每小题3分，总计15分）

1．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿A ＿＿

A ．

()()P A B P A += B ．()()P AB P A =

Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 2. 设

()2,,X N μσ:那么当σ增大时，{}-P X μσ<= C

A ．增大

B ．减少

C ．不变

D ．增减不定

3． 设()()

()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则＿A ＿

Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分

1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”

A B C U U ;

2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 (

)2

1523z f z -??- ???

=

;

4．已知()

2

~2,0.4,X N -则()2

3E X +=

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）

１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5

份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。

解.设B 为“取得的报名表为女生的”,i A 为“考生的报名表是第i 个地区的”,i=1,2,3 由全概率公式 2分

3

i 1

()()(|)i i P B P A P B A ==∑ 3分

131711

=+31031535

?+?? 3分 29

90

=

1分 即先取到一份报名表为女生的概率为29

90=. 1分

２．设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤

?，

其他

，求① A 值； ②X 的分布函数()F x ；

③{}1.5 2.5P X << (1) ()()2

1221f x dx Ax dx A +∞

-∞

=+=+=?

?

Q

，1

2

A ∴=- 2分 (2)()()x F x f t dt -∞

=?

1分

0,0

101,

0221,

2

x x dt t dt x x -∞

=+-+≤

?≥??? 3分 20,01,

0241,

2

x x x x x

=-+≤

(3){}()()1.5 2.5 2.5 1.50.0625P X F F <<=-= 3分

３．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()3x 4y ke ,x 0,y 0;(,)0,

f x y -+?>>?=???其它

求：（1）常数A ；

（2）()x y ,落在区域D 的概率，其中(){}D x,y ;0x 1,0

3.

(34)340

ke d d e d 112

x y x y k

x y k e dx y +∞+∞

+∞+∞

-+--==

=??

??，12k ∴= 5分

(){}{}()()12

343

8

00

,01,0212110.9502

x

y

P x y D P X Y e

dx e

dy e

e ----∈=<≤<≤==--≈?? 5分

4 . 设足球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为1

2

，试求平均需比赛几场才能分出胜负

4. 设X 为需要比赛的场数， 1分

则{}148P X ==，{}154P X ==，{}5616P X ==，{}5

716P X ==， 4分

所以()1155

4567 5.8841616

E X =?+?+?+?≈ 4分

答：平均需比赛6场才能分出胜负 1分

２．设{}n X 为相互独立的随机变量序列,

{n 1P X ,n ==

{}n 2

P X 01,n

==-n 2,3,=L 证明{}n X 服从大数定律。

2．(

)(112010n E X n n n ??

=+?+?-= ???

1分

()()(

)

(2

2

2

22112012

n n n D X E X E X n n n =+????

??

=

?+?+?- ???= 2,3,i =L 1分

令121,2,3,,n n i i Y X n n +===∑L 则()()2

0,,n n E Y D Y n

== 2分

0ε?>，由切比雪夫不等式知

(){}

22

1n n P Y E Y n εε

-<≥- 1分

故有

(){}

n lim 1n n P Y E Y ε→∞

-<→，

即{}n X 服从大数定律。 1分

1．对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿D ＿＿

A ．若,A

B 互不相容，则.A 与B 也互不相容

B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容

Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立

2. 假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下

列各式中正确的是＿＿C ＿＿

A ．()F x ＝()F x -；

B ．()F x ＝()F x --；

C ．()f x ＝()f x -；

D ．()f x ＝()f x --； ３. 若()21

1

~,X N

μσ，()22

2

~,Y N μσ，那么(,)X Y 的联合分布为＿＿C ＿＿

Ａ.二维正态，且0ρ=； Ｂ. 二维正态，且ρ不定； Ｃ. 未必是二维正态； Ｄ. 以上都不对 ．

４. 设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则()()()D X Y D X D Y +=+是Ｘ和Ｙ的＿＿C ＿＿

A . 不相关的充分条件，但不是必要条件；

B .独立的必要条件，但不是充分条件；

C . 不相关的充分必要条件；

D . 独立充分必要条件． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分

1. 设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生”

ABC ABC ABC U U ;

2. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k

p X k A k == =L 则A= 1/5 3. 用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示{,}p a X b Y c <≤≤= (,)(,)F b c F a c -; 4．已知()~10,0.6,X N ()~1,2,Y N 且X 与Y 相互独立,则()3D X Y -= 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）

１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为，，，又设他在距离

目标400，200，100（米）的命中率分别为，，。求目标被命中的概率。

1.由全概率公式 2分 0.5*0.010.3*0.020.2*0.10.031++= 7分

目标被命中的概率为0.031. 1分

２．设随机变量X 的概率密度为()f x

=10,x

其他

，求①C 值； ②X 的分布函数()F x ；

③求X 落在区间11

(,)22

-内的概率。

2.(1) (

)1

1f x dx C +∞

-∞

-==?

?

Q

，1

C π

∴=

2分

(2)()()x

F x f t dt -∞

=?

1分

0,111arcsin ,1121,

1x

x x x x π-?≤-?

?==+-<

(3){}()()0.50.50.50.51/3P X F F -<<=--= 3分

３．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：222

21,(,)0,

x y R

f x y R π?+≤?=???其它

求：求关于X 与关于Y 的边缘分布密度；

3. 当R x R -≤≤

时2

()(,)X f x f x y dy R π∞

-∞

===?

，3分

于是

2,()0,X R x R

f x R π??-≤≤=???其他 2分

同理

Y ()0,R x R

f y -≤≤=??

其他 5分

4 .设随机变量X 具有密度函数01()2120x

x f x x

x ≤≤??

=-<≤???

其他，求()E X 及()D X 。

4.1

2

2

1

()(2)1E X x dx x x dx =+-=?? 5分

12

22320

1

()()(2)11/6D X EX EX x dx x x dx =-=+--=?? 5分

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

２．设{}k X ，(1,2)k =L 是独立随机变量序列，21

22120

21111222k k k k k

k X ++??

- ?= ?- ???

证明{}k X 服从大数定律。

2．)

2(.),2,1(,

12

1

)2(21)2()()()

2(,

0212)211(021

)2()(12212221

2212分分Λ==+?-===+-

?+?

-=++++k X E X D X E k k k k k k k k

k k k k

由切比雪夫大数定理可知}{k X 服从大数定理。

（1分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B =U ,则()|P A B = 2/3

2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 17/45

3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 35 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2

210x Xx ++=有实根的

概率为____5/6_____

5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得

{}212P X <<≥ 4/5 .

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）

1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有 B

(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A = 2

(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小

3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=

,2

{0}{0}5

P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= C (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45

4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为,0

()0,0

y Y e y f y y -?≥=?

则{}1P X Y +≥=＿＿D ＿＿

(A) 11e --; (B) 21e --; (C) 212e --; (D) 1

10.5e -- 三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分） 1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，

10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.

解:设A 表示“顾客买下该箱产品” ，i B 分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件” 0,1,2i =

则()0P B =80％，()1P B =10％()2P B =10％，，()0|P A B =1，()4191420

|C P A B C =，()418

2420

|C P A B C =，(3分)

由全概率公式得：()()()2

|i

i

i P A P A B P B ==

=∑448/475，(7分)

由贝叶斯公式得：()()()

000||()

P A B P B P B A P A ==95/112 (10分)

2．已知随机变量X 的密度为,01()0,

ax b x f x +<

?其它,且{1/2}5/8P x >=, 求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x

解: (1) 由1()/2f x dx a b +∞

-∞

=

=+?

, {}1/2

5/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞

=>==+?

解得

1,1/2a b == (4分)

(2) 0.5,01

()0,x x f x +<

其它,当0x <时, (){}0F x P X x =≤=，当01x ≤<时,

(){}()()20

0.5/2x

F x P X x x dx x x =≤=+=+?

, 当1x ≥时, ()1F x =， 所以

()()20,

0/2,011,

1x F x x x x x

=+≤

≥? (10分)

3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21

,01,02;

(,)3

0,

x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ；

（3）求概率{}P X Y >.

解: （1）()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

222/3,01

0,x x x ?+≤≤=??

其他

()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

1/3/6,02

0,

y y +≤≤?=??其他 (4分)

(2) 当02y ≤≤时, ()|(,)|()

X Y Y f x y f x y f y ==2

62,0120,x xy x y ?+≤≤?=+???

其他

当01x <≤时, ()|(,)|()Y X

X f x y f y x f x =223,02

620,

x xy

y x x

?+≤≤?=+??

?其他 (8分) (3) {}P X Y >(,)x y

f x y dy >=

?

120017/243x dx x xy dy ??

=+= ??

??? (10分)

4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设2U X Y =+,2V X Y =-, 求

随机变量U 与V 的相关系数UV ρ

4 .解: ()()E X E Y λ==,()()D X D Y λ==,()3E U λ=,()3E V λ=

()()5D U D V λ==,()()(),43Cov U V D X D Y λ=-=, (8分)

UV ρ

=

/5 (10分)

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立

1. 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，

()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，(2分)所以

()()()

P A B C P AC BC -=-()()

P AC P ABC =-()()()()()P A P C P A P B P C =-()()P A B P C =-

即()()P

A B C -()()P A B P C =-,所以事件A B -与C 也相互独立 (5分)

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1 .设,A B 是两个随机事件, ()=0.7P A , ()=0.3P A B -,则事件“,A B 同时发生” 的

对立事件的概率为

2．设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的

为次品的概率是 3．设随机变量X 与Y 相互独立,X ~()1,2,N Y ~()0,1,N 则随机变量243Z X Y =-+的方差为

24

4．设随机变量X 的数学期望()75E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得

{}750.05P X ε-≥≤,则ε= 10

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小

题，每小题4分，总计20分）

1．设总体X ~2

(1,)N σ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, 则为参数2

σ的无偏估计量的

是( A )

(A) 211()1n i i X X n =--∑; (B) 2

11()n i i X X n =-∑; (C) 21

1n i

i X n =∑; (D) 2X 2. 设X ~(,1)N μ,则满足{}{}22P X P X >=≤的参数μ=( C )

(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3 3．设3{0,0}7P X Y ≥≥=

, 4

{0}{0}7

P X P Y ≥=≥=, 则{max{,}0}P X Y ≥=( C )

(A)

37; (B) 47; (C) 57; (D) 67

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）

1．两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，

现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1) 求 从第二箱中取的球为白球的概率；(2) 若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率

1．解: 设A 表示“从第二箱中取的球为白球” ，i B 分别表示“从第一箱中取的2个球都为

白球,1白1红，2个球都为红球” 1,2,3i =， 则()1P B =2

4210

C C =2/15，()2P B =1146

2

10C C C =8/15，()3P B =2

6210

C C =1/3，()1|P A B =2/3，()2|P A B =7/12，()3|P A B =1/2，(4分) 由全概

率公式得：()()()3

1

|i

i

i P A P A B P B ==

=

∑17/30， 由贝叶斯公式得：

()()()

111||()

P A B P B P B A P A =

=8/51 (10分)

2．设随机变量X 与Y 同分布，X 的概率密度为()f x =2

302

80,

x x ?<≤????，其它 ，事件{}

A X a =>与事件{}

B Y a =>相互独立，且()3

4

P A B =U ，求常数a 的值。

2．解: 由于事件,A B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =()2

P A =????，所以

()()()()P A B P A P B P AB =+-U ()()2

23/4P A P A =-=????，解得

()1/2P A =或()3/2P A =（舍去），(5分) 所以(){}31/2()1/8a

P A P X a f x dx a +∞

==>==-?

，得a = (10分)

3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()43,0,0;(,)x y Ae x y f x y -+?>>?=?

（1）求常数A ；

（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； （3）,X Y 是否相互独立。

3．解：（1）(43)0

1(,)d d e d d 12

x y A

f x y x y A x y +∞+∞

+∞

+∞

-+=

==

??

?

?

，12A ∴= (4分) （2）()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

44,0

0,x e x -?>=??

其他

()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

33,0

0,

x e y -?>=??其他(8分)

（3）()()(,)X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立。(10分)

4 . 设随机变量X ~()1,9N ，Y ~()0,16N ，相关系数12XY ρ=-，设32

X Y Z =+ 求： (1) 随机变量Z 的期望()E Z 与方差()D Z ；

(2) 随机变量X 与Z 的相关系数XZ ρ

4 . 解： (1) X ~()1,9N ，Y ~()0,16N ，所以()1E X =，()0E Y =，()9D X =，

()16D Y =，(,)6XY Cov X Y ρ==- ，所以

()()()11332E Z E X E Y =+=，()()()112

(,)3946

D Z D X D Y Cov X Y =++=(5分)

(2) 由于()11(,)(,)0

32Cov X Z D X Cov X Y =+=，所以0XZ ρ== (10分)

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B U 与事件C 也相互独立.

1. 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，

()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，所以

()()()

P A B C P AC BC =U U ()()()

P AC P BC P ABC =+-()()()()()()()

P A P C P B P C P A P B P C =+-

()()()()()()()P A P B P A P C P A P B P C =+- ()()P A B P C =U

即()()P

A B C U ()()P A B P C =U ,所以事件A B U 与C 也相互独立。(5分)

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）

1. 设,A B 为随机事件,()0.8P A B =U ,()0.4P B =,则()

|P A B = 2/3

2．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为 2/9 3．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则X

Y e =的数学期望为 1e - 4．设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则n =___8___p =

5. 设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得{}

12P X -≥≤

1/12 .

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）

1．设,A B 为事件,且A B ?,则下列式子一定正确的是( B )

(A) ()()P A B P A =U ; (B) ()()P BA P A =; (C) ()()P AB P B =; (D) ()()()P A B P A P B -=-

2. 设随机变量X 的分布率为{}1!

k

P X k a k λ==?, ()1,2,k =L ,则a = ( D )

(A) e λ-; (B) e λ

; (C) 1e λ--; (D) 1e λ-

3. 设(1,1)X N :,概率密度为()f x ,分布函数为()F x ,则有( A )

(A) {1}{1}P X P X ≤=≥; (B) {0}{0}P X P X ≤=≥;

(C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈

4. 设2{1,1}5P X Y ≤≤=

,3

{1}{1}5

P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 45; (B) 925; (C) 35

; (D) 25

5. 设随机变量(),X Y 满足方差()()D X Y D X Y +=-,则必有( B )

(A) X 与Y 独立; (B) X 与Y 不相关;

(C) X 与Y 不独立; (D) ()0D X =或()0D Y =

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子

中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球.

(2) 若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率.

解:设A 表示“取得的为白球” ，i B 分别表示“取得的为第一，二，三盒的球” 1,2,3i = 则

()()()1231/3P B P B P B ===，()1|2/3P A B =，()2|1/3P A B =，()3|1/2P A B =，(2

分)

由全概率公式得：()()()3

1

|i

i

i P A P A B P B ==

=∑1/2，(6分)

由贝叶斯公式得：()()()

111||()

P A B P B P B A P A ==4/9 (10分)

2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,

()arcsin ,1,

x a x F x A B a x a a x a ≤-???

=+-<≤??

>??,其中0a >为常

数。

求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x ;(3) 2a P X a ??<< ???

解: (1) 由()F x 右连续性, ()

()F a F a +-=-， ()

()F a F a +=得02

A B π

-

=，12

A B π

+

=，

解得1/2,1/A B π== (6分)

(2) (

)()0,a x a f x F x -<<'==?

其它, (8分)

(3) 2a P X a ??

<<= ???

()()/2F a F a -=1/3 (10分)

3．设随机变量X 在区间[1,2]上服从均匀分布, 求2X

Y e =概率密度。

3．解: X 的概率密度为()X f x 1,12x ≤≤?=?

，2x y e =，220x

y e '=>，反函数导数

()12h y y

'=

，{}242min ,e e e α==，{}244max ,e e e β==，所以2X Y e =的概率密度为()Y f y ()()(),0,X f h y h y y αβ?'≤≤?=?

??

其他()24

1/2,0,y e y e

?≤≤=??其他(10分)

4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：2,0,01

(,)0,Ay x y y f x y ?<<<<=??

其他

（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；

（3）X 和Y 是否独立

4．解: （1）由(,)1f x y dy +∞

-∞

=?

，得4A = (3分)

(2)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

()21,01

0,

x x ?-≤≤=??其他(6分)

()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

34,01

0,

y y ?≤≤=??其他 (9分)

(3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立(10分)

5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数： 6,

01(,)0,

x x y f x y <<

?其他

求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y

5 .解: ()1/2E X =,(2分)()3/4E Y =,(4分)()3/5E XY = (6分)，所以

(),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=9/40 (10分)

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）

1. 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+ 1. 证明：由于AB C ?，所以()()P AB P C ≤，所以

()()()()P A P B P A B P AB +=+U ()()P A B P C ≤+U ()1P C ≤+ (4分)

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）

1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()

P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为

3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2Y X =的概率密度函数为

()1,040,

Y y f y ?<

??其他

4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2

4E X ??+=??

54

5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}

22P X -≥≤

1/2 .

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小

题，每小题3分，总计18分）

1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( C )

(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()

|P A B ; (D) ()P AB

2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( B )

(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( B )

(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续

4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤=

,5

{1}{1}9

P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( A ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13

5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差()32D X Y -=

( D )

(A) 40; (B) 34; (C) ; (D)

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分） 1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: ,,,

(1) 求恰有2位同学不及格的概率；

(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.

1．解:设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =，

由题意,,A B C 相互独立 (2分)

()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+

()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++= (6分)

(2)()()

|()P BD P B D P D = ()()()

P ABC P ABC P D +==33/47 (10分)

2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2

20,

0(),0

x x F x A Be x -≤??

=??+>?, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x

;(3) )

2P X <<

解: (1) 由()F x 右连续性得()

()00F F +=，即0A B +=, 又由()1F +∞=得，1A =， 解得

1,1A B ==- (5分)

(2) ()2

2,0()0,

x

xe x f x F x -??>'==???其它, (8分)

(3) )2P X <<(

)2F F

=-1

2e

e --=- (10分)

3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:

,0()0,0x X e x f x x -?>=?

≤?

,1,01

()0,Y y f y <

3．解: 由于随机变量X 与Y 相互独立,所以Z X Y =+的密度函数为

()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞

=-?

(2分)

1

,01

,10,0z x z x z

e dy z e dy z z ---?<

?

?? 11,01,10,0z z z e z e e z z ---?-<

4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,

02,(,)0,

A x y x

f x y ?<<<=?

?其他

（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；

（3）X 和Y 是否独立

4．解: （1）由(,)1f x y dy +∞

-∞

=?

，得1/4A = (2分)

(2)()(,)X f x f x y dy +∞

-∞

=

?

1/4,02

0,

x

x dy x -?≤≤?=????其他 /2,020,x x ≤≤?=??其他 (5分)

()(,)Y f y f x y dx +∞

-∞

=?

221/4,20

1/4,020,y

y dx y dx y -?-≤

=?≤

??其他()()2/4,202/4,020,y y y y +-≤

?其他 (9分)

(3) ()()(,)X Y f x f y f x y ≠，不独立(10分)

5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01

(,)0,y x y y f x y <<<

其他

求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y

5 .解: ()3/8E X =,(2分) ()3/4E Y =,(4分) ()3/10E XY = (6分)，所以

(),Cov X Y ()()()E XY E X E X =-=3/160, (10分)

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）

1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤

1. 证明： 因为()()()()P AB P BC P AB BC P ABC +=+U ,又由于AB BC B ?U ,ABC AC ?，所以()()P AB BC P B ≤U ，()()P ABC P B ≤,所以

()()()()P AB P BC P B P AC +≤+,即()()()()P AB P BC P B P AC +-≤ (4分)