浙教版八年级数学上册 第2章 特殊三角形 单元检测试题
第2章特殊三角形单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
1. 下列说法不成立的是（）
A.若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线
B.两图形若关于某直线对称，则两图形能重合
C.等腰三角形是轴对称图形
D.线段的对称轴只有一条
2. 下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）
A.一锐角对应相等
B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.两条直角边对应相等
3. 使两个直角三角形全等的条件是（）
A.一组锐角相等
B.斜边对应相等
C.一条直角边对应相等
D.两条直角边对应相等
4. 在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（）
A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.正六边形
5. 下列图形中，对称轴最多的图形是（）
A. B.
C. D.
6. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）
A.750米
B.1000米
C.1500米
D.2000米
7. 把两块形状大小完全相同的含有45°角的三角板的一边拼在一起，则所得到的图形不可能有（）
A.正方形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.平行四边形（非矩形、菱形、正方形）
8. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（）
A.2
B.4
C.2√2
D.3√2
9. 已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3(m<3)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）
A.m2+6m+9＝0
B.m2?6m+9＝0
C.m2+6m?9＝0
D.m2?6m?9＝0
10. 如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：
①以点O为中心逆时针方向旋转180°；
②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；
③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．
其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是（）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
11. 已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝________．
12. 已知直角三角形的两直角边长分别是3，4，则它的周长为________．
13. 已知△ABC，AB=AC，请补充一个条件________，使△ABC成为等边三角形．
14. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于________．
15. 等腰三角形有一个内角等于110°，则它的底角等于________度．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN=________.
17. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE=________°．
18. 若△ABC中AB＝AC，且面积为定值，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF．当PF＝3，C到AB的距离CH＝7时，P到AB的距离为________．
19. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是
________．
20. 如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝________．
三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）
21. 如图，AC和BD相交于点O，且AB?//?DC，OA=OB，求证：△COD是等腰三角
形．
22. 如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA．
（1）求证：∠BAD=∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连结DM，AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
23. 如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
24. 如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
(1)求证：∠ACD=∠B；
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
25. 已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，CD⊥AB于D，求CD的长．
26. 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法是欧几里得证法,如图所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．
(1)叙述勾股定理并结合图形写出已知，求证；
(2)根据图中所添加的辅助线证明勾股定理．
参考答案
一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.
【答案】
D
【解答】
解：A、若两图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的中垂线，正确，故本选项错误；
B、两图形若关于某直线对称，则两图形是全等形，即能够完全重合，正确，故本选项错误；
C、等腰三角形是轴对称图形，正确，故本选项错误；
D、线段有两条对称轴，是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线，错误，故本选项正确；
故选D．
2.
【答案】
D
【解答】
解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；
而B构成了AAA，不能判定全等；
D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故选D．
3.
【答案】
D
【解答】
解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故本选项错误；
B、无法证明两条直角边对应相等，不能证明两三角形全等，故本选项错误；
C、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，故本选项错误；
D、若是两条直角边相等，可利用SAS证全等，故本选项正确．
故选：D．
4.
【答案】
A
【解答】
解：A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；
B、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误；
C、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；
D、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误．
故选A．
5.
【答案】
D
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
B
【解答】
解：如图：作A关于CD的对称点A′，连结A′B，交CD于M，
∴ CA′=AC，
∴ AC=DB，
∴ CA′=BD，
由分析可知，点M为饮水处，
∴ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ ∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°，
又∴ ∠A′MC=∠BMD，
在△CA′M和△DBM中，
{∠A′MC=∠BMD,∠A′CM=∠BDM, CA′=BD,
∴ △CA′M?△DBM(AAS)，
∴ A′M=BM，CM=DM，
即M为CD中点，
∴ AM=BM=A′M=500米，
∴ 最短距离为2AM=2×500=1000米.
故选B．
7.
【答案】
B
【解答】
解：将两块三角板的斜边拼在一起可得正方形，
将一条直角边拼在一起可得等腰直角三角形和平行四边形．故选B．
【答案】
C
【解答】
延长DC到D′，使CD＝CD′，G关于C对称点为G′，则FG＝FG′，
同样作D′A′⊥CD′，D′A′＝DA，H对应的位置为H′，则G′H′＝GH，再作A′B′⊥D′A′，E的对应位置为E′，
则H′E′＝HE．
容易看出，当E、F、G′、H′、E′在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE′=√(2AB)2+(2BC)2=√4+4=2√2．
9.
【答案】
C
【解答】
如图，
m2+m2＝(3?m)2，
2m2＝32?6m+m2，
m2+6m?9＝0．
【答案】
C
【解答】
根据题意分析可得：②③都可以使△ABC变换成△PQR．
二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
11.
【答案】
60°
【解答】
解：在等腰△ABC中，AB=AC,∠B=60°，根据等腰三角形中两底角相等可得：∠B=∠C 所以∠A=180°?2×60°=60°
故答案为60°
12.
【答案】
12
【解答】
由勾股定理得，直角三角形的斜边长=√32+42=5，
则三角形的周长＝3+4+5＝12，
13.
【答案】
AB=BC或AC=BC
【解答】
解：本题答案不唯一；例如：BC=AB、∠BAC=60°等．下面以BC=AB为结论进行推理．∴ △ABC为等边三角形，
∴ AB=AC=BC，
而AB=AC（已知），
∴ 补充一个条件AB=BC或AC=BC；
故答案可以是：AB=BC或AC=BC（答案不唯一）．
14.
【答案】
20°
【解答】
解：∴ 等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，
=70°，
∴ ∠ACB=∠B=180°?∠A
2
∴ CD⊥AB，
∴ ∠ACD=90°?∠A=50°，
∴ ∠DCB=∠ACB?∠ACD=70°?50°=20°．
故答案为：20°．
15.
【答案】
35
【解答】
∴ 等腰三角形的一个内角等于110°，
∴ 等腰三角形的顶角为110°，
∴ 等腰三角形的底角为35°，
16.
【答案】
12
5
【解答】
解：连接AM，
∴ AB=AC，点M为BC中点，
∴ AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∴ AB=AC=5，BC=6，
∴ BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴ 根据勾股定理得：AM=√AB2?BM2=√52?32=4，
又S△AMC=1
2MN?AC=1
2
AM?MC，
∴ MN=AM?CM
AC =12
5
．
故答案为：12
5
.
17.
【答案】
60【解答】
解：如图所示：
连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∴ △ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴ PC=PB，
∴ PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BCE=60°，
∴ BA=BC，AE=EC，
∴ BE⊥AC，
∴ ∠BEC=90°，
∴ ∠EBC=30°，
∴ PB=PC，
∴ ∠PCB=∠PBC=30°，
∴ ∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.
故答案为：60.
18.
【答案】
10或4
【解答】
如图①，
∴ PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ S△ABP=1
2AB?PE，S△ACP=1
2
AC?PF，S△ABC=1
2
AB?CH．
又∴ S△ABP+S△ACP＝S△ABC，
∴ 1
2AB?PE+1
2
AC?PF=1
2
AB?CH．
∴ AB＝AC，
∴ PE+PF＝CH，
∴ PE＝7?3＝4；
如图②，PE＝PF+CH．证明如下：∴ PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ S△ABP=1
2AB?PE，S△ACP=1
2
AC?PF，S△ABC=1
2
AB?CH，
∴ S△ABP＝S△ACP+S△ABC，
∴ 1
2AB?PE=1
2
AC?PF+1
2
AB?CH，
又∴ AB＝AC，
∴ PE＝PF+CH，
∴ PE＝7+3＝10；
19.
【答案】
18°【解答】
解：∴ AB=AC，∠A=36°，
∴ ∠ABC=∠ACB=72°
∴ BD是AC边上的高，
∴ BD⊥AC，
∴ ∠DBC=90°?72°=18°．
故答案为：18°．
20.
【答案】
25s
【解答】
∴ 等边三角形ABC的周长为30cm，
∴ △ABC的边长为10cm，
由题意知，P、Q第一次时间为20÷(6+14)＝1（秒）
以后每隔30÷(6+14)＝1.5秒，P、Q就会相遇一次，
设P、Q相遇次数为n次，则
当6×1+6×1.5(n?1)＝10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，整理得，9n＝10k+3，
∴ n=10k+3
9=k+k+3
9
（k为正整数）
∴ 当k＝6时，即n＝6+1＝7时，P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇，则t1＝1+1.5(n?1)＝10（秒）；
当k＝15时，即n＝15+2＝17时，P、Q两点第二次在三角形ABC的顶点处相遇，则t2＝1+1.5(n?1)＝25（秒）．
三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）
21.
【答案】
证明：∴ OA=OB，
∴ △OAB是等腰三角形，
∴ ∠A=∠B，
又∴ AB?//?DC，
∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ ∠C=∠D，
∴ △COD是等腰三角形．
【解答】
证明：∴ OA=OB，
∴ △OAB是等腰三角形，
∴ ∠A=∠B，
又∴ AB?//?DC，
∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ ∠C=∠D，
∴ △COD是等腰三角形．
22.
【答案】
（1）证明：如图1，∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=60°．
又∴ ∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDC+∠DEC=∠ACB，
∴ ∠BAD+∠DAC=∠EDC+∠DEC．
∴ DE=DA，
∴ ∠DAC=∠DEC，
∴ ∠BAD=∠EDC．
（2）解：猜想：DM=AM．理由如下：
∴ 点M，E关于直线BC对称，
∴ ∠MDC=∠EDC，DE=DM．
又由（1）知∠BAD=∠EDC，
∴ ∠MDC=∠BAD．
∴ ∠ADC=∠BAD+∠B，
即∠ADM+∠MDC=∠BAD+∠B，
∴ ∠ADM=∠B=60°．
又∴ DA=DE=DM，
∴ △ADM是等边三角形，
∴ DM=AM．
【解答】
（1）证明：如图1，∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=∠ACB=60°．
又∴ ∠BAD+∠DAC=∠BAC，
∠EDC+∠DEC=∠ACB，
∴ ∠BAD+∠DAC=∠EDC+∠DEC．
∴ DE=DA，
∴ ∠DAC=∠DEC，
∴ ∠BAD=∠EDC．
（2）解：猜想：DM=AM．理由如下：
∴ 点M，E关于直线BC对称，
∴ ∠MDC=∠EDC，DE=DM．
又由（1）知∠BAD=∠EDC，
∴ ∠MDC=∠BAD．