电磁场与微波技术实验3
北华开放性实验报告
实验项目：对称天线和天线阵的方向图
所属课程：电磁场与电磁波
实验类型：分析型
实验日期：2012-5-10
班级：信息10—1
学号：
姓名：
成绩：
实验三 对称天线和天线阵的方向图
实验目的：1、熟悉对称天线和天线阵的概念；
2、熟悉不同长度对称天线的空间辐射方向图；
3、理解天线阵的概念和空间辐射特性。
实验原理：两部分长度相等而中心断开并接以馈电的导线，可用作发射和接收天
线，这样构成的天线叫做对称天线。因为天线有时也称为振子，所以对称天线又叫对称振子，或偶极天线。总长度为半个波长的对称振子，叫做半波振子，也叫做半波偶极天线。它是最基本的单元天线，用得也最广泛，很多复杂天线是由它组成的。
实验步骤：1、对称天线的二维极坐标空间辐射方向图
（1） 建立对称天线二维极坐标空间辐射方向函数的数学模型 （2） 利用matlab 软件进行仿真
（3） 观察并分析仿真图中不同长度对称天线的空间辐射特性 E 面方向函数：()()()()
()
cos cos cos 2,,sin l l F βθβπ
θ?βθλ
-=
=
2、天线阵—端射阵和边射阵
（1）建立端射阵和边射阵空间辐射方向函数的数学模型 （2）利用matlab 软件进行仿真
（3）观察并分析仿真图中两种天线阵的空间辐射特性
实验三 对称阵子天线的方向图 1、对称天线方向图
clc clear
lambda=1;%自由空间的波长
L0=1; %改变L0值，得到不同长度对称阵子的方向图 L=L0*lambda; %分别令L=λ/4,λ/2,3λ/4,λ,3λ/2,2λ k=2*pi/lambda;%自由空间的相移常数 theta0=[0.0001:0.1:360]; theta=theta0*pi/180; for i=1:length(theta0)
fe(i)=abs((cos(k*L*cos(theta(i)))-cos(k*L))/sin(theta(i))); end
polar(theta,fe/max(fe)); %画归一化方向图
title('L =λ时对称阵子天线的方向图')%L 的长度不同，标题不同
90
270
180
0L=λ时对称阵子天线的方向图
当L=L0*lambda/4时
90
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0L=λ时对称阵子天线的方向图
当L=L0*lambda/2时
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270
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0L=λ时对称阵子天线的方向图
当L=L0*lambda*3/4时
90
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0L=λ时对称阵子天线的方向图
当L=L0*lambda*3/2时
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0L=λ时对称阵子天线的方向图
当L=L0*lambda*2时
90
270
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0L=λ时对称阵子天线的方向图
2、十二元均匀直线阵的方向图
(1)间距为/2λ的十二元均匀端射阵的分析 十二元均匀直线函数为()()
1sin 6A 12sin /2ψ
ψψ=，其中：cos kd ψ?ξ=+，其零点
发生在25,,,,,6
3
2
36
π
π
π
ππψπ=±
±
±
±
±±处。 将阵间距/2d λ=代入上式，得cos ψπ?ξ=+。
clear all
N=12;%天线阵的元数 x=0:0.01:pi;
y=abs(sin(N*x./2)./sin(x/2))/N; plot(x,y)
title('十二元均匀直线阵归一化方向图') xlabel('ψ') ylabel('|A(ψ)|') hold off
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
00.10.20.30.40.50.6
0.70.80.9
1十二元均匀直线阵归一化方向图
ψ
|A (ψ)|
(2)十二元均匀端射阵方向图ξπ=±
cos ψπ?ξ=+
clear all
N=12; %天线阵的元数 a=pi;%a=ξ x=-pi:0.01:pi;
A=abs(sin(N*(pi*cos(x)+a)./2)./sin((pi*cos(x)+ a)/2))/N; polar(x,A);
title('十二元均匀端射阵方向图'); hold off
90
270
180
0十二元均匀端射阵方向图
(3) 十二元均匀边射阵方向图0ξ=
cos ψπ?ξ=+
clear all a=0;%a=ξ
N=12; %天线阵的元数 x=-pi:0.01:pi;
A=abs(sin(N*(pi*cos(x)-a)./2)./sin((pi*cos(x)-a)/2))/N; polar(x,A);
title('十二元均匀端射阵方向图'); hold off
90
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0十二元均匀端射阵方向图
浙江大学-电磁场与电磁波实验(第二次).doc
本科实验报告 课程名称：电磁场与微波实验 姓名：wzh 学院：信息与电子工程学院 专业：信息工程 学号：xxxxxxxx 指导教师：王子立 选课时间：星期二9-10节 2017年 6月 17日 Copyright As one member of Information Science and Electronic Engineering Institute of Zhejiang University, I sincerely hope this will enable you to acquire more time to do whatever you like instead of struggling on useless homework. All the content you can use as you like. I wish you will have a meaningful journey on your college life. ——W z h 实验报告 课程名称：电磁场与微波实验指导老师：王子立成绩：__________________ 实验名称： CST仿真、喇叭天线辐射特性测量实验类型：仿真和测量 同组学生姓名： 矩形波导馈电角锥喇叭天线CST仿真 一、实验目的和要求 1. 了解矩形波导馈电角锥喇叭天线理论分析与增益理论值基本原理。 2．熟悉 CST 软件的基本使用方法。 3．利用 CST 软件进行矩形波导馈电角锥喇叭天线设计和仿真。 二、实验内容和原理 1. 喇叭天线概述 喇叭天线是一种应用广泛的微波天线,其优点是结构简单、频带宽、功率容量大、调整与使用方便。合理的选择喇叭尺寸,可以取得良好的辐射特性：相当尖锐的主瓣,较小副瓣和较高的增益。因此喇叭天线在军事和民用上应用都非常广泛,是一种常见的测试用天线。喇叭天线的基本形式是把矩形波导和圆波导的开口面逐渐扩展而形成的,由于是波导开口面的逐渐扩大,改善了波导与自由空间的匹配,使得波导中的反射系数小,即波导中传输的绝大部分能量由喇叭辐射出去,反
北邮电磁场与微波技术实验实验一
实验一网络分析仪测量振子天线输入阻抗 一，实验目的 1.掌握网络分析仪矫正方法； 2.学习网络分析仪测量振子天线输入阻抗的方法； 3.研究振子天线输入阻抗随振子电径变化的情况。 二，实验步骤 1.设置仪表为频域模式的回损连接模式后，矫正网络分析仪； 2.设置参数并加载被测天线，开始测量输入阻抗； 3.调整测试频率寻找天线的两个谐振点并记录相应阻抗数据； 4.更换不同电径（Φ1，Φ3，Φ9）的天线，分析两个谐振点的阻抗变化情况。 三，实验原理 当双振子天线的一端变为一个无穷大导电平面后，就形成了单振子天线。实际上当导电平面的径向距离大到0.2~0.3λ，就可以近似认为是无穷大导电平面。这时可以采用镜像法来分析。天线臂与其镜像构成一对称振子，则它在上半平面辐射场与自由空间对称振子的辐射场射相同。 由于使用坡印廷矢量法积分求其辐射功率只需对球面上半部分积分，故其辐射功率为等臂长等电流分布的对称振子的一半，其辐射电阻也为对称振子的一半。当h<<λ时，可认为 R≈40(πh)2 。由于天线到地面的单位长度电容比到对称振子另一个臂的单位长度电容大一λ ?1] 倍，则天线的平均特征阻抗也为等臂长对称振子天线的一半，为W=60[ln2h a 四，实验数据 试验参数：BF=600，ΔF=25，EF=2600，n=81 1.短路时矫正，阻抗点分布：
2.开路时矫正，阻抗点分布： 3.选择电径为Φ1=1mm的天线，阻抗点分布：
由图及数据表可知其谐振点频率约为1225MHz，第二谐振点频率约为2450MHz，即第二次谐振时频率约为第一次两倍。 4.选择电径为Φ3=3mm的天线，阻抗点分布：
北邮电磁场与微波实验天线部分实验报告二
北邮电磁场与微波实验天线部分实验报告二
信息与通信工程学院电磁场与微波实验报告
实验二网络分析仪测试八木天线方向图 一、实验目的 1．掌握网络分析仪辅助测试方法； 2．学习测量八木天线方向图方法； 3．研究在不同频率下的八木天线方向图特性。 注：重点观察不同频率下的方向图形状，如：主瓣、副瓣、后瓣、零点、前后比等; 二、实验步骤: (1) 调整分析仪到轨迹（方向图）模式; (2) 调整云台起点位置270°； (3) 寻找归一化点(最大值点); (4) 旋转云台一周并读取图形参数; (5) 坐标变换、变换频率（f600Mhz、900MHz、1200MHz），分析八木天线方向图特性； 三、实验测量图 不同频率下的测量图如下： 600MHz：
900MHz：
1200MHz：
四、结果分析 在实验中，分别对八木天线在600MHz、900MHz、1200MHz频率下的辐射圆图进行了测量，发现频率是900MHz的时候效果是最好的，圆图边沿的毛刺比较少，方向性比较好，主瓣的面积比较大。 当频率为600 MHz的时候，圆图四周的毛刺现象比较严重，当频率上升到1200MHz时，辐射圆图开始变得不规则，在某些角度时出现了很大的衰减，由对称转向了非对称，圆图边缘的毛刺现象就非常明显了，甚至在某些角度下衰减到了最小值。 从整体来看，八木天线由于测量的是无线信号，因此受周围环境的影响还是比较大的，因此在测量的时候周围的人应该避免走动，以减小对天线电磁波的反射从而减小测量带来的误差使得圆图更接近真实情况。 由实验结果分析可知：最大辐射方向基本在90°和270°这条直线上，图中旁瓣均较小，及大部分能量集中在主瓣。 八木天线由于测量的是无线信号，因此受周围环境的影响还是比较大的，因此在测量的时候应当尽量保持周边环境参数一定，以减小对天线电磁波的反射从而减小测量带来的误差使得圆图更接近真实情况。 五、实验总结
电磁场与微波技术实验天线部分实验二
信息与通信工程学院 电磁场与微波实验天线部分报告 XXX班 XXXX 学号：XXXXX 实验二 网络分析仪测试八木天线方向图 一、实验目的： 1.掌握网络分析仪辅助测试方法 2.学习测量八木天线方向图方法 3.研究在不同频率下的八木天线方向图特性 二、实验步骤: （1）调整分析仪到轨迹（方向图）模式 （2）调整云台起点位置270° （3）寻找归一化点（最大值点） （4）旋转云台一周并读取图形参数 （5）坐标变换、变换频率（F=600MHz、900MHZ、1200MHZ），分析八木天线方向图三、实验原理 实验中用的是七单元八木天线，包括一个有源振子，一个反射器，五个引向器（在此图中再加2个引向器即可） 八木天线原理图
引向器略短于二分之一波长，主振子等于二分之一波长，反射器略长于二分之一波长，两振子间距四分之一波长。此时，引向器对感应信号呈“容性”，电流超前电压90°；引向器感应的电磁波会向主振子辐射，辐射信号经过四分之一波长的路程使其滞后于从空中直接到达主振子的信号90°，恰好抵消了前面引起的“超前”，两者相位相同，于是信号叠加，得到加强。反射器略长于二分之一波长，呈感性，电流滞后90°，再加上辐射到主振子过程中又滞后90°，与从反射器方向直接加到主振子上的信号正好相差了180°，起到了抵消作用，一个方向加强，一个方向削弱，便有了强方向性。发射状态作用过程亦然。 3.实验步骤 四、实验测量图 不同频率下的测量图如下： 600MHz: 最大增益方向：73度，幅度：1 3dB点：55度，幅度：0.715 3dB点：97度，幅度：0.703 主瓣宽度： 97-55=42度
北邮电磁场与微波测量实验报告实验五极化实验
北邮电磁场与微波测量实验报告 实验五极化实验 学院：电子工程学院 班号：2011211204 组员： 执笔人： 学号：2011210986
一、实验目的 1．培养综合性设计电磁波实验方案的能力 2．验证电磁波的马吕斯定理 二、实验设备 S426型分光仪 三、实验原理 平面电磁波是横波，它的电场强度矢量E 和波长的传播方向垂直。如果E 在垂直于传播方向的平面沿着一条固定的直线变化，这样的横电磁波叫线极化波。在光学中也叫偏振波。偏振波电磁场沿某一方向的能量有一定关系。这就是光学中的马吕斯定律： 2 0cos I I θ = 式中I 为偏振波的强度，θ为I 与I0间的夹角。 DH926B 型分光仪两喇叭口面互相平行，并与地面垂直，其轴线在一条直线上，由于接收喇叭是和一段旋转短波导连在一起的；在该轴承环的90度围，每隔5度有一刻度，所以接收喇叭的转角可以从此处读到。 四、实验步骤 1．设计利用S426型分光仪验证电磁波马吕斯定律的方案； 根据实验原理，可得设计方案：将S426型分光仪两喇叭口面互相平行，并与地面垂直，其轴线在一条直线上，由于接收喇叭是和一段旋转短波导连在一起的；在该轴承环的90度围，每隔5度有一刻度，接收喇叭课程从此处读取θ（以10度为步长），继而进行验证。 2．根据设计的方案，布置仪器，验证电磁波的马吕斯定律。 实验仪器布置 通过调节，使A1取一较大值，方便实验进行。 然后，再利用前面推导出的θ，将仪器按下图布置。
五、实验数据 I（uA） θ° 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 理论值90 87. 3 79. 5 67. 5 52. 8 37. 2 22. 5 10. 5 2.7 0 实验值90 88 82 69 54 37 20 8 2 0.2 相对误差% 0 0.8 0.6 2.2 2.3 0.5 11. 1 14. 3 25. 9 - 1、数据分析： 由数据可看出，实验值跟理论值是接近的，相对误差基本都很小，在误差允许围，所以可以认为马吕斯定律得到了验证。 2、误差分析： 实验中可能存在仪器仪表误差，人为误差以及各组互相影响造成的误差等。但是角度比较大的时候，相对误差都比较小，也比较精准。角度比较小的时候，由于理论值较小，相对误差会大一点，但是从整体趋势来看，结果也是合理的。所以不影响我们对马吕斯定律进行验证。 六、思考题 1、垂直极化波是否能够发生折射？为什么？给出推导过程。 答：不能。 A1
北邮电磁场与微波技术实验天线部分实验一
北邮电磁场与微波技术实验天线部分实验一最新
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信息与通信工程学院 电磁场与微波实验报告 实验题目：网络分析仪测量振子天线输入阻抗 班级：2011211106 姓名：吴淳 学号：2011210180 日期：2014年3月
实验一网络分析仪测量阵子天线 输入阻抗 一、实验目的 1. 掌握网络分析仪校正方法； 2. 学习网络分析仪测量振子天线输入阻抗的方法； 3. 研究振子天线输入阻抗随阵子电径变化的情况。 注：重点观察谐振点与天线电径的关系。 二、实验原理 当双振子天线的一端变为一个无穷大导电平面后，就形成了单振子天线。实际上当导电平面的径向距离大到0.2~0.3λ，就可以近似认为是无穷大导电平面。这时可以采用镜像法来分析。天线臂与其镜像构成一对称振子，则它在上半平面辐射场与自由空间对称振子的辐射场射相同。 图1 实验原理图
由于使用坡印亭矢量法积分求其辐射功率只需对球面上半部分积分，故其辐射功率为等臂长等电流分布的对称振子的一半，其辐射电阻也为对称振子的一 半。当h<<λ时，可认为R≈40 。由于天线到地面的单位长度电容比到对称振子另一个臂的单位长度电容大一倍，则天线的平均特征阻抗也为等臂长对称振子天线的一半，为=60[ln(2h/a)-1]。 三、实验步骤： 1. 设置仪表为频域模式的回损连接模式后，校正网络分析仪； 2. 设置参数并加载被测天线，开始测量输入阻抗； 3. 调整测试频率寻找天线的两个谐振点并记录相应阻抗数据； 4. 更换不同的电径（对应1mm, 3mm, 9mm）的天线，分析两个谐振点的阻抗 变化情况； 5. 设置参数如下： BF=600MHz，△F=25MHz，EF=2600MHz，n=81. 6. 记录数据：在smith圆图上的输入阻抗曲线上，曲线的左端输入阻抗虚部 为0的点为二分之一波长谐振点，曲线的右端输入阻抗虚部为0的点为四分之一波长谐振点。记录1mm，3mm，9mm天线的半波长和四分之一波长的谐振点。 四、实验数据： 1. 直径=1mm时： 第一谐振点处频率约为（取最接近点）F=1250MHz，电阻R=41.88ohm, SWR=1.193, RL=-20.0dB。 第二谐振点处频率约为（取最接近点）F=2450MHz，电阻R=626.8ohm, SWR=12.54,
电磁场与微波实验指导书实验一
电磁场与微波实验指导 书实验一 Revised as of 23 November 2020
实验一微波基础计算器与MWO软件熟悉 一、实验目的 1.掌握传输线（长线）基本理论； 2.熟练掌握Smith圆图的工作原理； 3.熟练使用微波技术基础计算器计算单枝节线匹配。 4.熟悉MWO软件界面和基本操作。 二、实验原理 微波技术基础计算器是以微波计算为基础的进行专业计算的工具。实现了微波技术基础理论中长线（传输线）理论、Smith圆图、网络理论等部分的计算。此计数器共包括：长线上任意点输入阻抗、反射系数、行波系数、驻波比的计算；smith圆图的绘制；任意长线和负载的单枝节匹配；双口网络S、Z、Y、A参数的相互转换。 1、长线理论 基础知识回顾：--微波传输线（长线）理论 (Q1: 传输线理论中基本物理量是什么) 电压波与电流波（入射与反射）关系： 理想(无耗)均匀传输线的传输特性归结为两个实数：传播常数和特性阻抗。传输线理论三套参量：输入阻抗in，反射系数，驻波参量（驻波系数和最小距离l min） 三套参量间的换算关系： 三套参量同时一个单位圆内表示
1）由横坐标表示反射系数实部，纵坐标表示反射系数虚部，构成反射系数复平面； 2）对于一个无耗均匀传输线，其反射系数的模是不变的，变化的是位相（位置）构成反射系数同心圆；以负载为参考面向源移动时，位相角减少，顺时针转动 3）驻波系数在反射系数复平面上也是同心圆， 4) 阻抗在反射系数复平上表示时要归一化；某一点的阻抗由经过该点的等电阻圆与等电抗弧线确定。 2、并联单枝节传输线匹配 1) 终端短路传输线相当于一个纯电抗 2) 在主传输线上并联一个短路面位置可调的支路传输线，相当并联一个可变电抗。 3) 由于并联枝节，进行匹配设计时用导纳方法表示更为方便。 三、 微波基础计算器的使用 有了这些基本概念之后，我们就可以学习微波计算器的使用方法。这个计算器实际上就是利用以上的公式，编成、作图完成的，国内外也还有很多类似的软件。微波计算器的主界面如图1所示。 图1 微波计算器主界面 选择图1中所示的“长线”工具。出现如图2所示的窗口。 开路 匹配
考研专业介绍：电磁场与微波技术
非统考专业介绍：电磁场与微波技术 一、专业介绍 电磁场与微波技术隶属于电子科学与技术一级学科。 1、研究方向 目前，各大院校与电磁场与微波技术专业相关的研究方向都略有不同的侧重点。以西安电子科技大学为例，该专业研究方向有： 01电磁兼容、电磁逆问题、计算微波与计算电磁学 04计算电磁学、智能天线、射频识别 07宽带天线、电磁散射与隐身技术 08卫星通信、无线通信、智能天线、信号处理 09天线理论与工程及测量、新型天线 10电磁散射与微波成像 11天线CAD、工程与测量 13移动卫星通信天线 14天线理论与工程 16电磁散射与隐身技术 17电磁兼容、微波测量、信号完整性分析 20移动通信中的相控阵、共形相控阵天线技术 21计算微波与计算电磁学、微波通信、天线工程、电磁兼容 22电阻抗成像、电磁兼容、非线性电磁学 23天线工程与CAD、微波射频识别技术、微波电路与器件 24电磁场、微波技术与天线电磁兼容 25天线测量技术与伺服控制 26天线理论与工程技术 27天线近远场测试技术及应用、无线网络通讯技术 28天线工程及数值计算 29微波电路与微波工程 30近场辐射及散射测量理论与技术 31微波系统和器件设计、电磁场数值计算 32电磁新材料、计算电磁学、电磁兼容 33计算电磁学、电磁兼容、人工合成新材料 34计算电磁学 35电磁隐身技术、天线理论与工程 36宽带小型化天线及电磁场数值计算 37射频识别、多天线技术 38天线和微波器件的宽带设计、小型化设计 2、培养目标 本专业培养德、智、体全面发展，在电磁信号（高频、微波、光波等）的产生、交换、发射、传输、传播、散射及接收等有关的理论与技术和信息（图像、语音、数据等）的获取、处理及传输的理论与技术两大方面具有坚实的理论基础和实验技能，了解本学科发展前沿和动态，具有独立开展本学科科学研究工作能力的高层次人才。 3、专业特色
电磁场与微波技术实验指导书(新)
电磁场与微波技术实验指导书 XXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXX
注意事项 一、实验前应完成各项预习任务。 二、开启仪器前先熟悉实验仪器的使用方法。 三、实验过程中应仔细观察实验现象，认真做好实验结果记录。 四、培养踏实、严谨、实事求是的科学作风。自主完成实验和报告。 五、爱护公共财产，当发生仪器设备损坏时，必须认真检查原因并按规 定处理。 六、保持实验室内安静、整洁和良好的秩序，实验后应切断所用仪器的 电源 ,并将仪器整理好。协助保持实验室清洁卫生, 带出自己所产生的赃物。 七、不迟到，不早退，不无故缺席。按时交实验报告。 八、实验报告中应包括： 1、实验名称。 2、实验目的。 3、实验内容、步骤，实验数据记录和处理。 4、实验中实际使用的仪器型号、数量等。 5、实验结果与讨论，并得出结论，也可提出存在问题。 6、思考题。
实验仪器 JMX－JY－002电磁波综合实验仪 一、概述 电磁波综合实验仪，提供了一种融验证与设计为一体的电磁波实验的新方法和装置。它能使学生通过应用本发明方法和装置进行电磁场与电磁波实验，透彻地了解法拉第电磁感应定律、电偶极子、天线基本结构及其特性等重要知识点，使学生直观形象地认识时谐电磁场，深刻理解电磁感应的原理和作用，深刻理解电偶极子和电磁波辐射原理，掌握电磁场和电磁波测量技术的原理和方法，帮助学生建立电磁波的形象化思维方式，加深和加强学生对电磁波产生、发射、传输和接收过程及相关特性的认识，培养学生对电磁波分析和电磁波应用的创新能力。《JMX-JY-002电磁波综合实验仪》在001型基础上，添加了对天线不同极化角度的测量，学生通过测量，可绘制不同极化天线的方向图，使得学生对电磁波的感受更加深刻。 二、特点 1、理论与实践结合性强 2、直接面向《电磁场与波》的课程建设与改革需要，紧密配合教学大纲，使课堂环节与实验环节紧密结合。 3、针对重要知识点“电磁场与电磁波”课堂教学环节长期存在难于直观表达的困难，形象地体验抽象的知识。 4、实验内容的设置，融综合性、设计性与验证性与一体，帮助学生建立一套电磁波的形象化思维方式，加深和加强对电磁波产生、发射、传输、接收过程及相关特性的认识。 5、培养学生对电磁波分析和电磁波应用的创新能力。 三、系统配置及工作原理 （1）系统配置 1、JMX-JY-002电磁波教学综合实验仪主机控制系统：通过常规控制仪表与微波功率信号发生器、功率信号放大器构成电磁波教学综合实验仪主机控制系统，实现了对被控电磁场与波信号发射控制。 2、测试支架平台：包括支撑臂、测试滑动导轨、测量尺、天线连接杆件、感应器连接杆件、反射板连接杆件、微安表等组件。 3、测试套件：包括多极化天线（垂直极化、水平极化、左右螺旋极化）、射频连接电缆套件、感应器、感应器连接电缆、极化尺、标准测试天线板、反射板等构成测试套件。 （2）工作原理 实验仪主机控制系统的微波信号源产生微波信号，经由微波功率放大器放大后输出至OUTPUT端口，通过射频电缆将输出信号传送给发射天线向空间发射电磁波信号作为实验测试
北邮电磁场与微波测量实验报告实验五极化实验
北邮电磁场与微波测量实验报告实验五极化实验
北邮电磁场与微波测量实验报告 实验五极化实验 学院：电子工程学院 班号：2011211204 组员： 执笔人： 学号：2011210986
一、实验目的 1．培养综合性设计电磁波实验方案的能力 2．验证电磁波的马吕斯定理 二、实验设备 S426型分光仪 三、实验原理 平面电磁波是横波，它的电场强度矢量E 和波长的传播方向垂直。如果E 在垂直于传播方向的平面内沿着一条固定的直线变化，这样的横电磁波叫线极化波。在光学中也叫偏振波。偏振波电磁场沿某一方向的能量有一定关系。这就是光学中的马吕斯定律： 2 0cos I I θ = 式中I 为偏振波的强度，θ为I 与I0间的夹角。 DH926B 型分光仪两喇叭口面互相平行，并与地面垂直，其轴线在一条直线上，由于接收喇叭是和一段旋转短波导连在一起的；在该轴承环的90度范围内，每隔5度有一刻度，所以接收喇叭的转角可以从此处读到。 四、实验步骤 1．设计利用S426型分光仪验证电磁波马吕斯定律的方案； 根据实验原理，可得设计方案：将S426型分光仪两喇叭口面互相平行，并与地面垂直，其轴线在一条直线上，由于接收喇叭是和一段旋转短波导连在一起的；在该轴承环的90度范围内，每隔5度有一刻度，接收喇叭课程从此处读取θ（以10度为步长），继而进行验证。 2．根据设计的方案，布置仪器，验证电磁波的马吕斯定律。 实验仪器布置 通过调节，使A1取一较大值，方便实验进行。 然后，再利用前面推导出的θ，将仪器按下图布置。
A1 五、实验数据 I（uA ） 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 θ° 理论值90 87.3 79.5 67.5 52.8 37.2 22.5 10.5 2.7 0 实验值90 88 82 69 54 37 20 8 2 0.2 相对误差% 0 0.8 0.6 2.2 2.3 0.5 11.1 14.3 25.9 - 1、数据分析： 由数据可看出，实验值跟理论值是接近的，相对误差基本都很小，在误差允许 范围内，所以可以认为马吕斯定律得到了验证。 2、误差分析： 实验中可能存在仪器仪表误差，人为误差以及各组互相影响造成的误差等。但 是角度比较大的时候，相对误差都比较小，也比较精准。角度比较小的时候， 由于理论值较小，相对误差会大一点，但是从整体趋势来看，结果也是合理的。 所以不影响我们对马吕斯定律进行验证。 六、思考题 1、垂直极化波是否能够发生折射？为什么？给出推导过程。 答：不能。 垂直极化波入射在两种媒质的分界面上，反射系数和折射系数分别为：
电磁场与微波技术实验
实验三对称天线和天线阵的方向图 实验目的：1、熟悉对称天线和天线阵的概念； 2、熟悉不同长度对称天线的空间辐射方向图； 3、理解天线阵的概念和空间辐射特性。 实验原理：天线阵就是将若干个单元天线按一定方式排列而成的天线系统。排列方式可以是直线阵、平面阵和立体阵。实际的天线阵多用相似元组成。所谓相似元，是指各阵元的类型、尺寸相同，架设方位相同。天线阵的辐射场是各单元天线辐射场的矢量和。只要调整好各单元天线辐射场之间的相位差，就可以得到所需要的、更强的方向性 方向图乘积定理 f(θ,φ)=f1(θ,φ)×fa(θ,φ) 上式表明，天线阵的方向函数可以由两项相乘而得。第一项f1(θ,φ)称为元因子（Primary Pattern），它与单元天线的结构及架设方位有关；第二项fa(θ,φ)称为阵因子（Array Pattern），取决于天线之间的电流比以及相对位置，与单元天线无关。方向函数（或方向图）等于单元天线的方向函数（或方向图）与阵因子（或方向图）的乘积，这就是方向图乘积定理。 已知对称振子以波腹电流归算的方向函数为 实验步骤：1、对称天线的二维极坐标空间辐射方向图 （1）建立对称天线二维极坐标空间辐射方向函数的数学模型 （2）利用matlab软件进行仿真 （3）观察并分析仿真图中不同长度对称天线的空间辐射特性 E面方向函数： 2、天线阵—端射阵和边射阵 （1）建立端射阵和边射阵空间辐射方向函数的数学模型 （2）利用matlab软件进行仿真 （3）观察并分析仿真图中两种天线阵的空间辐射特性 实验报告要求：（1）抓仿真程序结果图 （2）理论分析与讨论 1、对称天线方向图 01）clc clear lambda=1;%自由空间的波长 L0=1; %改变L0值，得到不同长度对称阵子的方向图 L=L0*lambda; %分别令 L=λ/4,λ/2,3λ/4,λ,3λ/2,2λ k=2*pi/lambda;%自由空间的相移常数theta0=[0.0001:0.1:360]; theta=theta0*pi/180; 90 270 0 L=λ时对称阵子天线的方向图
电磁场与微波测量实验报告(三)
电磁场与微波测量实验报告（三） 学院： 班级： 组员一： 学号： 组员二： 学号：
实验一：微波测量系统的使用和信号源波长功率的测量 一，实验目的 （1）学习微波的基本知识； （2）了解微波在波导中传播的特点，掌握微波基本测量技术； （3）学习用微波作为观测手段来研究物理现象。 二，实验原理 本实验接触到的基本仪器室驻波测量线系统，用于驻波中电磁场分布情况的测量。该系统由以下几个部分组成： 检波指示器 1，波导测量线装置 2，晶体检波器 微波测量中，为指示波导（或同轴线）中电磁场强度的大小，是将它经过晶体二极管检波变成低频信号或直流电流，用直流电流表的电流来读数的。 3，波导管 本实验所使用的波导管型号为BJ-100。 4，隔离器 位于磁场中的某些铁氧化体材料对于来自不同方向的电磁波有着不同吸收，经过适当调节，可使其对微波具有单方向传播的特性，隔离器常用于振荡器与负载之间，起隔离和单向传输的作用。 5，衰减器
把一片能吸微波能量的吸收片垂直于矩形波导的宽边，纵向插入波导管即成，用以部分衰减传输功率，沿着宽边移动吸收片可改变衰减量 的大小。衰减器起调节系统中微波功率从以及去耦合的作用。 6，谐振式频率计（波长表） 电磁波通过耦合孔从波导进入频率计的空腔中，当频率计的腔体失谐时，腔里的电磁场极为微弱，此时，它基本不影响波导中波的传输。 当电磁波的频率计满足空腔的谐振条件时，发生谐振，反映到波导中的 阻抗发生剧烈变化，相应地，通过波导中的电磁波信号强度将减弱，输 出幅度将出现明显的跌落，从刻度套筒可读出输入微波谐振时的刻度， 通过查表可得知输入微波谐振频率。 7，匹配负载 波导中装有很好地吸收微波能量的电阻片或吸收材料，它几乎能全部吸收入射功率。 8，环形器 它是使微波能量按一定顺序传输的铁氧体器件。主要结构为波导Y 型接头，在接头中心放一铁氧体圆柱（或三角形铁氧体块），在接头外 面有“U”形永磁铁，它提供恒定磁场H0。 9，单螺调配器 插入矩形波导中的一个深度可以调节的螺钉，并沿着矩形波导宽壁中心的无辐射缝作纵向移动，通过调节探针的位置使负载与传输线达到 匹配状态。调匹配过程的实质，就是使调配器产生一个反射波，其幅度 和失配元件产生的反射波幅度相等而相位相反，从而抵消失配元件在系 统中引起的反射而达到匹配。 10，微波源 提供所需微波信号，频率围在8.6-9.6GHz可调，工作方式有等幅、方波、外调制等，实验时根据需要加以选择。 11，选频放大器 用于测量微弱低频信号，信号经升压、放大，选出1kHz附近的信号，经整流平滑后输出级输出直流电平，由对数放大器展宽供给指示电路检 测。 三，实验容和实验步骤
电磁场与微波技术专业(080904)研究生培养方案
电磁场与微波技术专业(080904)研究生培养方案 一、培养目标 1、硕士研究生： 牢固树立爱校、爱国、爱中华民族的思想，具备坚持真理、献身科学的勇气和品质以及科学职业道德、敬业精神、团结合作精神。 具备电磁场与微波技术方面扎实的理论基础和宽厚的知识面。掌握与本专业相关的实验技能，对与本学科相邻及相关学科的知识有一定的了解。具备灵活应用所学知识分析和解决实际问题的能力。有独立从事科学研究的能力。 掌握一到二门外国语，能用英语阅读专业书籍、文献并撰写科学论文。 2、博士研究生： 牢固树立爱校、爱国、爱中华民族的思想，具备坚持真理、献身科学的勇气和品质以及科学职业道德、敬业精神、团结合作精神。 在硕士研究生培养目标所达到的要求基础之上，不仅要掌握本专业理论和实验的专业知识，还要掌握与本学科相邻及相关学科的知识，在独立从事科研工作中，具备综合、分析能力，在开展所从事研究方面的前沿研究工作中，具备创新和发展的能力。熟悉所从事研究方向的科学技术发展新动向。 掌握一至二门外语，能用英语熟练阅读专业书籍、文献，并能撰写并在国际会议上宣读科学论文。 二、学科介绍 1、电磁场与微波技术学科的主要研究方向 (1) 极高频段电磁资源的开发与利用； (2) 人工电磁材料及在无线电技术中的应用； (3) 射频、微波及光电子器件与应用。 2、师资力量和科研水平 本学科师资力量较雄厚，有中国科学院院士、“长江学者奖励计划”特聘教授和讲座教授以及教育部“新世纪优秀人才”等一批优秀学者，成为本学科的学术带头人和学术骨干。目前有教授9人、博士生导师9人、副教授和高工4人。 在科学研究方面，以电子学、物理学的基本理论方法和现代实验技术作为手段，探索新型电子材料，研究其中有关物理过程和电磁现象的基本规律，据以开发新型的微波和太赫兹电子器件和系统，并在实际中推广应用。目前，本学科不仅开展了大量国际前沿性的研究工作，取得了突出的成果，享有很高的国际声誉，同时也开展应用和工程化研究，为我国国民经济和国防现代化做出了重要贡献。 3、近期承担科研项目和重大课题 本学科承担了大量国家973计划、国家863计划、国家自然科学基金等重大科技计划项目，以及省、部级科研项目和横向合作的研发项目，产生了较大的社会效益和经济效益。近期主要科研项目和重大课题有： 科技部973项目子课题：太赫兹辐射的高灵敏检测技术基础研究； 科技部973项目子课题：超导结型器件的物理、工艺及应用基础研究； 科技部973项目子课题：磁性复合材料以及光子共振介质中负折射特性研究;
北邮电磁场与微波实验报告
信息与通信工程学院电磁场与微波实验报告 实验题目：微波器件设计与仿真 班级： 姓名： 学号： 日期：2016.5.18
实验二分支线匹配器 一、实验目的 1.掌握支节匹配器的工作原理 2.掌握微带线的基本概念和元件模型 3.掌握微带分支线匹配器的设计与仿真 二、实验原理 1.支节匹配器 随着工作频率的提高及相应波长的减小，分立元件的寄生参数效应就变得更加明显，当波长变得明显小于典型的电路元件长度时，分布参数元件替代分立元件而得到广泛应用。因此，在频率高达以上时，在负载和传输线之间并联或串联分支短截线，代替分立的电抗元件，实现阻抗匹配网络。常用的匹配电路有：支节匹配器，四分之一波长阻抗变换器，指数线匹配器等。 支节匹配器分单支节、双支节和三支节匹配。这类匹配器是在主传输线并联适当的电纳（或串联适当的电抗），用附加的反射来抵消主传输线上原来的反射波，以达到匹配的目的。此电纳或电抗元件常用一终端短路或开路段构成。 2. 微带线 从微波制造的观点看，这种调谐电路是方便的，因为不需要集总元件，而且并联调谐短截线特别容易制成微带线或带状线形式。微带线由于其结构小巧，可用印刷的方法做成平面电路，易于与其它无源和有源微波器件集成等特点，被广泛应用于实际微波电路中。 三、实验内容 已知：输入阻抗 Zin=75Ω 负载阻抗 Zl=（64+j75）Ω 特性阻抗 Z0=75Ω 介质基片面性εr=2.55 ,H=1mm 假定负载在2GHz时实现匹配，利用图解法设计微带线单支节和双支节匹配网络，假设双支节网络分支线与负载的距离 d1=λ/4,两分支线之间的距离为d2=λ/8。画出几种可能的电路图并且比较输入端反射系数幅值从 1.8GHz至2.2GHz的变化。 四、实验步骤
电磁场与微波技术实验软件实验试题.
《电磁场与微波技术实验》软件实验试题2009-2010学年（2009.12）一、集总参数－低通1 低通滤波器===== 设计具体要求 ====== 1。我们需要一低通滤波器（1） 通带频率范围：0MHz～400MHz ，要求如下： 增益参数S 21：通带内0MHz～400MHz S 21 >--0.5dB 阻带内600MHZ以上 S 21 <-50dB 反射系数S 11：通带内0MHz～400MHz S 11 <-10dB 2、简述微带天线的优缺点（10） 二、集总参数－低通2 低通滤波器===== 设计具体要求 ====== 通带频率范围：0MHz～300MHz 增益参数S21：通带内0MHz～300MHz S21>－0.5dB ；阻带内420MHZ以上 S21<－50dB 反射系数S11：通带内0MHz～300MHz S11<－10dB ； 2、为了节省成本，计划将该滤波器设计为7级结构。你能把它设计出来吗？根据你的优化仿真结果，探讨滤波器级数与其性能的关系。（10） 3、你了解ADS这个仿真设计软件吗？与MWO相比，它在设计环境上有什么明显特点？（10） 通带频率范围：0MHz～400MHz 增益参数S21：通带内0MHz～400MHz S21>－0.2dB 阻带内600MHZ以上 S21<－50dB 反射系数S11：通带内0MHz～400MHz S11<－10dB 要求优化参数 2、简述HFSS的特点及其主要应用的范围。（10） IVCURVEI来测量非线性器件——三极管GBJT3的特性曲线并加入调谐，
1。参考如图所示电路结构，设计高通滤波器（1）通带频率范围：450MHz以上 增益参数S 21：阻带内0MHz～300MHz S 21 〈--40dB 通带内450MHZ以上 S 21 〉-1dB 反射系数S 11：通带内450MHz S 11 <-15dB 要求优化参数Cost<0.5(最佳为Cost＝0)（提示：有可能陷入局部极小）（30） 2、你会添加Marker吗？试在S21曲线上，添加一横坐标为650MHz的Marker。添加后需请老师签字。（10） 3、使用TXLine工具计算微带线εr＝12.9，t/h=0.1，分别计算W/h=2，3以及4时的特性阻抗值。TXLine频率参数使用5GHz，并取t＝0.01mm。（10） 设计一个九级集总参数高通滤波器，电路结构如图所示，要求截止频率为550MHz，通带内增益大于－1dB，阻带内0～350MHz增益小于－45dB。通带内反射系数要求小于－15dB。 2、如果要你设计的是低通滤波器，与前面相比，需要变化哪几个步骤？（10） 3、简述微带天线的优缺点（10） 通带频率范围：600MHz以上 增益参数S21：阻带内0MHz～420MHz S21<－40dB 通带内600MHZ以上 S21>－1dB 反射系数S11：通带内600MHZ以上 S11<－10dB 要求优化参数 2、简述滤波器功能，简要画出切比雪夫滤波器、巴特沃斯滤波器和椭圆函数滤波器的频率响应图（10） 3、简述光子晶体的分类及其特性。（10）
(完整word版)电磁场与微波
TE11 TE10 H n J * 1 第一章 1.电磁现象的基本规律总结为Maxwell方程，它们是根据（电磁实验定律）总结推导出来的，其中第一方程依据（安培环路定律），第二方程（法拉第-楞次电磁感应定律），第三方程（高斯定律），第四方程（磁通连续性原理），总之，这组方程概括了（宏观电磁现象的基本规律）。 2.产生电磁波的场源不一定是（时变源），电磁波产生后，即使源消失，单电磁波（仍可以继续）在空间传播。 3.引入矢势A描述磁场是利用了磁场的（无源性▽·B=0），静电场条件下银土标势描述电场是利用了电场的（无旋性▽·E=0） 4.两种媒质界面处电磁场的边界条件是：简要的说：边界处电场的切向分量（连续变化），法向分量（不连续变化）。磁场的切向分量（不连续变化），法向分量（连续变化） 5.从场的概念上讲电路是特定条件下对电磁 场的（简化）和（集总）的表示，具体表现 在（电路的基本定律可由电磁场理论推导出 来），（电路的基本参量则是电场磁场性质 的集总表现）。在分析导行电磁波时，如果 （不苛求波的横向幅值分布），就可以把导 行的电磁波转化为导行机构上的（电压）、（电 流波） 6.设初始时刻理想导体内无磁场分布，则在理 想导体表面电场只能存在（法向）分量，磁场 只能存在（切向）分量。 7.电磁波以TEM波模式传播指的是，电场和 磁场的方向均（垂直）于传播的方向，能流密 度矢量的方向也是指向（传播）的方向。 8.标量场的空间分布变化规律可以由标量场 的（梯度）来描述、而矢量场的空间分布规律 则要用其（散度）和（旋度）来描述。 9.标量场的梯度场一定是（无旋）场，矢量场 的旋度场一定是（无源）场 10.描述电磁场的四个基本量是（电场强度矢 量），（电通密度矢量），（磁通密度矢量）， （磁场强度矢量）。利用磁场的无源性可以 引入（矢势）描述磁场，利用静电场的无旋性， 可以引入（标量势函数）描述静电场。 11.理想导体和理想介质的边界条件则可以简 单地标书为导体表面无（切向分量的）电场 和（法向分量的）磁场。在工程中，利用介 质条件可以实现电磁波的（导行）。 12.麦克斯韦方程组有两种形式：（积分形式） 和（微分形式），描述电磁场和（激发电磁 场源）之间的关系：电信工程中主要研究（时 变）电磁场的问题。 13.一般情况下，电磁波的导行问题要求解（无 源区）电磁场，而电磁波的辐射问题则必须求 解（有源区）的电磁场问题。 14.电路中，（电感元件）储存磁场能量，（电 容元件）储存电场能量，而（电阻）则是损 耗电磁场能量的元件；从电磁场的角度看，电 磁场能量是（伴随电磁场）分布在空间中的， 电磁场的能量还可以在空间（传播），但只有 （在时变的）条件下才可能，电磁场能量传 播蛮族能量守恒定律。 15.对于时变的电磁场，电场和磁场是（相互 依存的），电磁场的运动形态表现为（波动） 16.麦克斯韦方程组形式上不是波动方程，（时 变条件下）可以由麦克斯韦方程组到处电磁 波的波动方程 17.电磁场中，时谐条件是指电磁场随时间的 变化是（周期的并满足正余弦规律）；泽中 条件系电磁场变化的（波长和频率）是描述 电磁波的重要的属性量：不同（波长）电磁波 其特性存在很大的差异。 第二章 1.信号在传输线中传输时会产生（衰减）和（时延）。 2.传输线的两个最重要的参量分别是：（反射系数Г）和（驻波比S）。它们都是有（传输线的波阻抗和负载的阻抗）决定的，前者决定了（传输线上反射波的有无和大小），后者直接影响（传输线的工作状态）。 3.传输线的工作状态以（传输线上反射波的有无和大小）来划分的，有（行波状态）、（驻波状态）和（行驻波状态）三种工作状态，表征传输线工作状态的参量有（反射系数）和（驻波比）。 4.阻抗圆图上有四种刻度，它们分别描述（反 射系数摸）、（反射系数相位）、（归一化 电阻）和（归一化电抗）四种量。 5.对传输线阻抗匹配的目的是（使传输线处于 行波工作状态），实现阻抗匹配的方法主要 有：（阻抗变换）、（阻抗调配）。 6.当传输线的长度（远小于）传输电磁波的波 长时成传输线为短线，当其长度（大于或接 近于）传输电磁波的波长时称其为场线，同一 根传输线，低频条件下可以看成（短线），而 高频条件下则应该视为（长线）。电路理论中， 短线可以等效为（一个电路），而长线则可 以等效为（电路网络） 7.传输线分布参数分别为（单位长度的电阻）、 （单位长度的电感）、（单位长度的电导）、 （单位长度的电容） 8.阻抗原图上有四种刻度，反射系数模的刻度 是（围绕坐标原点的同心圆），反射系数相 位刻度是（从坐标原点出发的射线），归一 化电阻的刻度是（圆心在实轴的圆），归一 化电抗的刻度（圆心在实部为一垂直于实轴 直线上的圆），圆图上有意义的点均在（以 坐标原点为圆心的单位圆）内，其中每一点 反射系数模的刻度线和反射系数相位刻度线 的切向（相互垂直），归一化电阻的刻度线 和归一化电抗度先的切向（相互垂直） 9.阻抗圆图上绘制归一化阻抗意义在于（用同 一张圆图可以分析不同波阻抗传输线） 10.两列（相向传播等幅）行波叠加可以形成 驻波；行波振幅（不随时间变化），相位则 （沿传播随时间不断滞后）；驻波相位（不 随时间变化），而振幅（不断随时间变化）， 变化过程中有的位置（始终保持最大值）成 为驻波的波腹，而有的位置（振幅为零）成 为驻波的波节点，相邻波（腹）节点距离为（二 分之一）波长，相邻波节点和波腹点距离是 （四分之一）波长。 第三章 1.平行双线工作频率（较低），导行电磁波的相速度和相波长与（自由空间传播的电磁波）相同 2.同轴线的基本工作模式是导行（TEM）模，工作于该模式的条件是（λ>π（D+d）/2，其中d,D分别为同轴线内外导体的直径） 3.微带传输线是一种半开放式传输线，微带传输线传输（准TEM）波，微带线因其结构特点，不适合于（大功率）和用于（长距离）作传输线，它更适合于构成（各种微波元件） 和（微波集成电路） 4.金属波导作为一种重要的微波传输线，结构 上特点是（波导是封闭单连通区域），导波 模式的特点是（只能传输TE、TM模而不能传 输TEM模），用等效传输线理论描述的特点 是（只能通过定义模式电压和模式电流等效 为传输线），应用上的特点是（金属波导试 用频率范围从数百兆赫到上百千兆赫，在工 作频带内保证只传输一个模式，而且一般无 特殊要求时只用 TE10模） 5.分析矩形波导系统中场结构，可以得到电力 线一定与磁力线（垂直），磁力线一定是（闭 合）曲线，波导壁上只有电场的（法向）分 量和磁场的（切向）分量。 6.圆截面波导的主模是（），它的截至 波长时（3.41R）它的场结构与（矩形波导 中）类似，因而他是圆截面波导中最常 用的模式 7.波导管壁电流的意义在于（使我们可对波导 传输线的导体损耗进行估算）而且（对于处 理相关技术问题和设计由波导衍生的元件等 都具有指导意义），管壁电流由（） 导出决定于导波的（模式场结构） 8.光线是（介质）波导，我们把 （n1>n2，n1~n2）光纤 成为弱导光纤，弱导光纤实现单模传输的条件 是（>2.405） 第四章 1.微波系统是由（微波传输线）、微波元件和（微波器件）组成的。微波元件的作用是对导行电磁波的（模式）、（极化）、（振幅）、（相位）等进行调控，微波元件一般是由微波传输线（结构突变）而构成的。 2.从能量的角度分析电阻性元件具有（吸收电磁场能量）功能，电容性元件具有（储存电场能量）功能，微波电路中就是基于这种思想设计的。 3.衰减器依其工作原理可分为（吸收式衰减 器）、（截止波导衰减器）和（极化衰减器） 4.定向耦合器的主要技术指标有（耦合度）、 （隔离度）和（方向系数），工作频带宽度 也是定向耦合器的重要技术指标，拓宽定向耦 合器工作频带的途径则是（增多耦合波的耦 合传输路径——采用多孔或多分支结构，通 过函数逼近的方法）来实现。 5.在谐振腔中建立所要求的工作模式，激励装 置必须要建立起与所要求模式（相近的）场 结构，同时要尽可能的（抑制干扰模出现）。 6.在分析微波元件的外特性时采用网络方法， 这种方法是基于（实验测试）求得网络参量， 之后再通过矩阵运算求得实际元件的网络参 量，之后求出（微波元件外特性参量）。考 虑到微波频段的特点，位置效应用（参考面） 来表示，波阻抗则由（归一化网络参量）来 反应，而波动性则由（散射参量、传输参量） 来描述。 7.描述二端口微波网络参量矩阵有（阻抗参量 矩阵）、（导纳参量矩阵）、（转移参量矩 阵）、（散射参量矩阵）、（传输参量矩阵）。 其中（散射、传输参量矩阵）是电路网络设 备没有的。 8.对于二端口微波网络，最常用的外特性参量 有：（电压传输系数）、（插入衰减）、（插 入相移）以及（输入驻波比）。 )0 ) (* (), ) (* ( ), ) (* (), ) (* ( 2 1 2 1 s 2 1 2 1 B B j H H D D E E n n n n l ρ NA a λ π 2