初二数学经典题练习及答案

A P

C D

B

F 初二数学经典题型练习

1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150

．求证：△PBC 是正三角形．

证明如下。

首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。

在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则

∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，

∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，

PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC 是正三角形。

2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、

F ．求证：∠DEN ＝∠F ．

证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.

又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.

3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF

因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线，

所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2

又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO

所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF

CB=BF

所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.

4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．

过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接

BE

因为DP//AE ，AD//PE

所以，四边形AEPD 为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP

所以，A 、E 、B 、P 四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB

因为四边形AEPD 为平行四边形，所以：PE//AD ，且PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD//BC ，且AD=BC 所以，PE//BC ，且PE=BC

即，四边形EBCP 也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB

5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a 正方形的边长．

解：将△BAP 绕B 点旋转90°使BA 与BC 重合，P 点旋转后到Q 点，连接PQ 因为△BAP ≌△BCQ

所以AP ＝CQ ，BP ＝BQ ，∠ABP ＝∠CBQ ，∠BPA ＝∠BQC 因为四边形DCBA 是正方形 所以∠CBA ＝90°，所以∠ABP ＋∠CBP ＝90°，所以∠CBQ ＋∠CBP ＝90°

即∠PBQ ＝90°，所以△BPQ 是等腰直角三角形

所以PQ ＝√2*BP，∠BQP ＝45 因为PA=a ，PB=2a ，PC=3a

所以PQ ＝2√2a，CQ ＝a ，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ 是直角三角形且∠CQA ＝90° 所以∠BQC ＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA ＝∠BQC ＝135° 作BM ⊥PQ

则△BPM 是等腰直角三角形

所以PM ＝BM ＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2

＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2

所以AB ＝[√(5＋2√2)]a

6.一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。

由题意得：

t x

v x v =+82

解之得：t v x 85= 经检验得：t

v

x 85=是原方程解。

∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为t

v

25。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

解：（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得1

2

k =，所以正比例函数解

析式为1

2

y x =

同样可得，反比例函数解析式为2y x

= （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2

Q m m ，， 于是21

111

2224

OBQ S OB BQ m m m △=?创=， 而1

(1)(2)12

OAP S △=-?=， 所以有，

2

114

m =，解得2m =± 所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，--

（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，

图

而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．

因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n

，， 由勾股定理可得2

2

2

242()4OQ n n n n

=+=-+， 所以当22()0n n -=即2

0n n

-=时，2OQ 有最小值4， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．

由勾股定理得OP

OPCQ 周长的最小值是

8.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且

PE=PB .

（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ； （2）设AP =x , △PBE 的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ，

∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）.

∴ PB = PD ， ∠PBC =∠PDC .

又∵ PB = PE ，

∴ PE =PD . ② （i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时， ∵ PB =PE ，

∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，

∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，

∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°， ∴ PE ⊥PD . ）

（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD . （iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°， ∴ PE ⊥PD . 综合（i ）（ii ）（iii ）, PE ⊥PD .

（2）① 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE .

D

A B C D P

E

1

2 H

∵ AP =x ，AC =2， ∴ PC =2- x ，PF =FC =x x 2

21)2(22-=-. BF =FE =1-FC =1-(x 2

2

1-

)=x 22. ∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 2

2

1-)x x 22212+

-=. 即 x x y 22

212+-= (0＜x ＜2).

② 41

)22(21222122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1

-=a ＜0，

∴ 当2

2=

x 时，y 最大值41=.

（1）证法二：① 过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形，

∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，

△AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. ∴ GD=FC =FP ，GP=AG =BF ，∠PGD =∠PFE =90°.

又∵ PB =PE ，

∴ BF =FE ， ∴ GP =FE ，

∴ △EFP ≌△PGD （SAS ）.

∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.

∴ PE ⊥PD . （2）①∵ AP =x ，

∴ BF =PG =x 22，PF =1-x 2

2.

∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 2

2

1-)x x 22212+

-=. 即 x x y 22

212+-= (0＜x ＜2).

② 41

)22(21222122+--=+-=x x x y .

∵ 2

1

-=a ＜0，

∴ 当2

2

=

x 时，y 最大值41=.

A B P

D

E F G 1

2

3

9、如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值．

（2）直接写出 k1x+b-k2x ＞0时x 的取值范围；

（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．

10、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=

>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

图12