重庆大学出版社高等数学题库参考答案
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)
一、单选题
1.设)(x f 是可导函数,则?'
))((dx x f 为（ A ）.
A.)(x f
B.C x f +)(
C.)(x f '
D.C x f +')(
2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.
A.任意一个
B.所有
C.唯一
D.某一个 3.?
=
+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x
则（ A ）.
A.)2sin 22(cos x x e x -
B.C x x e x +-)2sin 22(cos
C.x e x 2cos
D. x e x
2sin
4.函数x e x f =)(
的不定积分是（ B ）.
A.x e
B.c e x +
C.x ln
D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.
A.c x +sin
B.x cos
C.x sin -
D.c x +-cos 6.函数211)(x
x f -=的原函数是（ A ）.
A.c x x ++
1 B.x x 1- C.32
x
D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]
='
?dx x f )(（ B ）
A. x 2
B.2
C.2
x 8.若
c e dx e x x +=?
, 则
?x
d e x
22=（ A ）
A.c e
x
+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2
9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）
A.c x +sin
B.x cos
C.x sin -
D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）
A.)(x f
B.0
C.)(x F
D.)(x f ' 11.函数21
1)(x
x f +
=的原函数是（ A ） A.c x
x +-1
B.x x 1-
C.32x
D.c x x ++12
12. 函数21
1)(x
x f -
=的原函数是（ A ）
A.c x
x ++
1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++
12
13.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(
C.)()(x g x f ≠
D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='?)()( B.?+=C x F dx x f )()( C.?+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='?)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.
A.2x y =
B. 2x y -=
C. 12+=x y
D. 12-=x y 二.填空题
1.)25ln(2125x d x dx --
=-.
2.)1(2
12x d xdx --
=.
3.C a
a dx a x
x +=?
ln .
4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=?.
5.
x
x cos 2+的原函数是x x sin 2
+.
6.]4)3[(2
1)3(2---=-x d dx x .
7.C x xdx +=?7sin 7
1
7cos .
8.)1(ln 3133-=
x x a d a
dx a .
9.)3(cos 3
13sin x d xdx -
=.
10.C x dx x x +=
?2
ln 21ln .
11.C x dx x +=
?4
34
1.
12.)C 4
1
(22
22+-=--x x e d
dx xe .
13.C x xdx x +=
??2
sin 21sin cos . 14.
C x dx x +=
+?3arctan 3
1
911
2. 15.C x x dx x +-=
?)sin (2
1
2
sin 2.
16.?+=
'C x f dx x f )2(2
1
)2(.
17.设?+=.
)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)
0(F C -=.
18.
)3(arctan 31912
x d x dx
=
+. 19.)(2
12
2
x x e d dx xe =
.
20.已知x
x f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=
+=?则.
21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .
22.C x x dx x x +-=
+-?
2
2
2
11
1 23.C
e dx e x
x
x +-=
?11
21
.
24.)1ln(2
11
22
-=
-x d dx x x .
25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为
C
x +-sin .
26.设)(3
x f x 为的一个原函数，则dx
x x df 23)(=
.
27.)2cos 41(8
12sin x d xdx -=
28.x x sin 2
+的一个原函数是
x x cos 3
13
-.
29.)3
(cos 3
3sin x d dx x -=
.
30.C
x xdx +-=
?cos ln tan .
31.()C x dx x +--=-?)21sin(2
1
21cos .
32.C
x xdx +=?tan sec 2. 33.
C x x
dx
+-=?3cot 3
1
3sin
2
.
34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则?
='])([dx x f 2 .
三.判断题 1.
?+=c
x xdx cos sin ( × ) 2.x
x e
dx e =?
（ × ）
3.?-=.
cos sin x xdx ( × ) 4.?
+-=c
x xdx cos sin ( √ ) 5.)
21sin()]21[sin(x dx x -=-?
( × ) 6.?
+-=c
x xdx sin cos （ × ）
四.计算题
1.求不定积分dx x x ?+2
1. 解：原式=C x x d x ++=++?23
2
22)1(3
1)1(121
2.求不定积分
dx x ?-31
. 解: 原式=C x +--3ln
3.求不定积分?+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d e
x x x ++=++?)1ln()1(11 4.求不定积分?
+-dx x
x x
)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分?-dx xe
x 2
. 解: 原式=C e x +--2
2
1 6.求不定积分dx x x
?+1
2. 解: 原式=C x ++)1ln(212
7.求不定积分dx x x
?+2
)72(. 解: 原式=
C x
x x ++?+7
ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分?+dx x 10)12(. 解: 原式=
C x ++11)12(22
1
9.求不定积分?+-dx x
x x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-
22
1522
2
10.求不定积分?xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4
1
21 11.求不定积分?dx x x 22cos sin 1
. 解: 原式=C x x +-cot tan
12.求不定积分
dx x ?+321
. 解: 原式=C x ++32ln
21
13.求不定积分xdx x
arctan 112
?
+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分?-dx
x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 4
3 15.求不定积分
?+dx x 2
411. 解: 原式=C x +2arctan 2
1
16.求不定积分?+dx x x
)5(3
. 解: 原式=C x x
++
5
ln 5414 17.求不定积分?
-dx e x 5. 解: 原式=C e x
+-
-55
1
五.应用题
1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：
3
2sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2
cos 34)(cos 34)sin 312()(4
3,04335
,032-++=???→?+++=++=++=??→?++=-=-====??t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t
2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程. 解：20
,022x y C x xdx y y x =???→?+====?
3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是2
3t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？
解：设运动方程为：30
,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =??→?+=====?
（1）当3=t 时，27)3(=S （米）
（2）当.360360)(33
秒=?==t t t S
4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3
x ,求这曲线的方程. 解：40,043
4
141x y C x dx x y y x =???→?+=
=
==? 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离
开出发点的距离.
解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20
,02-=??→?+-====?
.
当3=t 时，1080)3(=S （米）.
6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1
的曲线方程.
解：x y C x dx x
y y e x ln ln 11,=??→?+==
==?. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为2
11
x
+的曲线方程.
解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110
,02
=???→?+=+===?.
第五章 不定积分2
一.单选题
1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.?==xdx
dv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdx
dv u xdx ln ,1,ln ==?
C.
dx x dv e u dx e x x x 22,,==--?
D.
xdx dv e u dx xe x
x ==?
,,
2.??-=)(
2arctan d 2arctan A
xd x x x x .
A.x arctan2
B.x arctan4
C.x arctan2-
D.x arctan4- 3.
=?
2
-4d x
x ( A ).
A.C x +2arcsin
B.C x +arcsin
C.C
x
+2arccos D.C x +arccos
二.判断题
1.分部积分法u v uv v u d d ?-=?的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ?应比v u d ?容易积分.（ √ ）
2.若被积函数中含有2
2a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.
（ √ ）
三.填空题
1.
C
x dx x ++=
+?1211.
2.设)(x f 有一原函数?
+-=
'C
x dx x f x x
x cos )(,sin 则.
3.C x x x xdx x +-=?224
1
ln 21ln .
4.
)3(arcsin 3
1912
x d x
dx =
-.
5.C
x x e dx e x x x ++-=?)22(22.
6.?++-=C x x x xdx x 3sin 9
1
3cos 313sin .
四.计算题
1.求不定积分
?
-dx x x
2
32. 解：原式=C
x x d x +--=---
?22
2323
1)32(32161
2.求不定积分?dx
x
e x2
2
. 解：原式=C
x
x
e x+
+
-)
2
1
(
2
1
2
2
3.求不定积分?
+
+
dx
x
x
1
1. 解：
C
x
x
C
t
t
dt
t
t
t
x
+
-
-
+
=
+
-
=
-
=
+?
1
)1
(
3
2
3
2
)
2
2(
1
3
2
2
3
2
原式
4.求不定积分?
+)
1(x
x
dx
. 解：
c
x
C
t
dt
t
t
x
+
=
+
=
+
=?
arctan
2
arctan
2
1
2
2
2
原式
5.求不定积分?xdx
x2
sin
. 解：原式=C
x
x
x+
+
-2
sin
4
1
2
cos
2
1
6.求不定积分?+dx
e
x x5
)2
(
. 解：原式=C
x
e x+
+)
5
9
(
5
1
5
7.求不定积分
dx
xe x
?-4. 解：原式C
x
e x+
+
-
=-)
16
1
4
1
(
4
8. 求不定积分?
+
+
dx
x1
1
1
. 解：原式[]C
x
x+
+
+
-
+
=)
1
1
ln(
1
2
9.求不定积分?
+
-
dx
x1
2
1
1
. 解：原式[]C
x
x+
-
+
+
+
=1
1
2
ln
1
2
-
10.求不定积分
dx
e x
?
+
1
1
. 解：原式=C
e
e
x
x
+
+
+
-
+
1
1
1
1
ln
11.求不定积分?xdx
x ln
2
. 解：原式C
x
x+
-
=)
3
1
(ln
3
1
3
12.求不定积分
dx
x
x
?-1
. 解：原式C
x
x+
-
-
-
=)1
arctan
1
(2
13.求不定积分?
-
-
-
dx
x
x
2
2
1
1
2
. 解：原式C
x
x+
-
=)
(arcsin
2
14.求不定积分?dx
a
x x
2)1
,0
(≠
>a
a. 解：原式C
a
a
x
a
x
a x+
+
-
=)
ln
2
ln
2
ln
(
3
2
2
15.求不定积分
dx
x
?
-2
9
4
1
. 解：原式C
x+
=
2
3
arcsin
3
1
16.求不定积分
dx
x
?sin. 解：原式C
x
x
x+
+
=sin
2
cos
-2
17.求不定积分?
xdx x 3cos . 解：原式C x x x ++=
3cos 9
1
3sin 31 18.求不定积分
dx
x x ?
+2
. 解：原式C x x ++-+=21
23
)2(4)2(3
2
五.应用题 （增加题）
第六章 定积分
一.单选题 1.)(
24
0D
dx x =-?
A.??-+-4
2
2
0)2()2(dx
x dx x B.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x C.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x D.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x
2.=?a a
dx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.??--=+1
1
1
1
)()(dx x f dx x f ( C )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定 4.定积分?b
a
dx
x f )(是（ D ）
A.一个原函数
B.()x f 的一个原函数
C.一个函数族
D.一个常数 5.定积分?b
a
dx
x f )(的值的大小取决于( C )
A.)(x f
B.区间 []b a ,
C.)(x f 和[]b a ,
D.都不正确 6.定积分的值的大小取决于( C )
A. B.区间 C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.??=-3
2
3
4
)()(dx x f dx x f ( A )
A.?4
2
)(dx
x f B.?2
4
)(dx
x f C.?4
3
)(dx
x f D.?3
2
)(dx
x f
8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dx
x g dx x f b
a b
a
??≠)()( B.??≠b
a
b
a
dt
t f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则?
?≠dx
x g dx x f )()( D.
?=b
a
dx
x f dx x f d )()(
9.=?dx x f dx d b
a
)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则?=b
a dx x f )(( C )
B.b a -
C. a b - 11.定积分?b
a
dx
x f )(是（ B ）
A.任意的常数
B.确定的常数
C.)(x f 的一个原函数
D.)(x f 的全体原函数 12.若?=+1
2
)2(dx k x ,则=k ( B )
.1 C2 13.=-?dx x 5
042( C )
.12 C
二．判断题
1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )
2.a b dx b
a -=?0 . ( × )
3.
?='b
a
dx x f 0
))(( . ( × ）
4.x xdx dx d b
a sin sin ?=. ( × )
三.填空题
1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)
()()(a f b f dx x f b a
-=
'?.
2.C dx x
x
x +=
??
6
ln 6321
. 3.
4
111
022
π
-
=
+?dx x x .
4.e
e dx x
e x
-=?
2
1
21
.
5.设??==5
2
51
5)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(2
1
-=
?dx x f .
6..01
1
3=
?-dx x .
7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且?=b
a dx x f 0)(,则[]a
b dx x f b
a
-=
+?1)(.
8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积3
52)2(312=
+=?-dx x A .
9..0
sin 1
2=?
dx x dx d .
10.
11ln
41
4
1=+-?
-dx x
x
.
11.
1
)
1sin(212=?
dx x
x ππ
. 12.321
12=
?
-dx x .
13.0
cos 1
1
?-=
xdx x .
14.利用定积分的几何意义填写定积分的值
π4
1
11
2=-?
dx x .
15.2
2sin sin x dt t dx d x
?=
.
16..0
sin 2
2
2=
?-xdx x .
17..01
1
3=
?-dx x .
18.
的值为积分.2
1
ln 1
?e
dx x x 19.2
)253(22
2
24??=
++-dx dx x x .
20.1
1
-=
?e dx e x . 21.4
3
1=
?-dx .
22.
?
1
2
12ln xdx
x 的值的符号为 负 .
四．计算题 1.求定积分
．
?
+4
1
1x
dx 解：原式)3
2
ln 1(2+= 2.求定积分
?
-1
24x dx
. 解：原式6
arcsin 1
0π
=
=x
3.求定积分?-+-0
1
)32)(1(dx
x x . 解：原式2
1
-
=
4.求定积分
dx
x
?
--212
12
11 解：原式3
arcsin 212
1π
=
=-
x
5.求定积分?-+1
2511x dx 解：原式=2ln 5
4)511ln(5
11
2
=??????+-x
6.求定积分
dx x ?+9
411
解：原式[
])2ln 1(2)
1ln(232+-=-+-=t t
7.求定积分dx
e
x
?
-1
. 解：原式e
e x
1
101
-=-=- 8.求定积分dx
x ?
2
1
2 解：原式3
7
12313==x
9.求定积分θ
θπ
d ?
40
2tan 解：原式[]4
10
4tan π
π
θθ-
=-=
10.求定积分．
dx x x ?+402sin 12sin π
解：原式2
32
ln 0
4)sin 1ln(=+=π
x 11.求定积分dx
x x ?-π
π
23sin . 解：原式=0
12.求定积分
()dx
x
x ?
--21
2
12
21arcsin . 解：原式=324)(arcsin 3132
12
1
3π=-x 13.求定积分
dx
x x ?
+9
1
1. 解：原式2ln 21
3)1ln(2=+=x
14.求定积分dx
e x x ?1
2. 解：原式20
1)
22(2-=+-=e x x e x
15.求定积分
?+1
04
)1(x dx 解：原式24
70
1)1(3
1-3=
+=-x 16.求定积分dx
xe x ?
2
. 解：原式10
2)
1(2+=-=e x e x
17.求定积分?
-1
dx
xe x . 解：原式e
x e x
2101)
1(--=+=-
18.求定积分
dx x ????
?
?
+π
ππ3
3sin . 解：原式0)3
cos(3
=+
-=ππ
πx
19.已知??
?≤<-≤≤=3
1,
210,)(2
x x x x x f ，计算?2
0)(dx x f . 解：原式??-=-+=21
1
02
61)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +?194
. 解：原式6
271
49)213
2
(22
3=
+
=x x
21.求定积分?1
arctan xdx
x . 解：原式=2
14)arctan arctan (211
02-=???
???+-πx x x x
22.求定积分?1
arcsin xdx . 解：原式12
1)
1arcsin (2
-=
-+=π
x x x
23.求定积分
?
2
6
2cos π
π
udu
. 解: 原式836)2sin 21(216
2
-=+=πππ
u u
24.求定积分()dx x x x ?+2
sin π
. 解: 原式18
sin cos 2
12
02+=???
???+-=π
πx
x x x 25.求定积分
dx x x ?
-12
12
2
1. 解: 原式[]4
1cot sin 2
4
π
π
π
-=--=t t t x
26.求定积分
dx x x 1
sin 12
1
2
?π
π
. 解: 原式11
cos
1
2
==π
πx
27.求定积分
dx x ?+1
1210. 解: 原式10
ln 495
0110ln 21012=
=+x 28.求定积分xdx
x ?
2
3cos sin π
解: 原式4
10cos 41-24
==π
x
29.求定积分?1
24dx x
x . 解: 原式10
ln 710ln 81
0=??????=x 30.求定积分dx x x e
?-1ln 1. 解: 原式2
1ln 2
1ln 1
2
=?????
?-=e
x x
31.求定积分
dx
x x ?
+3
1
)
1(1. 解: 原式[]6
arctan 23
1
2
π
=
=t t x
32.求定积分xdx
x cos sin 20
3?
π
. 解: 原式4
1
0sin 4124==πx
33.求定积分?--1
321
dx x . 解: 原式[]
5ln 2ln -13
=-=-x
34.求定积分dx x x x ?
++2
1
222)1(1
2 解: 原式4212arctan 1arctan 2
1π-+=?????
?-=x x 35.求定积分
?
+2
1
ln 1e x x dx
. 解: 原式[]
)13(2ln 122
1
-=+=e x
36.求定积分dx
e x x ?2
2
. 解: 原式)1(2
12142
02-=???
???=e e x
37.求定积分dx
x ?
20
sin π
. 解: 原式10
cos 2
=-=π
x
38.求定积分?++1
0)32)(1(dx x x . 解: 原式2112521
32=??????++=x x x
39.求定积分
dt
te
t ?-
102
2
. 解: 原式21
2
11
2
---=???????
?-=e e t 40.求定积分dx x x ?+1
02
2
12. 解: 原式[]2
2)arctan (210π-=-=x x
41.求定积分?π
sin xdx
x . 解: 原式[]ππ
=+-=0sin cos x x x
42.求定积分
dx x x
e
?
1
2ln . 解: 原式3
11ln 313==e x
43.求定积分?
2
cos sin 3π
xdx
x . 解: 原式2
3
0sin 2322==πx
44.求定积分()
?
ω
π
ωω20
sin 为常数tdt t 解: 原式20
22sin 1cos 12ωπωωωωω
ω
-=??????+-=t t t
45.求定积分dx
x ?
230
cos π
. 解: 原式[][]3sin sin 232
2
=-=πππ
x x
46.求定积分dx
x ?--2
2
21. 解：原式431312312
1
3113123=???
???-+??????-+??????-=---x x x x x x
47.求定积分
?
+3
3
1
2
11
dx x . 解：原式[]6
arctan 33
1π
=
=x
48.求定积分?
+16
1 4
x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142
1
24+=??????++-=t t t t x
五.应用题
1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百
台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3
13
1
3
12=?????
?
-=-='=
?
?x x dx x dx R
2.试描画出定积分?
π
π
2
cos xdx
所表示的图形面积,并计算其面积.
解：[]1sin cos 2
2
=-=-
=?
π
ππ
π
x xdx S . (图形略)
3.试描画出定积分?π
π
2
sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.
解：[]1cos sin 2
2
=-==
?
π
πππ
x xdx S . (图形略)
4.计算曲线3
x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.
解:49741413
40243
3
2
3
=???
???+??????-=+-
=--?
?
x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线2
4x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 2
4x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)
3323142)4(2
032
22
=?????
?
-=-=?-x x dx x S
6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百
台)增加到3(百台)时总成本的增加量.
解:.8212)2(3
13
12=?????
?
+=+=?x x dx x C
7.计算函数x y sin 2=在
???
???
2,0π上的平均值. 解:[]π
π
π
π
π
4
cos 22
2
sin 22
02
=
-=
=
?x xdx
y
8.计算函数x y cos 2=在??
???
?2,0π上的平均值.
解:[]π
π
π
π
π
4
sin 22
2
cos 22
020
=
=
=
?x xdx
y
第七章 定积分的应用
一.单选题
1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).
A.)(x df -
B.)(dx f
C.dx x f )(
D.dx x f )(-
2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.
?b a x x F d )( B.?a b x x F d )( C.?-a
b x x F d )( D.?-b
a x x F d )(
3.将曲线2
x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表
示为
=
y V （ C ）.
A.
dx x ?20
4π B.
?4
ydy
π C.
()dy
y ?-4
4π D.
()dy
y ?+4
4π
二.判断题 1.定积分?b
a
dx
x f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）
2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）
三.填空题
1.计算曲线x y sin =与曲线
2π
=
x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为
?
=
20
sin π
dx
A .
2.抛物线3
x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为
?
2
3dx
x .
3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定
积分表示为?=1
4dx
x V x π.
四.计算题
1.求抛物线3
x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.
2.把抛物线
ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为, g 取2
m/s 10）.
4.计算抛物线2
x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.
5.由2
2x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.
6.求由曲线
x y 1
=
与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.
7.用定积分求由0,1,0,12
===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
8.求曲线2
2)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.
9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.
10.计算曲线3
x y =和x y =
所围成的图形面积.
11.计算抛物线2
4x y -=与x 轴所围成的图形面积.
12.求曲线2
x y =与x y =
所围成的图形的面积。
五.应用题
1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,0,12)(≥+=t t t f ,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少？ 解：第一个五年的总产量：?=+5
30)12(dt t ，
第一个五年的总产量：
?
=+10
5
80)12(dt t .
2.计算抛物线2
x y =与直线4,2=-=x x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转
体体积.)(4
2
4?
-=dx x V π
3.计算曲线3
x y =和x y =
所围成的图形面积. (dx x x S ?-=
1
3)(
)
4.求抛物线px y 22
=及其在点)
,2(p p
处的法线所围成的图形面积.
解:p x y p p x p y k 2
3
,212+-=?==
'=）处的法线方程：过（切 法线与抛物线的交点为: ),2(p p
和)3,2
9
(p p -
则dy p
y p y S p
p ]2)23[(2
3-
+-=?- 5.把等边双曲线4=xy 及直线0,4,1===x y y 所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积. (dy y
V ?
=4
1
2)4
(π
). 6. 已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率(边际收益)为:)0(100
200)(≥-='x x x R
（1）求生产了50个单位时的总收益.
（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.
7.把抛物线
ax y 42=及直线()000>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转所的旋转体的体积. 8.求曲线2y x =与直线x y =所围成的图形的面积.
9.计算曲线2
x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.
10.计算椭圆1492
2=+y x 绕x 轴旋转所形成的椭圆的体积.
11.由抛物线2x y =及2
y x =所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积. 12.求曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的图形的面积.
13.设平面图形D 由抛物线2
1x y -=和x 轴围成,试求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.
14.已知某弹簧用２Ｎ拉力能伸长2cm,求如果把该弹簧拉长10cm 需做多少功?
15.已知物体的运动速度与时间的函数关系
)/(3)(2
s m t t v =,求在时间段[])(3,1s 上物体的平均速度是多少？
16.求抛物线
342
-+-=x x y 与其在点)3,0(和)0,3(处交线所围成的平面图形的面积.
17.计算曲线3
x y =,直线2,4=-=x x 所围成的曲边梯形面积.
18.计算曲线2x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.
19.某产品的总成本C (万元)的变化率(边际成本)1='C ，总收益R (万元)的变化率(边际收益)为生产量x (百台)的函数x x R -='5)(,
（1）求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大?
（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少?
20.求抛物线x y 22
=将圆822=+y x 分割成两部分的面积.
第八章 常微分方程
一.单选题
1.微分方程0=''y 的通解是（ C ）
A.C y =
B.Cx y =
C.x C x C y 21+=
D.21C x C y += 2.以下不是微分方程的是（ C ）
A.0cos =-x x dx dy
B.dy y x dx x )()12(+=-
C.042
=-xy y D.02)(2='-'y x y x 3.以下属可分离变量微分方程的是（ D ）
A.02
2
=+-'y x y B.33y x dx dy
+= C.0)(=-+ydy dx y x D.
0)2(2
=++dy x xydx 4.微分方程x y y y sin 2='+''是（ B ）
A.一阶线性方程
B.一阶非线性方程
C.二阶线性方程
D.二阶非线性方程
二．判断题
1.是一阶非齐次线性微分方程. ( ╳ )
2.是二阶微分方程. ( ╳ )
3.是三阶微分方程. ( √ )
三．填空题
1.设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方
程为
y
x
y -
='.
2.微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为 ２ .
3.微分方程, 满足已给初始条件的特解是
)1(2
12+=
x
y e e .
4.微分方程的通解是x Ce y 33
2
-+=
.
5.y y x 4='的通解为
4
x
Ce y =.
6.1+=y dx dy
的满足初始条件()10=y 的特解为
1
-=x Ce y . 7.设某微分方程的的解为()x
e x c c y 221+=,且
==x y ,
1
0='=x y 则0
1=
c ，
1
2=
c .
8.微分方程 满足条件的特解为x
x e
y cot csc +=.
9.微分方程
8-=x e dx dy
的通解为
C
x e y x +-=8.
10.微分方程162
2+=x dx y
d 的通解为
212
32
1C x C x x y +++
=.
11.微分方程x dx y
d 62
2=的通解为
2
13C x C x y ++=.
12.微分方程的通解是
C x x y ++=
2
32
151.
13.微分方程n my y =+'（其中n m ,为常数，且0≠m ）,则满足条件()00=y 的特解为
)1(mx e m
n
y --=
.
14.微分方程x
e dx dy
=的通解为
C
e y x +=.
四.计算题
1.求微分方程的通解.（)2()2(3
-+-=x C x y ） 2.求微分方程e
y
y y x y x =='=
2
,ln sin π的特解. （x
x e
y cot csc +=）
3.求微分方程的通解. （C e
e y
x =+-）
4.求微分方程0sin =+'x y y 的通解.（x
Ce
y cos =）
5.求微分方程by
ax e dx dy
+=的通解. （C ae
be by
ax =+-） 6.求微分方程0ln =-'y y y x 的通解. （Cx
e y =）
7.求微分方程0ln ln =+ydy x xdx y 的通解.（C y x =+2
2ln ln ） 8.求微分方程0cos =+'x y y 的通解. （x
Ce
y sin -=）
9.求微分方程2
211y y x -='
-的通解. （C x y =+arcsin arcsin ）
10.求微分方程02=+'xy y 的通解.（2
x Ce y -=）
11.求微分方程
y x dx dy 212-=,0
1==x y 的特解.（x x y -=2
2）
12.求微分方程122
2+='y y y x 的通解.（11
2
-=x Ce y ）
13.求微分方程x
x e y y e ='+)1(的通解.
14.求微分方程 0,0)12(12==+-+=x y dx x xy dy x 当时的特解.
15.求微分方程y x e y -='2,
==x y 的特解.
16.求微分方程
y x dx dy 212--,0
1
==x y 的特解.
17.求微分方程2
23x y y =+'的通解.
五.应用题
1.验证函数
22x
x y -
=是微分方程x y y x =-''22
的解.
2.汽车刹车前速度为20m/s,刹车获得的加速度大小为2m/s 2
,用微分方程求解汽车刹车开始到停止的时间与距离.
3.已知曲线），上点（2-0)(x f y =处的切线方程为632=-y x ,函数y 满足x y 6='',求函数y 的解析表达式.
4.列车在直线轨道上匀速行驶,当制动时列车获得加速度2/8.0s m -,求开始制动后列车的运动规律（即制动后发生的位移与时间的关系式）.
5.列车在直线轨道上以s m /20的速度行驶,当制动时列车获得加速度2/4.0s m -,问开始制动后列车的运动规律（制动后发生的位移与时间的关系）.
6.验证函数x
e c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解,并求满足初始条件
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
期末高等数学(上)试题及答案
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学试题及答案91398
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学试题及答案新编
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
关于大学高等数学上考试题库附答案
关于大学高等数学上考试 题库附答案 This manuscript was revised on November 28, 2020
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8．x x dx e e -+? 的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+?
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
大一高等数学试题及答案
期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）
A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学下册期末考试
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求．
5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月
2016年下半年《高等数学(下)》期末考试试卷及答案
2016年下半年《高等数学（下）》期末考试试卷及答案 (河南工程学院） 1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导且，则曲线 y=f(x) 在 点（ x 0, f(x0) ）处的法线的斜率等于（）(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 2. ( 单选题) 无穷小量是(本题 3.0分) A、比0稍大一点的一个数 B、一个很小很小的数 C、以0为极限的一个变量 D、数0 3. ( 单选题) 设函数，则其间断点的个数是（）。 (本题3.0分) A、0 B、 1
C、 2 D、 3 4. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 5. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 6. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 7. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题3.0分)
A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 8. ( 单选题) 若，则f(x）=（）。(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 9. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题3.0分) A、正确 B、错误 10. ( 单选题) 曲线在点处的切线方程为(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 11. ( 单选题) 极限(本题3.0分)
A、 1 B、-1 C、0 D、不存在 12. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 13. ( 单选题) 设，则( )。 (本题3.0分) A、 B、６x C、 6 D、0 14. ( 单选题) 极限 (本题3.0分)
高等数学上考试试题及答案
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)YM
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有
d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；
(完整)高等数学练习题(附答案)
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
高等数学试卷和答案新编
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?