2019年电大工程数学(本科)期末考试试题及答案
电大工程数学(本科)期末考试试题及答案
一、单项选择题
1.设B A ,都是n 阶方阵,则下列命题正确的是(
AB A B
= ). 2.设B A ,均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是( ()BA
AB 1
1=- ). 3. 设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是(B A B A '+'='+)( ).
4.设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是( BA
AB = ).
5.设A ,B 是两事件,则下列等式中( )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 互不相容 )是不正确的. 6.设A 是n m ?矩阵,B 是t s ?矩阵,且B C A '有意义,则C 是( n s ? )矩阵. 7.设是矩阵,B 是矩阵,则下列运算中有意义的是()
8.设矩阵?
?
?
???--=1111A 的特征值为0,2,则3A 的特征值为 ( 0,6 ) . 9. 设矩阵??????????--=211102113A ,则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α=( ??
??
?
?????011 ) . 10.设是来自正态总体的样本,则(3215
3
5151x x x ++ )是μ无偏估计.
11.设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体)1,5(N 的样本,则检验假设5:0=μH 采用统计量U =(n
x /15
-).
12.设23
2
1
321321=c c c b b b a a a ,则=---3
2
1
332
2113
21333c c c b a b a b a a a a (2-). 13. 设??
????2.04.03.01.03210
~X ,则=<)2(X P (0.4 ). 14. 设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知)的样本,则( 1x )是统计量. 15.若是对称矩阵,则等式(A A =')成立. 16.若( )成立,则元线性方程组AX O =有唯一解.
17. 若条件( ?=AB 且A B U += )成立,则随机事件,互为对立事件. 18.若随机变量X 与Y 相互独立,则方差)32(Y X D -=( )(9)(4Y D X D + ).
19若X 1、X 2是线性方程组AX =B 的解而21ηη、是方程组AX = O 的解则(213
2
31X X +)是AX =B 的解.
20.若随机变量)1,0(~N X ,则随机变量~23-=X Y ( )3,2(2-N ). 21.若事件与互斥,则下列等式中正确的是( ).
22. 若03
5
1
021011=---x ,则=x (3 ).30. 若)4,2(~N X ,(2
2
-X ),则. 23. 若
满足()()()(B P A P AB P = ),则与是相互独立.
24. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D 则等式(2
2)]([)()(X E X E X D -= )成立.
25. 若线性方程组只有零解,则线性方程组
(可能无解).
26. 若元线性方程组有非零解,则()成立.
27. 若随机事件,满足,则结论(与互不相容 )成立.
28. 若?
????
????
???=432143214321
4321A ,则秩=)(A (1 ).29. 若??
????=5321A ,则=*A ( ??????--1325 ).
30.向量组????
?
?????-????????????????????-??????????732,320,011,001的秩是( 3 ).31.向量组的秩是(4).
32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为(21,αα).
33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321
==-=ααα,则=-+32132ααα([]2,3,1--).
34.对给定的正态总体),(2σμN 的一个样本),,,(21n x x x Λ,2σ未知,求μ的置信区间,选用的样本函数服从(t 分布). 35.对来自正态总体
(
未知)的一个样本
,记∑==3
1
31i i X X ,则下列各
式中(∑=-3
1
2)(31i i X μ )不是统计量.)3,2,1(=i .
36. 对于随机事件,下列运算公式()()()()(AB P B P A P B A P -+=+)成立.
37. 下列事件运算关系正确的是( A B BA B += ).
38.下列命题中不正确的是( A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量).
39. 下列数组中,(16
3
1614121)中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.
40. 已知2维向量组4321,,,αααα,则),,,(4321ααααr 至多是( 2).
41. 已知??????
????????
=??
?
???-=21101210
,20101B a A ,若??
?
???=1311AB ,则=a ( 1- ). 42. 已知)2,2(~2N X ,若)1,0(~N b aX +,那么(1,2
1
-==b a ).
43. 方程组???
??=+=+=-3
31232121a x x
a x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a ),其中0≠i a ,
44. 线性方程组???=+=+01
3221x x x x 解的情况是(有无穷多解).
45. n 元线性方程组
有解的充分必要条件是()()(b A r A r M
= ) 46.袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都是红球的概
率是(
25
9
) 47. 随机变量)21,3(~B X ,则=≤)2(X P (87
).48.=??????-1
5473( 7543-????-??) 二、填空题
1.设B A ,均为3阶方阵,6,3A B =-=,则13()A B -'-= 8
.
2.设B A ,均为3阶方阵,2,3A B ==,则13A B -'-= -18 . 3. 设B A ,均为3阶矩阵,且3==B A ,则=--12AB —8 . 4. 设B A ,是3阶矩阵,其中2,3==B A ,则='-12B A 12 . 5.设
互不相容,且
,则
0 .
6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵,逆矩阵分别为11,--B A ,则='--11)(A B B A )(1'-.
7. 设A ,B 为两个事件,若)()()(B P A P AB P =,则称A 与B 相互独立 .
8.设A 为n 阶方阵,若存在数λ和非零n 维向量X ,使得AX X λ=,则称λ为A 的特征值. 9.设A 为n 阶方阵,若存在数λ和非零n 维向量X ,使得AX X λ=,则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量. 10. 设是三个事件,那么A 发生,但C B ,至少有一个不发生的事件表示为)(C B A +. 11. 设A 为43?矩阵,B 为25?矩阵,当C 为(42? )矩阵时,乘积B C A ''有意义.
12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵,其中C B ,可逆,则矩阵方程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B .
13.设随机变量012~0.20.5X a ?? ???
,则a
14.设随机变量X ~ B (n ,p ),则E (X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ,则=)(X E 15 .
16.设随机变量的概率密度函数为???
??≤≤+=其它,010,1)(2x x k
x f ,则常数k = π4 .
17. 设随机变量??
????-25.03.010
1~a X ,则45.0 . 18. 设随机变量?
?
????5.02.03.0210
~X ,则=≠)1(X P 8.0. 19. 设随机变量X 的概率密度函数为???≤≤=其它0
103)(2x x x f ,则=<)21(X P 81
.
20. 设随机变量的期望存在,则0. 21. 设随机变量,若5)(,2)(2==X E X D ,则=)(X E 3.
22.设
为随机变量,已知3)(=X D ,此时
27 .
23.设θ
?是未知参数θ的一个估计,且满足θθ=)?(E ,则θ?称为θ的 无偏 估计. 24.设θ
?是未知参数θ的一个无偏估计量,则有?()E θθ=. 25.设三阶矩阵A 的行列式2
1
=
A ,则1-A = 2 . 26.设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表示,则表示方法唯一的充分必要条件是n ααα,,,21Λ
线性无关 . 27.设4元线性方程组AX =B 有解且r (A )=1,那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量.
28. 设1021,,,x x x Λ是来自正态总体)4,(μN 的一个样本,则~10110
1∑=i i x )104,(μN .
29. 设n x x x ,,,21Λ是来自正态总体
的一个样本,∑==n
i i x n x 11,则=)(x D n
2σ
30.设4
12211
2
1
1
)(22+-=x x x f ,则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- . 31.设221
1
2
1
12214
A x x =-+,则0A =的根是 1,-1,2,-2 . 32.设??
??
?
?????=070040111A ,则_________________)(=A r .2 33.若5.0)(,8.0)(==B A P A P ,则=)(AB P 0.3 .
34.若样本n x x x ,,,21Λ来自总体)1,0(~N X ,且∑==n
i i x n x 11,则~x )1,0(n
N
35.若向量组:??????????-=2121α,??????????=1302α,????
?
?????-=2003k α,能构成R 3一个基,则数k 2≠ . 36.若随机变量X ~ ]2,0[U ,则=)(X D 3
1
.
37. 若线性方程组的增广矩阵为??????=41221λA ,则当λ=( 21
)时线性方程组有无穷多解. 38. 若元线性方程组0=AX 满足,则该线性方程组 有非零解 . 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A P B A P B A P ,则=)(AB P 0.3 .
40. 若参数θ的两个无偏估计量1
?θ和2?θ满足)?()?(21θθ
D D >,则称2?θ比1
?θ更 有效 . 41.若事件A ,B 满足B A ?,则 P (A - B )= )()(B P A P - . 42. 若方阵满足A A '=,则是对称矩阵.
43.如果随机变量的期望2)(=X E ,9)(2=X E ,那么=)2(X D 20 . 44.如果随机变量的期望2)(=X E ,9)(2=X E ,那么=)2(X D 20 . 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关,则k=1- 46. 向量组的极大线性无关组是
(
).
47.不含未知参数的样本函数称为 统计量 . 48.含有零向量的向量组一定是线性相关 的.
49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ,则=-)(B A P 0.6 .
50. 已知随机变量?
?
????-5.01.01.03.0520
1~X ,那么=)(X E 2.4 . 51. 已知随机变量??
????-5.05.05.05.0520
1~X ,那么=)(X E 3. 52.行列式7012156
83的元素21a 的代数余子式21A 的值为= -56 .
53. 掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为4”的概率是( 12
1
). 54. 在对单正态总体
的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是(未知方差,检验均值).
55. 1
1
1
11
1
1
---x x 是关于x 的一个多项式,该式中一次项x 系数是 2 .
56. =
?
?
????-1
2514??
?
???--451231. 57. 线性方程组b AX =中的一般解的自由元的个数是2,其中A 是54?矩阵,则方程组增广矩阵
)(b A r M = 3 . 58. 齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵经初等行变换化为
????
?
?????--→→000020103211ΛA
59. 当λ= 1 时,方程组???-=--=+11
2121x x x x λ有无穷多解.
1.设矩阵
,且有
,求X .
解:利用初等行变换得
即
由矩阵乘法和转置运算得
2.设矩阵??
??
?
?????=??????????--=500050002,322121011B A ,求B A 1-. 解:利用初等行变换得
?????
?????--→??????????--10234
0011110001
011100322010121001011 ???????
???----→??????????----→1461
0013501000
1
11146100011110001011 ??
???
?????-----→146100135010134001 即 ??
??
?
?????-----=-1461351341A 由矩阵乘法得
??
???
?????-----=????????????????????-----=-52012515105158500050002146135
13
4
1B A 3.设矩阵????
?
?????=??????????--=210211321,10011
013
2B A ,求:(1)AB ;(2)1-A . 解:(1)因为210
0110132-=--=A 12
11
12
102111
102102113
21-=-===B 所以 2==B A AB .
(2)因为 []?????
?????--=1001
000101
100011
32I A ????
???
???--→??????????--→10010
011001012/32/100
1100100110010101032 所以 ??
??
?
?????--=-10011012/32/11A . 4.设矩阵100111101A ??
??=-??
??-??
,求1()AA -'. 解:由矩阵乘法和转置运算得
100111111111010132101011122AA --??????
??????'=-=-??????
??????----?????? 利用初等行变换得
10020
100111
201110
1????→????-??100201011101001112??
??→---??????
即 12
01()0
111
12AA -????'=??????
5.设矩阵??
??
?
?????---=423532211A ,求(1)A ,(2)1-A .
解: (1)11
001102
1
12101102
1
14235322
11
=---=---=---=A
(2)利用初等行变换得
????
??????-----→??????????---1032100121100012
11100423010532001211
即
6.已知矩阵方程B AX X +=,其中??????????--=301111010A ,??
??
?
?????--=350211B ,求X . 解:因为B X A I =-)(,且
?????
?????-----→??????????---=-101
21001111000
10
111002010101
0100
10
11)(I A I M ??
??
?
?????----→??????????-----→110
100121010120
00111010
011110
010101
即 ??
??
?
?????----=--110121120)(1A I 所以 ??
??
?
?????---=??????????--??????????----=-=-334231350211110121120)(1B A I X .
7.已知B AX =,其中??
??
?
?????=??????????=108532,1085753321B A ,求X . 解:利用初等行变换得
?????
?????------→??????????105520013210001
3211001085010753001321 ????
???
???----→??????????---→12110
025*********
1121100013210001321 ??
???
?????-----→121100255010146001 即 ??
??
?
?????-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得
??
????????--=????????????????????-----==-1282315138
1085321212551461B A X
8.求线性方程组???????=++-=++--=+-+-=-+-2
2842123422721
3432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.
解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 ????????????----→????????????-------0462003210010101113122842123412127211131?
?
???
?
?
??
???---→????????????---→0000002200010101113
106600022000101011131 方程组的一般解为: (其中
为自由未知量)
令
=0,得到方程的一个特解)0001(0'=X .
方程组相应的齐方程的一般解为: ???
??-===43
42415x
x x x x x (其中为自由未知量)
令=1,得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .
于是,方程组的全部解为:10kX X X +=(其中k 为任意常数)
9.求齐次线性方程组 ???
??=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解.
解: A =??
??
?
?????→??????????--326001130012331203313596212331 ??????????→100001130012331??
???
?????→100000130001031 一般解为 ??
??
???=-=--=0
313543421x x x x x x ,其中x 2,x 4 是自由元
令x 2 = 1,x 4 = 0,得X 1 =)0,0,0,1,3('-; x 2 = 0,x 4 = 3,得X 2 =)0,3,1,0,3('--
所以原方程组的一个基础解系为 { X 1,X 2 }.
原方程组的通解为: 2211X k X k +,其中k 1,k 2 是任意常数.
10.设齐次线性方程组???
??=+-=+-=+-0
830352023321321321x x x x x x x x x λ,λ为何值时方程组有非零解?在有非零解时,求出通
解.
解:因为
A =??????????---λ83352231??????????---→610110231λ??
??
??????---→50011010