2020成人高考专升本数学复习(高数一)复习题及答案

2020年成人高考专升本高等数学一复习

试卷构成分析

一、题型分布：

试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分

二、内容分布

难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程

复习方法：

1、结合自身情况定目标

2、分章节重点突破，多做题，做真题

第一部分 极限与连续

题型一：求极限

方法一：直接代入法（代入后分母不为0都可以用） 练习：1. 2

lim

π→

x x

x sin 1

2-＝_______ 2. x x x sin lim 1→＝______

方法二：约去为零公因子法

练习1. 1

2lim 221--+→x x x x ＝______ 练习2、lim x→1x 4?1

x 3?1=

练习3. lim x→1

√5x?4?√x

x?1 =

方法三：分子分母同时除以最高次项（

∞

∞

） 练习1. ∞

→x lim

1132-+x x ＝_______ 2. 1

1

2lim 55-+-∞→x x x x ＝______ 练习3.lim x→+∞

(√x 2+2x ?√x 2?1)

方法四：等价代换法（x →0时，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x ln(1+x)~x 1?cos x~1

2x 2）

（等价代换只能用于乘除，不能用于加减）

练习1. 1lim →x 1

)

1sin(2--x x ＝

练习2. 0lim →x x x x sin cos 1-＝___ ____ 3. 1

)

1arcsin(lim 31--→x x x ＝______

方法五：洛必达法则（分子分母求导）

（

∞

∞）型 或（00

）型 或 其他变形形式

练习1. ∞→x lim 35

3-+x x ＝_______ 2. 1

12lim 22-+-∞→n n n n ＝______

练习：3. 1lim →x 1ln --+x e e x x ＝_______ 4. 1

2lim 221--+→x x x x ＝______

两个重要极限（背2个重要极限）

练习1.1lim

→x 22)22sin(--x x ＝__ ____ 2. x

x

x 42sin lim 0→＝____ __

练习3.0lim →x x x 4sin 2sin ＝__ _ 4. x

x

x 2tan lim 0→＝____ __

(练习1-4也可以用等价无穷小法)

练习5.∞

→x lim x x 2)11(+

＝__ ____ 6.∞→x lim x x )21

1(+＝__ ____

练习7.∞

→x lim x x )231(+

＝__ ____ 8. ∞→x lim x x

3)21

1(-＝__ ____

练习9.0

lim →x x

x 1

)21(+ ＝__ ____ 10. 0

lim →x x

x 21)

1(-＝__ ____

无穷小量乘以有界函数 ＝ 无穷小量 练习1. 0

lim →x xsin

x

1=________ 2. ∞→x lim x 1

sinx=________

(什么是无穷小量？高阶无穷小，低阶无穷小，等阶无穷小，等价无穷小？)

题型二：连续性问题（可导/

练习1. 函数???<+≥+=1

,1,1ln )(2

x x ax x x x f 在x=1处连续，则a=______

练习2. 函数???

??<+≥+=0

,0,)1()(1

x x a x x x f x 在x=0处有极限，则a=______

练习3. 函数???<+≥+=2

,2,1)(2

x x b x ax x f 在x=2处可导，则a=______， b=______

第二部分 一元函数微分学

题型一：求导（背导数公式、导数的四则运算，复合函数求导公式）

(y’=f’(x)=

dx

dy

这三种是一个意思, 如果求微分dy ，就是dy= y’dx) 练习1. f(x)=sinx+2cosx , 则f’(2

π

)=__ ____

练习2. y=xlnx , 则dy=___ ___

练习3. y=x x cos 12+ , 则dx

dy

=___ ___

练习4. y=x 4cosx +

x

1+ e x

, 则y’=__ ____ 练习5. y=cos 4x, 则y’=___ 6. y=sin （x 3+1）, 则dy=___ ___ 练习7. y=x x +2

, 则y’=__ ____ 8. y=)ln(x x +, 则dy=___ ___

题型三中，一定要注意运算率 (kv)’=______ (uv)’=______ )'(v

u

=_____ f(g)’=_____ 一定要背好导数公式，在考试中占40分左右

题型二：高阶导数与隐函数的求导

练习1. y=x 3+lnx, 则y”=______ 2. y=cos2x, 则y (4)=______ 练习3. y=ln （2x+1）, 则y”=______ 4. y=xe 2x , 则y”(1)=______ 练习5. 2x 3+xy++y+y 2=0, 则dx dy =______ 6. e x +y=sinxy, 则dx

dy =______

题型三. 在某点处的切线或法线（斜率或方程）

练习1.曲线y=2x 3在点（1，2）处的切线的斜率为_______, 切线方程为___________ 练习2. 曲线y=sin(x+1)在x=-1处的切线方程为___________ 练习3. 若y=ax 2+2x 在x=1处的切线与y=4x+3平行，则a=________ 练习4.双曲线y =1

x 在点（1

2,2）处的法线方程为

题型四：求驻点、极值点（极值）、拐点、单调区间、凹凸区间

1.求驻点、拐点、极值点

练习1. 曲线 y=x 3－3x 的驻点为___________ 极值点为__________ 拐点为_______

2.求单调区间与极值（大题） 练习2.求143

1)(3

+-=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点（答案见11年高考）

练习3. 若f(x)=ax 3+bx 2+x 在x=1处取得极大值5，求a,b

第三部分 一元函数积分学

题型一：求不定积分基础计算（背好公式：原函数、不定积分的性质、基本积分公式 ） 练习1：f(x)=3e 2x 则

?dx x f

)('

＝___ ___

练习2：f(x) 的一个原函数是x 3，则f’(x)=_ __ 练习3：x 2是f(x)的一个原函数，则f(x)=__ ___ 练习4：

?

+）

2

1(dx d x dx=__ 练习5：?

+dx x x )(＝______

练习6：?dx x )1

(

2＝______

练习7：?++++dx e x

x x x )1

1cos 2(＝______

题型二：凑微分法求积分 练习1：?

2

x xe dx=_ __ 练习2：?+12x e dx=_ __

练习3：?

+x 321dx=__ 练习4：?+2

2x x

dx=__ 练习5：?

+)2cos(2x x dx=___ 练习6：?x

x

ln dx=___ 练习7：?

x

x )

sin(ln dx=___ 练习8：?+12x x dx=__ _

题型三：分部积分法求积分 公式：______________________ 练习1：?x ln dx=___ 练习2：?x x ln dx=___

练习3：?

x e x 2dx=___ 练习4：?x x sin dx=___

练习5：?x x sin 2dx=___

题型四： 求定积分基础计算

练习1：

?-22

sin π

πx dx=_ __ 练习2：?+1

2

1(）x dx=__ _

练习3：

?+102

1(dx

d ）x dx=__ _ 练习4：?

e dx x

11

=_ __

练习5：＝则??

?

?≤<≤≤=202f(x)dy ,21,21

0,)(x x x x x f _________ 练习6：?

e

x x 1

ln dx=___

题型五：广义积分 练习1：?

+∞

1

2x e dx=___ 练习2：?

∞-+0

21

1

x dx=___

题型六：平面图形的面积与旋转体的体积（有可能大题）

练习1. 设D 为曲线y=1-x 2， 直线y=x+1及x 轴所围成的平面区域，如图 （1）求平面图形的面积

（2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V x

还有一道2013年26题见课本

第四部分 空间解析几何

题型一： 求直线方程或法向量

练习1、一平面过点（1,-1,0）且与向量{2,1,3}垂直，则该平面方程应为= 练习2、一平面过点（1,0,2）且与平面2x ?y +4z ?1=0平行，则该平面方程为 练习3、已知两平面π1:kx ?2y +3z ?2=0与平面：π2:3x ?2y ?z +5=0垂直；则k= 练习4、过两点A （1,2,1）,B （-1,3,0）的直线方程为 练习5、直线

x?13

=

y+1?1

=

z?21

与平面x+2y -z+3=0位置关系是（ ）

A 、直线垂直于平面

B 、直线平行于平面，但不在平面上

C 、直线与平面斜交

D 、直线在平面内

题型二：二次曲面

练习1、试确定球面x 2+y 2+z 2?2x +2y +4z +2=0的球心与半径。

练习2、指出下列方程字空间直角坐标系中所表示曲面的名称（ ） （1）x 2+y 2=1 （2）2x 2+y 2?z 2=0 （3）2x 2+y 2=z （4）z =y 2 （5）x 2

4+

y 21

+

z 29

=1 （6）（x ?1）2+（y +1）2

+z 2=1

练习3、在空间直角坐标系中，方程x 2?4(y ?1)2=0表示（ ） A 、两个平面 B 、双曲柱面 C 、椭圆柱面 D 、圆柱面 练习4、方程2z =x 2+y 2表示的二次曲面是（ ） A 、椭球面 B 、柱面 C 、圆锥面 D 、抛物面

第五部分 多元函数微分学

题型一：偏导数 练习1 z=x 3+x 2y+3y 4,

=??y z ___________ =??x

z ____________ =??2

2x z ___________ =???y x z 2___________=??22y

z

_________ 练习2 z=ln(2x+3y)+tan(xy), =??)

2,1(x

z

____________

题型二：全微分

练习3 z=x 2e y+3, dz =____________

题型三：隐函数

练习1 （一元）1=x 3+x 2y+3y 4, dx dy

=____________ 练习2 （二元）0=x 3+y 3-e z +z 2+z, x

z

??=____________

题型四：二元函数（有条件，无条件）极值

练习1 求二元函数f(x,y)=x 2+y 2+2y 的极值（2012年）

练习2 求二元函数f(x,y)=x 2+y 2在条件2x+3y=1的极值（2013年）

题型五：二重积分及应用

练习1、设D 为圆环域{(x,y )|1≤x 2+y 2≤9}则?1dσ.

D =

练习2、设积分区域D 是由曲线y=0， y =√2?x 2围成的平面区域，则?2dσ

D = 练习3、?√9?x 2?y 2

x 2+y 2≤9dσ= 练习4、?√1?x 2?y 2 x 2+y 2≤1

dσ= 练习5、∫dx ∫x 2sin ydy 1?11

0= （矩形区域） 练习6、计算下列二重积分（直角坐标系） （1）?（x 2+y ）dxdy D ，D 由y =x 2与y 2=x 围成 （2）?y x dxdy D

，D 由y =x ，y =2x ，x =2与x =4围成

练习6、计算下列二重积分（极坐标）

（1）?（1?x 2?y 2）dxdy

D ，D 是由y=x ，y=0，x 2+y 2=1在第一象限内所围成的区域。 （2）?acrtan y

x dxdy

D ，D ={(x,y )|1≤x 2+y 2≤4，x ≥0，y ≥0}

第六部分 无穷级数

题型一：判断收敛性、绝对收敛、条件收敛 练习1、在条件（ ）时，级数∑u n ∞n=1 收敛。 A 、lim n→∞

u n =0 B 、{u n }收敛

C 、{S n }收敛

D 、{S n }单调

练习2、若级数∑u n ∞n=1 收敛，下列级数收敛的是（ ）

A 、∑(u n +2∞n=1)

B 、∑(u n ∞n=1?1)

C 、∑u n+2∞n=1

D 、∑1u n

∞n=1

练习3、判定下列级数的敛散性

（1）∑n

2+n 2∞n=1 （2）∑4∞

（3）∑3n

n!∞n=1

练习4、下列级数中为条件收敛的是（ ）

A 、∑(?1)n n n+1∞n=1

B 、∑(?1)n

√n ∞n=1

C 、∑(?1)

√n

∞n=1 D 、∑(?1)

n 1n 2

∞n=1

练习5、当满足条件（ ）时，∑(?1)

n?1

u n ∞n=1（u n >0）收敛 A 、u n+1

u n =0

C 、u n+1≤u n (n =1,2,3……)，lim n→∞

u n =0 D 、lim

n→∞u n

u n+1

<1

练习6、判定级数∑cos nπn

∞n=1的敛散性

题型二：幂级数的收敛半径、收敛区间 练习1、求∑n 3n?1?√n

∞n 的收敛半径、收敛区间。

练习2、求∑(?1)n (x?1)

n

2n+1

∞n=1的收敛半径、收敛区间

第七部分常微分方程

题型一：一阶微分方程方程练习1 y′=x3，y=

练习2 求微分方程dy

dx +e y

3+x

y2

=0的通解。

练习3 求微分方程y′+1

x

y=x2的通解。

题型二：二阶线性微分方程组解法

练习1、求微分方程的解

(1)y′′+2y′?3y=0

(2) y′′+2y′+y=0，满足初始条件y| x=0=0，y′| x=0=1；练习2、求微分方程y′′?4y′+4y=e2x的通解

练习3、微分方程y′′+5y′+6y=2e?x的一个特解

习题答案 第一部分 题型一

1、π-1

2、sin 1 1、1 2、4

3 3、2 1、√3 2、2 3、1 1、1

2 2、1

2 3、1

3

1、3

2、2

3、1+e

4、1 两个重要极限

1、1

2、1

2

3、1

2

4、2

5、e 2

6、e

7、2

3e 8、2

3-

e

9、e 2 10、2

1-e

无穷小量 1、0 2、0 题型二

1、0

2、e

3、4,5 第二部分 题型一

1、-2

2、(lnx+1)dx

3、 x

x

x x x 22cos sin )1(cos 2++

4、x e x x x

x x +-

-2

4

3

1

sin cos 4

5、-4cos 3x sin x

6、3x 2cos(x 3+1) dx

7、)12()(212

1

2++-x x x 8、 dx x x

x )211(121

-++ 题型二

1、2

1

6x

x -

2、16cos2x

3、

2

)

12(4

+-x 4、4e 2x (1+x) 5、y

x y x 2462++-- 6、xy x y e xy y x cos cos --

题型三

1、6 6x - y -4=0

2、x -y+1=0

3、1

4、2x ?8y +15=0 题型四

1、x=1，-1 x=1，-1 x=0

2、解：f’(x)=x 2-4

f’(x)>0 ,x>2或x<-2，即f(x)单调递增区间为[-∞,-2] ∪[2,+ ∞] f’(x)<0, -2

f(x)极大值为329，f(x)极小值为3

13

-。 f’’(x)=2x

当x>0时，f(x)凹的，当x<0时，f(x)凸的，x=0为f(x)的拐点。

3、解：f’(x)=3ax 2+2bx+1 x=1时取得极大值5得： f’(1)=3a+2b+1=0 f (1)= a+b+1=5 解得a=-9，b=13 第三部分 题型一

1、3e 2x +C

2、6x

3、2x

4、1+x 2

5、C x x ++23

23

2

21 6、 -x -1+C

7、x 2+sin x+x+lnx+e x +C 题型二 1、

C e x +221 2、C e X ++1221

3、

C x ++|23|ln 31 4、C x ++)2ln(21

2 5、C x ++-

)2sin(212 6、C x +2)(ln 2

1

7、-cos(lnx)+C 8、C x ++23

2

)1(3

1

题型三 1、

C x x +-)1ln 2(2

12

2、x(lnx -1)+C

3、e x (x 2-2x+2)+C

4、-xcos x+sin x+C

5、-x 2cos x+2xsin x -2cos x+C 题型四

1、0

2、

3

4

3、0

4、1

5、

37 6、)1(4

12

+e 题型五

1、+∞

2、2

π

题型六 (1)S=

dx x dx x ??

-++-1

20

1

）1(）1(

=

1031

0012|3

||2)1(x x x -++- =

31121-+ =

6

7 V=

dx x dx x ??

-+

+-1

2

22

1

）1(）1(ππ =1

010310013|5

1|32||3)1(5x x x x ππππ

+-++- =

ππππ5

13231+-+ =π15

13

第四部分 题型一

1、2x+y+3z -1=0

2、2x -y+4z -10=0

3、?1

3 4、x?1

?2=y?21

=

z?1?1

5、D

题型二

1、（1,-1,2）半径2

2、（1）椭圆柱面（2）椭圆锥面（3）椭圆抛物面（4）平行于x 轴抛物面 （5）椭圆球面 （6）球面

3、A

4、D 第五部分 题型一

1、x 2+12y 3 3x 2+2xy 6x+2y 2x 36y 2

2、

2

cos 2522+ 题型二

1、dz=2xe y+3dx+x 2e y+3dy 题型三

1、3221223y x xy x ++

2、2

312x

z e z -- 题型四 1、解①

x x

f 2=?? 22+=??y y f

令

x x

f 2=??=0 22+=??y y f

=0得x=0，y=-1

②

222=??x f 02=???y x f

222=??y f ③A=

201

2

2=??=-=x y x f

B=

001

2=???=-=x y y

x f

C=201

2

2=??=-=x y y

f

④因为B 2-AC=-4<0且A=2>0

所以（0，-1）是f （x,y ）极小值点，极小值为-1。

2、解：设F(x,y,z)=f(x,y)+λψ(x,y)=x 2+2λx+y 2+3λy -λ F’x = f’(x,y)+λψ’(x,y)=2x+2λ=0 F’y = f’(x,y)+λψ’(x,y)=2y+3λ=0 F’λ=ψ’(x,y)=2x+3y -1=0 解得x 0=

132 y 0=133 λ=13

2- 当x 0=

132， y 0=133时，f(x,y)极值为13

1 题型五：二重积分及应用

练习1、设D 为圆环域{(x,y )|1≤x 2+y 2≤9}则?1dσ.

D = 解：对于二重积分，当被积函数f (x,y )=1时，在D 上的二重积分等于D 的面积，

故?1dσ

D =9π?π=8π 练习2、2π

练习3、?√9?x 2?y 2

x 2+y 2≤9

dσ= 解：被积函数z =√9?x 2?y 2，是x 2+y 2+z 2=9表示的二次曲面在xOy 坐标面以上的部分，即半球面，故二次积分的几何意义知： 得?√9?x 2?y 2

x 2+y 2≤9dσ=4

3π?33?1

2=18π 练习4、23π

练习5、∫dx ∫x 2sin ydy 1

?11

0= （矩形区域）

解：∫dx ∫x 2sin ydy 1

?11

0=∫x 2dx ∫sin ydy 1

?11

0=0（∫sin ydy 1

?1=0被积函数是奇函数） 练习6、解：（1）方法一：D 可表示为0≤x ≤1 X -型 x 2≤y ≤ √x

则：?(x 2+y

)dxdy D =

∫dx ∫(x 2+y )

dy =

∫(x 2y

+1

2y

2

)| x 2√x dx

=1

0√x x 210∫(x 5

2

+x

2?

1

032

x 4

)dx =(2

7x 7

2

+1

4x 2

?310

x 5)| 01=33

140

方法二： D 可表示为0≤y ≤1 Y -型 y 2≤x ≤ √y

则：?(x 2+y

)dxdy D =

∫dy ∫(x 2

+y )

dx =∫(13x 3

+

yx)| y 2

√y

dy =10√y

y 210∫(43

x 3

2

?

1013

y 6? y 3)dy =

33140

(2)积分区域D 可表示为2≤x ≤4 x ≤y ≤ 2x 故?y

x

dxdy D =∫dx ∫y x

dy =∫12x

y 2| x 2x dx =∫ 32

xdx =3

4

42

42

2x x

4

2x 2| 24=9 练习6、计算下列二重积分（极坐标）

解：（1）所给区域D 是圆的一个扇形，可用极坐标计算。将区域D 的边界曲线x 2+y 2=1化为极坐标的表达式为r=1，故D 可以表示为0≤θ≤π

4

，0≤r ≤1

于是?（1?x 2?y 2

）dxdy

D =

?(1?r 2

)rdrdθ

D

=

∫dθ∫(1?

r 2

)rdr =∫(1

2

r 2?

π4

01

0π4

014

r 4)| 0 1dθ=4

4∫ dθ=π

16π4

(2)被积函数含y

x ，积分区域为环形的一部分，可用极坐标计算。