六年级巨人奥数1-16讲

第一讲圆柱和圆锥的表面积

一、知识要点

表面积是指物体各个面的面积之和。

在解答有关圆柱、圆锥的表面积问题时，要注意以下几点：

1．借助图形仔细辨别表面积包含了哪些具体的面，增加了哪些面，减少了哪些面，要正确运用公式进行解答。

2．把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

3．有时解决问题过程中，题中一个关键的数量未知时，可借助字母做中介，从而解题。

4．解组合图形表面积时，要整体考虑，仔细观察组合图形各个面之间是否有某种联系，是否可将一些面变形为其他的面。

需要记住的公式：

圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的表面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）

二、精选例题：

1，根据现有木料要加例1:有一块方木，横截面为正方形，边长4分米，相当于长的

10

工成最大的圆柱体，则此圆柱体的表面积是多少？

【思路点拨】

π=）例2:用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米? （3【思路点拨】

例3:有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱

形的直孔，如图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分

涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

【思路点拨】

例4:将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。

【思路点拨】

例5:一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．

【思路点拨】

例6:一段圆柱体木料，如果截成两段，其表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，其表面积增加40平方厘米。求此圆柱体的表面积。

【思路点拨】

例7:从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。求这个几何体的表面积。

【思路点拨】

例8:如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．

【思路点拨】

练习：

1、一个长方形的长8厘米，宽4厘米，以长方形的长为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的表面积是多少？

2、有一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱体，沿着上下底面的圆心的连线切开后，它的表面积增加了多少平方厘米？

3、如图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？

4、在一个底面积为300平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两个面为底，挖出一个最大的圆柱，然后在剩下的铸铁表面涂上油漆，求涂油漆的面积是多少？

5、一个正方体木块，将它削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的侧面积是314平方厘米，那么原来正方体的表面积是多少平方厘米？

6、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图．圆孔的直径是5厘米，孔深6厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

7、一个圆柱高8厘米，如果它的高减少2厘米，那么它的表面积减少25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？

8、一个圆柱表面积是314平方厘米，这个圆柱的底面半径是高的1/3,这个圆柱的侧面积是多少？

9、一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分

别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，

这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

10、如图，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧

贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米。

第二讲圆柱和圆锥的体积

一、知识要点

在日常生活、生产实践中，我们会经常遇到一些有关立体图形的计算问题，如圆柱体的体积及圆锥体的体积等。其计算公式和原理归纳如下：

1．圆柱体的体积=πr2h

2．圆锥体的体积=1

3

πr2h

3. 等积变化原理的应用

在正确理解和熟练掌握上面公式的基础上，要注重它们之间的内在联系。解答立体图形题目，要联系生活实际，要有丰富的想象力和一定的作图看图能力。

二、精选例题：

例1：这里有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？

【思路点拨】

例2：如图，ABCD是直角梯形(单位：厘米，3

π=)，

（1）以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少? （2）如果以CD为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?

【思路点拨】

例3：下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。

【思路点拨】

例4：张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?

【思路点拨】

例5：一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积6.28立方厘米圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率＝3.14）。

【思路点拨】

例6：如右图所示，圆锥形容器内装的水正好是它容积的8

27

，水面高度是容器高度的

几分之几？【思路点拨】

例7:一个容积为1064立方厘米的瓶子，瓶子中饮料高度h

1为15厘米，图中h

2

为6厘

米，求瓶中有多少立方厘米的饮料？

【思路点拨】

例8:一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积是16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?

【思路点拨】

练习：

1、母亲节时，小明送妈妈一个茶杯。（如图，单位：厘米）

（1）茶杯中部的一圈装饰带很漂亮，那是小明怕烫伤妈妈的手特意

贴上的，这条装饰带宽5厘米，装饰带展开后至少长多少厘米？（接头

处忽略不计）

（2）这只茶杯的体积是多少？

2、有一个圆锥形帐篷，底面直径约5米，高约3.6米

（1）它的占地面积约是多少平方米？

（2）它的体积约是多少立方米？

3、一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径改为原来的 2 倍后，可装水 40 千克，那么原来的水桶可装水多少千克？

4、一个圆柱体的侧面积是8平方厘米，底面半径是2厘米。它的体积是多少立方厘米？

5、一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．

6、有A、B两个容器，如下图，先将A容器注满水，然后倒入B容器，求B容器的水

深。（单位：厘米）

7、如图，有一种瓶深为24Cm的塑料瓶，瓶身呈圆柱形(不包括瓶

颈)，现在瓶中装有一些水，正放时水高16cm，倒放时水高20cm，

若水的体积是32cm3，则瓶子的容积是： cm3。

8、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块。这时水面高多少厘米？

9、如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度

的一半，这个容器还能装多少水?

10、如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的体积．

第三讲比例的应用（一）

一、知识要点

学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基础。

比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。解答比和比例问题应综合运用比和比例的意义、性质.

比例问题的解题思路与方法：第一步找出与问题有关的两种相关联的量，并正确判断它们是否成比例关系，是成正比例还是成反比例；第二步找出两种量的对应数值，并将未知数量设为x；第三步根据正、反比例意义列出比例式；第四步解比例，求出x的值；第五步检验、写出答句，其中判断是否成比例，是成正比例还是反比例，是解题的关键。

两个数量的变化情况，可分为前项不变，后项不变，差不变，和不变，复杂变化五类.

二、精选例题：

例1:小明和小强原有书的数量之比为5：4，小明又买了24本，小强丢了6本，现在两人的书之比为2：1，那么小明原来有书多少本？

【思路点拨】

例2:两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中的酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精和水的体积之比是多少？

【思路点拨】

例3:有盐水若干千克，加入一定量水后，盐水浓度降到3%，又加入同样多的水后，盐水浓度又降到2%，问：如果再加入同样多的水后，盐水浓度降到多少？

【思路点拨】