用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

第一章前言

众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础.

我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.

数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一,更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中,实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点, 利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则.

下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容, 为后面的证明做铺垫.

定义1.2.1]2[设S为数轴上的点集, H为开区间的集合,（即H的每一个元α的开区间）, 若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内, 素都是形如)

,

(β

则称H为S的一个开覆盖, 或称H覆盖S. 若H中开区间的个数是无限（有限）的, 则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.

定理1.2.1]2[（有限覆盖定理）设H为闭区间]

[b

a的一个（无限）开覆盖, 则

,

从H中可选出有限个开区间来覆盖]

a.

,

[b

第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理

2.1 用有限覆盖定理证明确界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下:

定义2.1.1]2[ 有非空的数集E , 如果存在α, 有下列性质:

（1）对任意E x ∈, 有α≤x ;

（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有0x <-εα, 则称是数集E 的上确界, 认为:

E s u p

=α. 定义2.1.2]2[ 非空的数集E , 如果存在β, 有下列性质:

（1）对任意E x ∈, 有x ≤β;

（2）对任意0>ε, 总存在某个数E x ∈0, 有εβ+<0x , 则称β是数集E 的下确界, 认为:

E i n f

=β. 定理 2.1.1]2[（确界定理）任何非空集R E ?, 若它有上界, 则必有上确界R E ∈sup （等价地若有下界, 必有下确界）.

证明 设E x R E ∈??≠Φ,有M x ≤. 任取一点E x ∈0, 考虑闭区间],[0M x , 假若E 无上确界（最小上界）, 那么),[0M x x ∈?:

i) 当x 为E 的上界时, 必有更小的上界x x <1, 因而x 有一开领域x ?, 其中 皆为E 的上界;

ii) 当x 不是E 的上界时, 自然有E 中的点x x >2, 于是x 有开领域x ?, 其 中每点皆不是E 的上界.

],[0M x 上每点都找出一个领域x ?, 它要么属于第一类

（每点为上界）, 要么属于第二类（每点皆不是上界）, 这些领域]},[:{0M x x x ∈?, 组成闭区间],[0M x 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{,1?…n ?,}, 注意, M 所在

的开区间, 应为第一类的, 相邻接的开区间x ?有公共点, 也应为第一类的, 经过有限次邻接. 可知0x 所在的开区间也是第一类, 这便得出矛盾. 从而得证非空集R E ?, 若它有上界, 则必有上确界.

同理可证非空集R E ?, 若它有下界, 则必有下确界.

2.2 用有限覆盖定理证明单调有界定理

本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理, 首先给出单调有界的定义和定理如下:

定义2.2.1]2[ 若数列}{n a 的各项满足关系式

1+≤n n a a )(1+≥n n a a ,

则称}{n a 为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列.

定理2.2.1]2[（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.

证明 不妨设],[}{b a x n ?为单调有界数列, 若对],[b a x ∈?, x 都不是}{n x 的

极限, 则,00>?ε 对,+∈?N N 有,||0ε≥-x x n 则在)2;(0εx U 内仅含有}{n x 的有限项, 令]},[|)2;({b a x x U H ∈=ε, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2,(),2,(2211εεx U x U … )2,(,n n x U ε是它的一个子覆盖, 即],[)2;(1b a x U i i n i ?=ε , 而,2,1)(2,(=i x U i i ε…),n 只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这

与],[b a 是无限点集矛盾, 从而得证任何有界的单调数列一定有极限.

2.3 用有限覆盖定理证明区间套定理

本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理, 首先给出区间套的定义和定理如下:

定义2.3.1]2[ 若闭区间列]},{[n n b a 具有下列性质:

（1）],[],[11++?n n n n b a b a ,n=1,2,3…;

（2）0)(lim =-∞

→n n n a b 则称这个闭区间列]},{[n n b a 为闭区间套, 或称区间套.

定理2.3.1]2[（区间套定理）若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ, 使

得ξ][,n n b a ∈, n=1,2,3,… 或n n b a ≤≤ξ, n=1,2,3,…

证明 设]},{[n n b a 为闭区间套, 但对],[11'b a x ∈?, 至少N k ∈?, 使

],['k k b a x ?, 从而0'>?x δ, 使Φ=],[),(''k k x b a x U δ.

现因]},[|),({'''b a x x U G x ∈=δ是],[11b a 的一个开覆盖, 故G 中有限个开区间即可完全覆盖],[11b a , 记为

}1|),({*n i x U G i i ≤≤=δ,

其中Φ=],[),(i i k k i i b a x U δ （i =1,2,…,n;2≥i k ）.

令,,max(210k k k =…),n k , 则],[],[001b a b a i i k k n

i == . 于是对)1(n i i ≤≤?, 都有Φ=],[),(00k k i i b a x U δ, 由此得出

Φ===],[)),((],[00001*k k i i n

i k k b a x U b a G δ

这与*G 为],[11b a 的开覆盖条件矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.

2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理

本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理, 首先给出聚点的定义和定理如下:

定义2.4.1]2[ 设S 是直线上的点集}{x , ξ是一个定点（它可属于S , 也可不属于S ）. 若ξ的任意领域内含有S 的无限多个点x , 则称ξ为S 的一个聚点.

其等价定义: 对于点集}{x S =, 若ξ点的任意ε邻域内都含有S 的一个异于ξ的点x （即ξεξ≠∈x S x ),,( ）, 则称ξ为S 的一个聚点.

定理 2.4.1]2[（聚点定理）直线上的有界无限点集S 至少有一个聚点.

证明 设E 为直线上有界无穷点集, 若存在0>M , 使],[M M E -?中任何点不是E 的聚点, 则对每一个],[M M x -∈, 必存在相应的0>x δ, 使得在),(x x δ 内至多含有E 的有限多个点.

设]},[|),({M M x x H x -∈=δ , 则H 是],[M M -的一个开覆盖, 由有限覆盖定理, H 中存在有限个开覆盖),(j x j x δ （j=1,2,3,…）构成],[M M -的一个开覆

盖, 当然也覆盖了E . 则在],[M M -中至多含有E 的有限多个点j x （j=1,2,3,…）. 故E 为有限点集, 这与题设E 为无限点集相矛盾. 于是, E 至少有一个聚点.

2.5 用有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则

本节主要运用有限覆盖定理证明Cauchy 收敛准则, 首先给出Cauchy 收敛准则如下:

定理2.5.1]2[ （柯西收敛准则）数列}{n a 收敛的充要条件是: 对任给的正数ε, 总存在某一个自然数N , 使得N m n >,时, 都有

ε<-||n m a a

柯西收敛准则又叫实数完备性定理.

柯西收敛准则（充分性部分） 若实数列}{n x 满足: 0>?ε,N m n N N >?∈?+,,,有ε<-||m n x x , 则}{n x 收敛.

证明 ,,,0N n N N >?∈?>?+ε 有

||||||||||||111111+++++++<+-≤+-=?<-N N N n N N n n N n x x x x x x x x x x εε 其中}{2,1n x N N n ?++=是有界的, 设],[}{b a x n ?, 若对],[b a x ∈?, x 都不是

}{n x 的极限, 则,00>?ε 对,+∈?N N 有,||0ε≥-x x n 则在)2;(0εx U 内仅含有}{n x 的有限项, 令]},[|)2;({b a x x U H ∈=ε, 则H 是闭区间],[b a 的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在),2,(),2,(2211εεx U x U …)2,(,n n x U ε是它的一个子覆盖, 即],[)2,(1b a x U i n i i ?=ε , 而,2,1)(2,(=i x U i i ε…),n 只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出],[b a 也只含有限个点, 这

与],[b a 是无限点集矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.

柯西收敛准则 （必要性部分）若实数列}{n x 收敛, 则}{n x 满足:

0>?ε,N m n N N >?∈?+,,时, 有ε<-||m n x x 成立.

证明 设}{n x 收敛于α, 按照收敛的定义, N m n N N >?∈?>?+,,,0ε时, 有

,2||,2||εαεα<-<-m n x x

于是 εεεαααα=+<-+-≤---=-22|||||)()(|||m n m n m n x x x x x x .

2.6 总结

众所周知, 实数系的完备性是实数的一个重要特征, 与之相关的6个基本定理是彼此等价的, 并且是论证其它一些重要定理（如一致连续定理等）的依据, 确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛准则属于同一类型, 它们都指出, 在某一条件下，便有某种“点”存在, 而有限覆盖定理属于另一种类型, 它是其它实数完备性定理的逆否形式, 不论是前五个定理来分别证明有限覆盖定理, 还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出前五个定理, 都可用反证法完成; 同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.

参考文献

[1] 刘玉琏等, 数学分析讲义与指导[M], 第2版 , 高等教育出版社, 2005.

[2] 华东师范大学数学系, 数学分析[M], 第2版, 高等教育出版社, 1991.

[3] 裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法, 第2版, 高等教育出版社.

[4] 陈纪修等, 数学分析[M],第2版, 高等教育出版社, 2004.

[5] 裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导[M], 科学出版社, 2004.

致谢

为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号, 在论文写作的过程中,从论文的选题到确定思路, 从资料的搜集、提纲的拟定到内容的写作与修改, 继而诸多观点的梳理, 都得益于我的导师——李老师的悉心指导和匠心点拨.

论文的点评中总是闪烁着智慧的火花, 与她的每次交谈我都能从中获益.她严谨的治学态度, 一丝不苟的负责精神, 以及对学生孜孜不倦的教诲都给予了我极其深刻的印象, 让我受益匪浅. 在此, 谨向李老师表示我最衷心地感谢和最诚挚的敬意.

同时, 也向两年来所有教授过我和帮助过我的教授老师表示感谢, 感谢您们对我的谆谆教诲、耐心指导和无私的帮助.

感谢我的同学和朋友们, 感谢你们在我论文写作过程中给予我的鼓励、关心和无私的帮助.

最后, 衷心地感谢我的家人, 感谢你们一直以来给予我的支持和鼓励.

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2010年4月于####学院