2019-2020年新编人教版高一数学必修一基本初等函数解析
2019-2020年新编人教版高一数学必修一基本初等函数解析
基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则
这个数称a 的n 次方根。即若a
x n
=，则x 称a 的n 次方
根)1*
∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n
a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)
0(>±
a a n
②性质：1）a
a n n
=)(
；2）当n 为奇数时，
a
a n
n =；
3）当n 为偶数时，
??
?<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n
。
（2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈
???=n a a a a n
(ΛN *
；2）)
0(10
≠=a a
；
n 个
3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）
m
a a a
n m n
m ,0(>=、∈
n N *
且)1>n
②性质：1）r
a a a a s r s r
,0(>=?+、∈s Q ）；
2）r
a a a
s r s r
,0()(>=?、∈s Q ）；
3）∈
>>?=?r b a b a b a r r r
,0,0()
( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是
N
a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,
log
b N a
=其
中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，
N
10
log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，
N
e log ，记作N ln ；
②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）
1log =a
；
3）1
log =a a
；4）对数恒等式：N
a
N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
1）N
M MN a a a
log log )(log +=；
2）N M N
M
a a a
log log log -=；
3）∈
=n M n M a n a
(log log
R ）
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1
log log
=?a b b a
；2）b m
n
b a n a
m
log log
=
。
2．指数函数与对数函数 （1）指数函数： ①定义：函数)
1,0(≠>=a a a
y x
且称指数函数，
1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增
函数。
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近
x
轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图
象关于y 轴对称
③函数值的变化特征：
10<a ①100<<>y x 时 ， ②10==y x 时 ， 10>
②10==y x 时 ， ③1
00<< （2）对数函数： ①定义：函数) 1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数) 1,0(≠>=a a a y x 且互为 反函数 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近 y 轴）； 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的 图象关于x 轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数 3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）, 1 0< 1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< ②01==y x 时， ③100<< 当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算： 25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---； （2）化简： 533233 23 233 2 3 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 解：（1）原式= 4 1 32 21 32)10000 625(]102450)81000()949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]10 24251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式= 5 1 31212 13 23 13 1 2 3131312313 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 2 3 23 16 1653 1313 13 13 12)2(a a a a a a b a a b a a =??=?-? -=。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂 的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．（1）已知112 2 3 x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值 解：∵112 2 3 x x - +=， ∴1 12 2 2()9 x x - +=， ∴1 29 x x -++=， ∴1 7 x x -+=， ∴12 ()49 x x -+=， ∴2 247 x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18 x x x x x x - --+=+?-+=?-=， ∴ 22332 2 2472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 （2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研 考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 1 3 例3．计算 （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25 +?+；（2）3 948(log 2log 2)(log 3log 3) +?+； （3） 1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2 3--+? 解：（1）原式2 2(lg 2) (1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5 =+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3 ()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=； （3）分子=3 )2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2 =++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+； ∴ 原式=4 3。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足2 22 a b c += （1）求证：2 2 log (1)log (1)1b c a c a b +-+++=； （2）若4 log (1)1b c a ++=，8 2log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 证明：（1）左边2 22log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21 a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4 log (1)1b c a ++=得14b c a ++=， ∴30a b c -++=……………① 由8 2log ()3 a b c +-=得2 3 84 a b c +-==………… ……………② 由①+②得 2 b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入2 22 a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+1 22)(是奇函数. （1）求a,b 的值； （2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以 1,021,0)0(==++-=b a b f 解得即 从而有 . 21 2)(1a x f x x ++-=+ 又由 a a f f ++- -=++---=11 2 141 2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121212 2 12 )(1 ++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇 函数，从而不等式 0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(2 2 2 k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222 2k t t t +->- 即对一切,0232 >--∈k t t R t 有从而3 1,0124-<<+=?k k 解得 解法二：由（1）知, 2 21 2)(1++-=+x x x f 又由题设条件得 02 21 222121221 2222 22<++-+++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22(222221 221 2<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12 232>--k t t ，因底数2>1，故0232 >--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式 .3 1 ,0124-<<+=?k k 解得 例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点， 则（ B ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >- D ．1 3 a <- 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的 极值点，即'()30 ax f x ae =+=有正根。当有'()30 ax f x ae =+=成 立时,显然有0a <,此时13 ln()x a a =-，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设 1 2 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1 )12(log )2(2 3=-=f ，e e f f 22))2((1 0= =-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值 例8．已知) 1,0()(log 1≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。 所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。 因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。 任取1x ，2x ，且使2 10x x ≤≤，则 ) ()(12x f x f - ) ()(1122x x x x a a a a --+-+= 2 12121) 1)((x x x x x x a a a a ++--= （1）当a >1时，由2 1 0x x ≤≤，有2 1 0x x a a <<，12 1>+x x a ，所以0)()(1 2 >-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 （2）当0 1 0x x ≤≤，有2 1 0x x a a <<， 12 1<+x x a ，所以0)()(1 2>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。 点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。 题型5：指数函数的图像与应用 例9．若函数m y x +=-| 1|) 2 1(的图象与x 轴有公共点， 则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解： ?? ???<≥==---) 1(2)1()21()2 1 (11| 1|x x y x x x Θ， 画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。 点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像 特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。 例10．设函数x x f x f x x 22)(,2 )(| 1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322 x ≥，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3,4 ??+∞??? ? 。 点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理 题型6：对数函数的概念与性质 例11．（1）函数2 log 2-= x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的 定义域为（ ） A ．） ，（），（－4004Y B ．(－4,－1)Y (1，4) C ．(－2,－1)Y (1，2) D ．(－4, －2)Y (2，4) 解：（1）D （2）B 。 点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例12．（2009广东三校一模）设函数 ()()() x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ? ?? ?--∈1,11e e x 时,(其中Λ718.2=e )不等式 ()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2 在区间[]2,0上 的根的个数. 解 （1）函数的定义域为 (),,1+∞-()()()1221112++=?? ??? ?+- +='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),01 22=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在?? ??? ?-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增, 6分 由,21 112 += ?? ? ? ?-e e f ()2 12-=-e e f ,且21 222 +> -e e , 8分 ? ? ? ???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为2 2 -e ,故2 2 ->e m 时, 不等式()m x f <恒成立. 9分 (3)方程(), 2 a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记 ()() x x x g +-+=1ln 21,则 ()1 1 121+-= +- ='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈Y 时，方程无解； ] 1,3ln 23(-∈a 或a=2-2ln2时，方程有唯一解； ] 3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) A 1 o y x B 1 o y x C 1 o y x D 1 o y x 解：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选， 又a >1时，y =(1－a )x 为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例14．设A 、B 是函数y = log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a +4, 直线l : x =a +2与函数y = log 2x 图象交于点C , 与直线AB 交于点D 。 （1）求点D 的坐标； （2）当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围 解：（1）易知D 为线段AB 的中点, 因A (a , log 2a ), B (a +4, log 2(a +4))， 所以由中点公式得D (a +2, log 2) 4(+a a )。 （2）S △ABC =S 梯形AA ′CC ′+S 梯形CC ′B ′B - S 梯形AA ′B ′B =…= log 2 ) 4()2(2++a a a , 其中A ′,B ′,C ′为A ,B ,C 在x 轴上的射影。 由S △ABC = log 2 ) 4()2(2++a a a >1, 得0< a <22－2。 点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 题型8：指数函数、对数函数综合问题 例15．在xOy 平面上有一点列 P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…，对每个自然数 n 点P n 位于函数y =2000(10a )x (0 点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的 等腰三角形。 (1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式； (2)若对于每个自然数n ，以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； (3)设C n =lg(b n )(n ∈N * ),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由 解：(1)由题意知：a n =n +2 1 ,∴b n =2000(10 a )2 1+ n 。 (2)∵函数y =2000(10 a )x (0 ∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2。 则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ， 即(10a )2+(10a )－1>0，