自考数学教育专业近世代数习题指导

自考《近世代数》练习1及答案

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 （ ）

2、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且（ ）

3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ）

4、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（ ）

5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ）

6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ）

7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ）

8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ）

①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；

②n A A A ,,,21 的次序不能调换；

③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同；

④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ）

①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；

③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），

那么 在Z 中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

①0和x -； ②1和0； ③k 和k x 2-； ④k -和)2(k x +-。

5、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）

①11--a bc ； ②11--a c ； ③11--bc a ； ④ca b 1-。

6、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。如果6，那么G 的阶=G （ ）

①6； ②24； ③10； ④12。

7、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）

①f 的同态核是1G 的不变子群； ②2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；③1G 的子群的象是2G 的子群； ④1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

8、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ） ①若a 是零元，则b 是零元； ②若a 是单位元，则b 是单位元； ③若a 不是零因子，则b 不是零因子；④若2R 是不交换的，则1R 不交换。

9、下列正确的命题是（ ）

①欧氏环一定是唯一分解环； ②主理想环必是欧氏环；

③唯一分解环必是主理想环； ④唯一分解环必是欧氏环。

10、若I 是域F 的有限扩域，E 是I 的有限扩域，那么（ ）

①()()()F I I E I E :::=； ②()()()I E F I E F :::=；

③()()()I F F E F I :::=； ④()()()F I I E F E :::=。

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么

=j i A A 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备

的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）

1、下列四个四元置换

???

?

??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14131211,,,----ππππ和G 的

所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

六、证明题（每小题10分，共40分）

1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ √ × ×

二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④

三、填空题

1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

四、改错题

1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。

结合律与交换律

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G

对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。

S=I 或S=R

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d ′。

一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子

5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

不都等于零的元

《近世代数》练习2及答案

一、（16分）叙述概念或命题

1．正规子群；

2．唯一分解环；

3．代数数；

4．鲁非尼-阿贝尔定理

二、（12分）填空题

1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。

2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

3．一个有单位元的无零因子 称为整环。

4．如果1a 是一个国际标准书号，那么=a 。

三、（10分）设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元

dk cj bi a x +++=，

定义其共轭

dk cj bi a x ---=。

1．证明：x x x x =是一个非负实数；

2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。

六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理

由。

1．21I I +；

2．21I I ?；

3．21I I ?

七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1；

2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。

八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。

《近世代数》练习2答案

一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。

2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。

3．有理数域上的代数元称为代数数。

4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。

二、1．3

2．25

3．交换环

4．6

三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。

四、设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(2

1A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=。若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。 五、1．02222≥+++==d c b a x x x x

2．k j i xy 8424-+--=，k j i yx 2484-+--=，)221(10

11k i i x +-+=

- 六、1．)3(21=+I I ；

2．)30(21=?I I ；

3．)90(21=?I I

七、1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-；

2．两个都是偶置换。

八、 元素 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

阶 1 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12

近世代数练习3

一、 判断题（每题1分，共10分）

1． G 的不变子群N 的不变子群N 1仍是G 的不变子群。

（ ） 2． 集合的元素间的一个等价关系决定该集合的分类。

（ ） 3． 任何无零因子的交换环R 都是一个域P 的子环。 （

） 4． 任何主理想环都是欧氏环。 （ ）

5． 若一个群中，每个元的阶都是2，则该群为ABel 群。

（ ） 6． 一个环的单位必是单位元。 （ ）

7． 有理数域是整数环的商域。 （ ）

8． 域上的一元多项式环是欧氏环。 （ ）

9． 在任意环中，任意两个非零元的特征都相同。 （

）

10． 整数环的特征必为无穷大。 （ ） 二、 填空题（每空2分，共20分）

1． 称环R 0的元x 为环R 上的一个未定元，若由a 0α0+a 1α1+a 2α2+…+a n αn =0（a i ∈R ）可以推出 。

2． 若|A |=n ，则|2A |= 。

3． 设A ，B 是两个集合，其中A =｛1,2｝，B =｛a ,b ,c ｝，则

4． A ×B ={ }。

5． 设R 为整数环，则素数p 生成最大理想（p ），从而剩余类环R /（p ）是 。

6． 唯一分解环的任何两个元有最大公因子，且两个最大公因子一定是 。

7． 一个群的不变子群的象是象的 。

8． 有限集的一个一一变换也叫 。

9． 在两个环的同态下，零元的象是象的 。

10． 在一个交换环R 中，主理想（a ）由集合{ }构成。

11． 整环I 为主理想环的充要条件是I 的每一个理想都是 。

三、 选择题（每题2分，共20分）

（每个题都给出了四个答案，但只有一个最佳答案，请将最佳答案的代号填在题后的括号中，选错或选出的代号超过一个均不得分，每题2分，共20分）。

1． 交换群G 是指 （ ）。

2． A . ab =ba 对任意a 、b ∈G 都不成立的群； B . ab =ba 对某些a 、b ∈G 成立的群；

3． C . ab =ba 对任意a 、b ∈G 成立的群； D . 其中心C 为G 的真子群的群。

4． 任何群中都 （ ）。

5． A .至少有一个单位元； B . 至多有一个单位元；

6． C .可以没有单位元； D . 有且只有一个单位元。

7． 设A ，B 是两个集合，A ={a ,b ,c ,d },B ={1,2,3}，σσ12,是两个映射，

8． σσ123212223=={(,),(,),(,),(,)},{(,),(,),(,)}a b c d a b c ， 则 （ ）。

9． A .σ1是满射； B .σ2是单射； C .σ2是满射； D .σ1是单射。

10． 设G 是由12个元素组成的循环群，a 是G 的生成元，则G 的全部生成元素是（ ）。

11． A .{e ,a }； B .{e ,a ,a 2,a 3,a 4}； C .{a ,a 3,a 6}； D .{a ,a 5,a 7,a 11}。

12． 设H 、K 都是G 的子群，则下列集合中必为G 的子群的是 （ ）

13． ； ∩K ； ∪K ； - H 。

14． 下列关系中不是等价关系的为 （ ）

15． A .整数间的相等关系； B .整数间的同余关系；

16． C .三角形的相似关系； D .三角形的全等关系。

17． 下列数集中，对于普通加法和乘法来说不能作成一个环的是 （ ）。

18． A . 整数集； B . 有理数集；

19． C . 无理数集； D . 实数集。

20． 有限群的阶是指 （ ）。

21． A . 群中元的阶之最大者； B . 群中元的阶之最小者；

22． C . 群中元的阶之最小公倍数； D . 群中元素的个数。

23． 在任意一个一一映射之下， （ ）。

24． A . 必须每一个象都有唯一的原象； B . 必须每一个原象都有唯一的象；

25． C . 每一个象都可以有多个原象； D . A 或B 。

26． 在一个整环中， （ ）。

27． A . 必须既有单位元又有零元； B . 必须有零元而无单位元；

28． C . 必须有单位元而无零元 D . 必须既无单位元又无零元。

四、 计算题（每题8分，共24分） 1． A ={A ，B ，c }，代数运算由下表给出，找出所有A 的一一变换，

对于代数运算o 来说，这些一一变换是否都是A 的自同构？

2． 设M ={1,2,3}，写出M 的置换群P 及其所有子群，说明这些群中，哪些是循环群。 3． 找出S 3的所有子群。

五、 证明题（每题10分，共20分）

1． 假定R 是有理数域。证明，这时（2，x ）是一元多项式环R [x ]一个主理想。

2． 一个有限群的每一个元的阶都有限。

六、 简答题（每题3分，共6分）

1． A ={1，2，…，100}。找一个A ×A 到A 的映射。

举例说明整数对于除法不满足结合律。

||||a

b c a c c c b c

c c c c

c c ο---

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