《数据模型决策》复习(作业)题

《数据模型决策》复习（作业）题

二、分析、建模题

1、（广告策划）一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。

这家公司希望广告费用不超过800（千元），还要求：（1）至少有二百万妇女收看广告；（2）电视广告费用不超过500（千元）；（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次。

试建立该问题的数学模型，并用软件求解。

解：

设变量X1, X 2, X 3, X 4为白天、最佳时间、无线电广播、杂志次数

目标函数maxZ=400 X1+900X2+500 X 3+200 X 4

约束条件s.t

40 X 1+75 X 2+30 X 3+15 X 4≤800

40X1+400X2+200X3+100X4≥800

40X1+75X2≤500

X1≥3

X2≥2

,

X3≥5

X3≤10

X4≥5

X4≤10

X i≥0 i=1,2,3,4

软件求解

2、（指派问题）分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成A、B、C、D 四项工作。已知每人完成各项工作的时间如下表所示。规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。如何分配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？建立线性规划数学模型（不求解）。

解：

设变量X11,X12,X13,X14为甲参加1，2，3，4工作，X 21,X22,X23,X24为乙参加1，2，3，4工作，

X31,X32,X33,X34为丙参加1，2，3，4工作，X41,X42,X43,X44为丁参加1，2，3，4工作

目标函数maXZ= 10X11+5X12+15X13, +20X14 +2X21+10X22+5X23+15X24+

3X31+15X32+14X33+13X34 +15X41+2X42+7X43+6X44

约束条件s.t

X11+X12+X13, +X14=1

X21+X22+X23+X24=1

X31+X32+X33+X34=1

X41+X42+X43+X44=1

X i,j≥0 i=1,2,3,4 j=1,2,3,4

软件求解

3、昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表：

设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。建立该问题的线性规划数学模型，并用软件求解。

解：

设变量X1,X 2,X 3,X 4,X 5,X 6为班次人数

目标函数minZ= X1+X 2+X 3+X 4+X 5+X 6

约束条件s.t

X1+X 6≥60

X 1+X2≥70

X 2+X 3≥60

X 3+X 4≥50

X 4+X 5≥20

X 5+X 6≥30

X i ≥0 i=1,2,3,4,5,6

4、一家百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？用软件求解。

解：

设X i i=1,2,3,4,5,6，7为星期一至星期天每天所需休息人数，建立数学模型

目标函数： Min X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7

约束条件s.t

X1 + X2 + X3 + X4 + X5≥31

X2 + X3 + X4 + X5 + X6≥15

X3 + X4 + X5 + X6 + X7≥24

X4 + X5 + X6 + X7+X1 ≥25

X5 + X6 + X7 + X1 + X2 ≥19

X6 + X7+ X1 + X2 + X3 ≥31

X7+ X1 + X2 + X3 + X4≥28

X i≥0 i=1,2,3,4,5,6，7

5、（投资问题）某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：

项目A ：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。

项目B ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%， 但要求第一年投资最低金额为40万元，第二、三、四年不限；

项目 C ：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128％，但规定最低投资金额为30万元，最高金额为50万元；

项目 D ：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为10万元的整数倍，最高金额为40万元。

据测定每万元每次投资的风险指数如右表：

a ）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

b ）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解： a ）

确定决策变量：连续投资问题

设X i,j ≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4 表示第i 年初投资于A(j=1), B(j=2), C(j=3), D(j=4)项目金额。建立如下决策变量

约束条件 s.t.

第一年 A ，B 项目年未可收回投资，故第一年全部资金投入，有X 11+ X 12=200 第二年 B 次年收回投资，故第二年年初资金为1.06 X 11，有X 21+ X 22+ X 24=1.06 X 11 第三年 年初资金为1.06 X 21+1.15 X 12，有X 31+ X 32+ X 33=1.06 X 21+1.15 X 12 第四年 年初资金为1.06 X 31+1.15 X 22，有X

41+ X 42 =1.06 X 31+1.15 X 22 第五年 年初资金为1.06 X 41+1.15 X 32，有X 51 =1.06 X 41+1.15 X 22 B,C,D 投资限制： X 12≥40 X 33≥30 X 33≤50 X 24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

目标函数及模型

MaxZ=1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32

约束条件s.t

X11+ X12=200

X21+ X22+ X24=1.06 X11

X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12

X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22

X51 =1.06 X41+1.15 X22

X12≥40

X33≥30

X33≤50

X24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

b）

所设变量与问题a)同，目标函数为风险最小，有

MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24

增加约束条件，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元，

1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280

目标函数

MinZ= X11+ X21+ X31+ X41+X51+ 2.5(X12+X22+ X32+ X42)+ 4X33+5.5X24

约束条件s.t

X11+ X12=200

X21+ X22+ X24=1.06 X11

X31+ X32+ X33=1.06 X21+1.15 X12

X41+ X42 =1.06 X31+1.15 X22

X51 =1.06 X41+1.15 X22

1.06 X51+1.15 X42+1.28 X33+1.4 X32≥280

X12≥40

X33≥30

X33≤50

X24≤40

X24=10y y=1,2,3,4

X i,j≥0 i=1,2,3,4 ,5 j=1,2,3,4

6、（目标规划）一工艺品厂商手工生产某两种工艺品A、B，已知生产一件产品A需要耗费人力2工时，生产一件产品B需要耗费人力3工时。A、B产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于

600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件，因为B产品比A 产品更重要，不妨假设B完成最低产量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。

如何安排生产，并用软件求解。

目标规划中引入偏差变量，其作用是允许约束条件不被精确满足。

解：本题有3个不同优先权的目标，用P1，P2，P3表示从高到低的优先权。

对应P1有两个目标，每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；

对应P2，有一个目标，次要任务是要求每周的利润超过70000元；

对应P3有一个目标，为了保证库存需要，要求每周产品A和B的产量分别不低于200和120件

目标线性规划

Min P1(d1+)+P1(d2-)+P2(d3-)+ P3(d4-)+P3(2d5-)

s.t.

2 x1+

3 x2-d1++ d1-=680

2 x1+

3 x2- d2++d2-=600

250 x1+125 x1- d3-+d3+=7000

x1– d4++d4-=200

x2– d5++d5-=120

x1, x2,d1+,d1,d2+,d2-,d3-,d3+,d4+,d4-,d5+,d5-≥0

三、求解题

1、设某商业银行有10亿元资金，其中一部分用于贷款（L）,贷款利率6%（不易流通），另一部分用于购买证券，证券利率4%（易流通）。银行要求在下列约束下使总盈利最大：（1）流动投资至少保持在25%；（2）老客户的贷款额至少为8000万元。

建立该问题的数学模型，并用图解法求解。

MaxZ=0.06 x1+0.04x2

s.t.

x1+x2≤10

x1≥0.8

x2≥0.25(x1+x2)

x1,x2≥0

2、表1-表2分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及相应的单位运价。（1）建立该运输问题的数学模型；（2）试用软件求最优解。

表1

表2

产销量平衡

x ij i=1,2,3 j=1,2,3,4表示从产地i 到销地j 则有

产地A1 到销地B1, B2, B3, B4运价为:4 x 11+ x 12+4 x 13+6 x 14 产地A2 到销地B1, B2, B3, B4运价为:3 x 21+2 x 22+5 x 23+0 x 24 产地A3 到销地B1, B2, B3, B4运价为:1 x 31+7 x 32+5 x 33+1 x 34 s.t.

x 11+ x 12+x 13+ x 14 =8

x 21+ x 22+x 23+ x 24 =8 x 31+ x 32+x 33+x 34=4

x 11 + x 21 +x 31 =6 x 12 + x 22 + x 32 =5 x 13 +x 23 +x 33=6

x 14 + x 24 + x 34=3 x ij ≥0 i=1,2,3 j=1,2,3,4

[例题]：在一项关于软塑料管的实用研究中，工程师们想估计软管所承受的平均压力。他们随机抽取了9个压力读数，样本均值和标准差分别为3.62kg 和0.45。假定压力读数近视服从正态分布，试求总体平均压力的置信度为0.99时的置信区间。 解： 因为，

)1(~--n t n

S X μ

， 所以，αμαα-=??

?

?

??????????-≤-≤--1)1()1(22n t n S X n t P

于是，总体平均压力μ的α-1置信区间为，

??

????-+--

)1(),1(22n t n s

x n t n s x αα 由题意知，9=n

，62.3=x ，45.01=-n s ，99.01=-α

3554.3)8()1(005.02

==-t n t α，

代入上式，得总体平均压力μ的99%置信区间为

??

?????+?-3554.3945.062.3,3554.3945.062.3 =[3.12, 4.12]

[例题]：一个银行负责人想知道储户存入两家银行的钱数，他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本。样本均值如下：第一家4500；第二家3250元。根据以往资料数据可知两个总体服从方差分别为2500和3600的正态分布。试求总体均值之差的置信度为0.95时的置信区间。 解： 因为，

)1,0(~)

()(2

22

1

2

1

2121N n n X X σ

σ

μμ+

---，

所以，ασσμμαα-=???

?

?

?????????≤+---≤-1)()(22

2

212121212

z n n X X z P 于是，21μμ-的α-1置信区间为，

()()???

?????++-+--222

121221222121221,n n z x x n n z x x σσσσαα 由题意知，2521==n n ，

45001=x ，3250

2=x ，25002

1=σ，

3600

22

=σ，95.01=-α

96.1025.02

==z z α，代入上式，得21μμ-的95%置信区间为

[1219.4, 1280.6]

[例题]：某厂生产日光灯管。以往经验表明，灯管使用时间为1600h ，标准差为70h ，在最近生产的灯管中随机抽取了55件进行测试，测得正常使用时间为1520h 。在0.05的显著性水平下，判断新生产的灯管质量是否有显著变化。 解：

1600:=μo H ，1600:≠μa H

在Ho 成立条件下，

)1,0(~N n

X σ

μ

-，

于是，在α显著性水平下，Ho 的拒绝域为，

???

????

???????-≤-???????????????≥-=22αασ

μσμz n x z n x V ，

由题意知，70=σ，55=n ，1520=x ，05.0=α，96.1025.02

==z z α，

因为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

<－1.96，所以拒绝Ho 。

即样本数据表明日光灯管的质量有显著性改变（显著性水平0.05）。 如果问是否显著提高或降低，则需做单侧假设检验。

做单侧检验，1600:≤μo H ，1600:>μa H

检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显著性水平下，Ho 的拒绝域则为，

ασ

μ

z n

x >-

由题意，显然不能拒绝Ho 。

如果换一个方向做单侧检验，1600:≥μo H ，1600:<μa H 检验统计量取值为，

48.855

701600

1520-=-=

-n

x σ

μ

在α显著性水平下，Ho 的拒绝域变成为，

ασ

μ

z n

x -<-

由题意，拒绝Ho 。即认为质量不比以前好（显著性水平0.05）。 假设检验和区间估计

联系是：二者都属于推断统计——利用样本的数据得到样本统计量（statistic ），然后做出对总体参数（parameter ）的论断。

区别是：用统计量推断参数时，如果参数未知，则这种推断叫参数估计——用统计量估计未知的参数；如果参数已知（或假设已知），需要利用统计量检验已知的参数是否靠谱，此时的统计推断即为假设检验。

《数据模型与决策》复习题及参考答案

四、简答

1．运筹学的计划法包括的步骤。

答：观察、建立可选择的解、用实验选择最优解、确定实际问题。

2．运筹学分析与解决问题一般要经过哪些步骤?

答：一、观察待决策问题所处的环境二、分析和定义待决策的问题三、拟订模型四、选择输入数据五、求解并验证解的合理性六、实施最优解

3．运筹学的数学模型有哪些优缺点?

答：优点：（1）．通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。（2）．花节省时间和费用。（3）．模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。（ 4）．数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。（5）．数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。模型的缺点（1）．数学模型的缺点之一是模型可能过分简化，因而不能正确反映实际情况。（2）．模型受设计人员的水平的限制，模型无法超越设计人员对问题的理解。（3）．创造模型有时需要付出较高的代价。

4．运筹学的系统特征是什么? 答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：一、用系统的观点研究功能关系二、应用各学科交叉的方法三、采用计划方法四、为进一步研究揭露新问题

5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x

i 或x

ij

的值（i =1，

2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数

第二章线性规划的基本概念

三、名词

1基：在线性规划问题中，约束方程组的系数矩阵A的任意一个m×m阶的非奇异子方阵B，称为线性规划问题的一个基。

2、线性规划问题：就是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。

3、可行解：在线性规划问题中，凡满足所有约束条件的解称为线性规划问题可行解

4、行域：线性规划问题的可行解集合。

5、本解：在线性约束方程组中，对于选定的基B令所有的非基变量等于零，得到的解，

称为线性规划问题的一个基本解。

6、图解法：对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法来求解，这

种方法称为图解法。

7、本可行解：在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解称为基本可行解。

8、模型是一件实际事物或实际情况的代表或抽象，它根据因果显示出行动与反映的关系

和客观事物的内在联系。

四、按各题要求。建立线性规划数学模型

1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。

2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?

小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数

2—6

6—10

10一14

14—18

18—22

22—2

4

8

10

7

12

4

问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

第三章线性规划的基本方法

三、名词、简答

1．人造初始可行基：当我们无法从一个标准的线性规划问题中找到一个m阶单位矩阵时，通常在约束方程中引入人工变量，而在系数矩阵中凑成一个m阶单位矩阵，进而形成的一个初始可行基称为人造初始可行基。

2．单纯形法解题的基本思路？可行域的一个基本可行解开始，转移到另一个基本可行解，并且使目标函数值逐步得到改善，直到最后球场最优解或判定原问题无解。

三、名词、简答题

1、对偶可行基：凡满足条件δ=C-C

B

B-1A≤0的基B称为对偶可行基。

2、.对称的对偶问题：设原始线性规划问题为maxZ=CX s.t AX≤b

X ≥0

称线性规划问题minW=Yb s.t YA≥C

Y≥0 为其对偶问题。又称它们为一对对称的对偶问题。

表示与原问题的第i个约束条件相对应的资源的影子价格，在3、影子价格：对偶变量Y

i

数量上表现为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时（假设原问题的最优解不变），原问题目标函数最优值增加的数量。

4．影子价格在经济管理中的作用。（1）指出企业内部挖潜的方向；（2）为资源的购销决策提供依据；（3）分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响；（4）分析资源节约所带来的收益；（5）决定某项新产品是否应投产。

5．线性规划对偶问题可以采用哪些方法求解？（1）用单纯形法解对偶问题；（2）由原问题的最优单纯形表得到；（3）由原问题的最优解利用互补松弛定理求得；（4）由B-1求得，其中B为原问题的最优基

Y*=C

B

6、一对对偶问题可能出现的情形：1.原问题和对偶问题都有最优解，且二者相等；2.一

个问题具有无界解，则另一个问题具有无可行解；3.原问题和对偶问题都无可行解。

四、名词、简答题

1.灵敏度分析：研究线性规划模型的原始数据变化对最优解产生的影响

2．线性规划问题灵敏度分析的意义。（1）预先确定保持现有生产规划条件下，单位产品利润的可变范围；（2）当资源限制量发生变化时，确定新的生产方案；（3）确定某种新产品的投产在经济上是否有利；（4）考察建模时忽略的约束对问题的影响程度；

（5）当产品的设计工艺改变时，原最优方案是否需要调整。

三、名词

1、平衡运输问题：m个供应地的供应量等于n个需求地的总需求量，这样的运输问题称

平衡运输问题。

2、不平衡运输问题：m个供应地的供应量不等于n个需求地的总需求量，这样的运输问题

称不平衡运输问题。

四、名词解释

1．树:在图论中，具有连通和不含圈特点的图称为树。

2．权：在图中，边旁标注的数字称为权。

3．网络：在图论中，给边或有向边赋了权的图称为网络

4．最大流问题：最大流问题是指在网络图中，在单位时间内，从发点到收点的最大流量5．最大流问题中流量：最大流问题中流量是指单位时间的发点的流出量或收点的流入量。6．容量：最大流问题中，每条有向边单位时间的最大通过能力称为容量

7．饱合边：容量与流量相等的有向边称为饱合边。

8零流边：流量为零的有向边称为零流边

9.生成树：若树T是无向图G的生成树，则称T是G 的生成树。.。

10根：有向图G中可以到达图中任一顶点的顶点u称为G的根。

11枝：树中的边称为枝。

12.平行边：具有相同端点的边叫平行边。

十一章

需求：需求就是库存的输出。

存贮费：一般是指每存贮单位物资单位时间所需花费的费用。

缺货损失费：一般指由于中断供应影响生产造成的损失赔偿费。

订货批量Q：存贮系统根据需求，为补充某种物资的库存而向供货厂商一次订货或采购的数量。

订货间隔期T：两次订货的时间间隔可订货合同中规定的两次进货之间的时间间隔。

记账间隔期R：指库存记账制度中的间隔记账制所规定的时间。

十二章

预测：是决策的基础，它借助于经济学、概率论与数理统计、现代管理科学、系统论和计算机科学等所提供的理论及方法，通过适当的模型技术，分析和预测研究对象的发展趋势。

十三章

决策：凡是根据预定目标而采取某种行动方案所作出的选择或决定就称为决策。

单纯选优决策：是指根据已掌握的数据，不需再加工计算，或仅进行方案指标值的简单计算，通过比较便可以直接选出最优方案的决策方法。

模型选优决策：是在决策对象的客观状态完全确定的条件下，建立一定的符合实际经济状况的数学模型，进而通过对模型的求解来选择最优方案的方法。

非确定型决策：是一种在决策分析过程中，对决策方案付诸实施后可能遇到的客观状态，

虽然能够进行估计，但却无法确定每一种客观状态出现的概率的决策。

风险型决策：是一种在分析过程中，对方案付诸实施后可能遇到的客观状态，不仅在决策分析时能够加以估计，而且对每一种状态出现的概率大小也有所掌握。

决策树：就是对一个决策问题画一张图，用更容易了解的形式来表示有关信息。

十四章

排队论：排队论所讨论的是一个系统对一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统时所呈现的状态。

排队规则：是描述顾客来到服务系统时，服务机构是否充许，顾客是否愿意排队，在排队等待情形下服务的顺序。

M/G/1排队系统：是单服务台系统，其顾客到达服从参数为λ的泊松分布，服务时间属一般分布。

随机排队模型：称服务员个数为随机变量的排队系统为随机排队服务系统，相应的模型为随机排队模型。