高中数学尖子生培优题典专题1.3导数定义及几何意义
高中数学尖子生同步培优题典
专题1.3导数及几何意义
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·山东高三其他）已知函数()ln ln x
x
f x e x e a x =-+的图象在点()()
1,1T f 处的切线经过坐标原
点，则a=（） A ．e -
B ．e
C ．1e e ---
D ．1e -
2．（2020·湖北黄石港黄石二中高二月考（理））已知函数()()2
21ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数()f x 在1x =处存在导数，则
()()11lim 3x f x f x
?→∞+?-=?（） A ．
()1
13
f ' B ．()1f ' C ．()31f '
D ．()3f '
4．（2020·江西高三月考（理））已知函数()2
f x x ax =-的图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线
320x y ++=垂直，若数列()1f n ????
?
?????
的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．
2018
2019
B ．
2019
2020
C ．
2020
2021
D ．
2021
2022
5．（2019·山阳县城区中学高三月考（理））如图，y =f(x)是可导函数，直线l:y =kx +2是曲线y =f(x)在x =3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=（ ）．
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
6．（2020·湖南开福长沙一中高三月考（理））已知,a b ∈R ，直线2
y ax b π
=++与函数()tan f x x =的图
象在4
πx =-
处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()2
2m g x m ≤≤-恒成立．则实数m （ ） A ．有最大值1e +
B ．有最大值e
C ．有最小值e
D ．有最小值e -
7．（2019·福建福州高三期中（理））设函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数a 的取值范围是( )
A ．e e,2?
?--
???
B ．e ,2??-∞-
???
C ．
()e,-+∞
D ．e e,2
??--???
?
8．（2019·广西大学附属中学高三月考（理））平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x
C y e =的切线l ，
则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（） A ．
1
12
e - B ．
2
e C ．12
e -
D ．32
e -
9．（2019·河北衡水高三月考（理））已知函数()()3
212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线
()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（）
A ．20x y -=
B ．0y =
C ．10160x y --=
D ．20x y -+=
10．（2020·福建高三其他（理））设()0,1,2,,2020i a i =是常数，对于x R ?∈，都有
()()()()()()20200122020112122020x a a x a x x a x x x =+-+--+
+---，则
012345201920202!3!4!2018!2019!a a a a a a a a -+-+-+-
+-=（）
A ．2019
B ．2020
C ．2019！
D ．2020！
11．（2020·全国高三其他（理））设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，
()()ln 'x x f x f x ?<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()2,00,2-?
B ．()(),22,-∞-?+∞
C ．()()2,02,-?+∞
D ．()(),20,2-∞-?
12．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数()cos(2)f x x ?=+(π
||2
?<
)，
()()()F x f x f x '=+
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ）
①tan ?=
②()f x 在π0,2??
???有且仅有一个极大值点；
③()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为
π6
； ④()F x 在π3π,44??
???上单调递增；
A ．①②
B ．①③④
C ．③④
D ．②③④
13．（2020·贵州南明贵阳一中高三其他（理））若a ，b 是函数()2
74ln f x x x x =-+的两个极值点，则
()()f a f b +的值为（）
A ．65
4ln 24
- B ．
65
4ln 24
- C ．4ln2
D ．
654
二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
14．（2020·山东师范大学附中高三其他）己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则
11
a b
+的最小值是_______________. 15．（2020·四川青羊树德中学高三二模（理））已知函数2
()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()
n n f x f x +'=()*n ∈N ，若()
2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ??
?
?-??
的前n
项和为n S ，则[]20003S =_________
16．（2020·五华云南师大附中高三月考（理））设三次函数32
11()32
f x ax bx cx =
++，（a ,b ,c 为实数且0a ≠）的导数为()f x '
，记()()g x f x ''
=，若对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '
恒成立，则2
22
b a c
+的最大值为____________
17．（2020·江苏南通高三其他）已知直线l 与曲线2
44x y e
=-（e 为自然对数的底数）和曲线ln y x =都相切，
则直线l 的斜率为______．
高中数学尖子生同步培优题典
专题1.3导数及几何意义
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
三、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2020·山东高三其他）已知函数()ln ln x
x
f x e x e a x =-+的图象在点()()
1,1T f 处的切线经过坐标原
点，则a=（）
A ．e -
B ．e
C ．1e e ---
D ．1e -
【答案】A
()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，
()ln x x
x e a
f x e x e x x
'=+-+，()1f a '=，
所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点， 则a e -=，解得a e =-，故选A.
2．（2020·湖北黄石港黄石二中高二月考（理））已知函数()()2
21ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1
x =处的切线斜率为（ ） A ．－2 B ．－1
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】()()2
21ln f x x f x '=+的导数为()()
212f f x x x
''=+
令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A
3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数()f x 在1x =处存在导数，则
()()
11lim
3x f x f x
?→∞
+?-=?（）
A ．
()1
13
f ' B ．()1f '
C ．()31f '
D ．()3f '
【解析】()()()()111111
lim
lim (1)333
x x f x f f x f f x x ?→∞
?→∞+?-+?-'==??．
故选：A ．
4．（2020·江西高三月考（理））已知函数()2
f x x ax =-的图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线
320x y ++=垂直，若数列()1f n ????
?
?????
的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（） A ．
2018
2019
B ．
2019
2020
C ．
2020
2021
D ．
2021
2022
【答案】C
【解析】
()2f x x ax =-，()2f x x a '∴=-，由题意可知()123f a '=-=，得1a =-.
()2
f x x x ∴=+，()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++， 20201111
112020112232020202120212021S ????
??∴=-+-+
+-=-= ? ? ?
????
??
. 故选：C.
5．（2019·山阳县城区中学高三月考（理））如图，y =f(x)是可导函数，直线l:y =kx +2是曲线y =f(x)在x =3处的切线，令g(x)=xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)=（ ）．
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
【解析】将点(3,1)代入直线y =kx +2的方程得3k +2=1，得k =?1
3，所以，f ′(3)=k =?1
3， 由于点(3,1)在函数y =f (x )的图象上，则f (3)=1， 对函数g (x )=xf (x )求导得g ′(x )=f (x )+xf ′(x )， ∴g ′(3)=f (3)+3f ′(3)=1+3×(?1
3)=0，故选：B 。 【点睛】
本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：
（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；
（2）切点是切线与函数图象的公共点。
6．（2020·湖南开福长沙一中高三月考（理））已知,a b ∈R ，直线2
y ax b π
=++与函数()tan f x x =的图
象在4
πx =-
处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()2
2m g x m ≤≤-恒成立．则实数m （ ） A ．有最大值1e + B ．有最大值e C ．有最小值e
D ．有最小值e -
【答案】A
【解析】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1
()cos cos x x x f x x x
-?-='=， ∴()24
a f π
'=-
=，又点(,1)4
π
--在直线π
y ax b 2
=++
上， ∴-1=2 ?()4π
-
+b+
π
2
，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2， 当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0，
∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，
∴g'（x ）≥g（1）＝e ﹣2＞0，∴g（x ）在[1，2]上单调递增，
min 22
max )(1)12)(2)2m g
x g e m g x g e ≤==+??-≥==-?
（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1， ∴m 的最大值为e+1，无最小值， 故选A .
7．（2019·福建福州高三期中（理））设函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，
则实数a 的取值范围是( )
A ．e e,2??--
???
B ．e ,2??-∞-
???
C ．
()e,-+∞
D ．e e,2
??--???
?
【答案】B
【解析】解：因为函数()2
e +x
f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点，
所以()0f x '=在R 上有两个不同的解， 即2ax ＋e x ＝0在R 上有两解，
即直线y ＝－2ax 与函数y ＝e x 的图象有两个交点，
设函数()g x kx =与函数()x
h x e =的图象相切，切点为(x 0，y 0)，
作函数y ＝e x 的图象，
因为()x h x e '=
则0x e k =，
所以
0000
x x y e k e x x ===， 解得x 0＝1，即切点为(1，e )，此时k ＝e ，
由图象知直线()y g x kx ==与函数y ＝e x 的图象有两个交点时， 有k e >即－2a ＞e ， 解得a ＜e
2
-， 故选B.
8．（2019·广西大学附属中学高三月考（理））平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x
C y e =的切线l ，
则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（） A ．
1
12
e - B ．
2
e C ．12
e -
D ．32
e -
【答案】A 【解析】
如下图所示，设切点坐标为()
,t t e ，对函数x y e =求导得e x
y '=，
所以，直线l 的方程为()t
t
y e e x t -=-，将原点代入直线l 的方程得t t e te -=-，得1t =.
所以，直线l 的函数解析式为y ex =，
如上图所示，所求区域的面积为(
)
021
1
11
122
x
x
e ex dx e ex e ???-=-
=
- ??
?
. 故选：A.
9．（2019·河北衡水高三月考（理））已知函数()()3
212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线
()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（）
A ．20x y -=
B ．0y =
C ．10160x y --=
D ．20x y -+=
【答案】C
【解析】()()2
321f x x f ''=-，
()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()
f x 为奇函数，2a ∴=.()3
2x x f x =∴-，()2
32f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '
=.由点斜式得曲线
()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题.
曲线()y f x =在点()()
00x f x ，处的切线方程的方法： （1）求出()0f x '，则切线的斜率()0k f x '=；
（2）直线的点斜式写出切线方程为：()()()000y f x f x x x '-=?-. 10．（2020·福建高三其他（理））设()0,1,2,
,2020i a i =是常数，对于x R ?∈，都有
()()()()()()20200122020112122020x a a x a x x a x x x =+-+--++---，则
012345201920202!3!4!2018!2019!a a a a a a a a -+-+-+-
+-=（）
A ．2019
B ．2020
C ．2019！
D ．2020！
【答案】A 【解析】因为()()()()()
()2020
0122020112122020x
a a x a x x a x x x =+-+--++---，
则令1x =可得01a =. 又对()()()()()
()2020
0122020112122020x
a a x a x x a x x x =+-+--++---两边求导可得：
()()()()
()2019122020202012122020x a a x x a x x x ''=+--+
+---????????，
令()()()()12n f x x x x n =--?
?-，
则()()()()()()12+2n f x x x x n x x n ''=--??--??-????
，
所以()()()()
()1
112111!n n f n n -'=-?
?-=--，
所以()()()
1
2
2019
20191232020202011112!12019!a a a a ?=+?-?+?-?++?-
故123202020202!2019!a a a a =-+-
-，
所以012345201920202!3!4!2018!2019!202012019a a a a a a a a -+-+-+-+-=-=.
故选：A.
11．（2020·全国高三其他（理））设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，
()()ln 'x x f x f x ?<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()()2,00,2-?
B ．()(),22,-∞-?+∞
C ．()()2,02,-?+∞
D ．()(),20,2-∞-? 【答案】D
【解析】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()
ln ()ln f x f x x xf x g x xf x x
x
+''=
+'=
，
已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ?<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数 已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0， 故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,
由()()2
40x f x ->得224040
()0()0x x f x f x ??->-
或，解得x<-2或0 故选D. 12．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数()cos(2)f x x ?=+(π ||2 ?< )， ()()()2 F x f x f x '=+ 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ） ①tan ?= ②()f x 在π0,2?? ???有且仅有一个极大值点； ③()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为 π6 ； ④()F x 在π3π,44?? ???上单调递增； A ．①② B ．①③④ C ．③④ D ．②③④ 【答案】C 【解析】因为()cos(2)f x x ?=+，所以()2sin(2)f x x ?'=-+， 所以π()()()cos(2))2cos 223F x f x f x x x x ???? ?'=+ =+-+=++ ?? ? 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即πcos 03?? ?+= ?? ?，所以32 k ππ?π+=+，k Z ∈，因为π||2?<，所以π 6 ?= ， 对于①，tan tan 6 3 π ?== ，故①错误； 对于②，因为π()2sin 26f x x ??'=-+ ?? ?，当5π0,12x ??∈ ???时，()0f x '<，当5ππ,122x ??∈ ??? 时，()0f x '>，∴()f x 在π0,2?? ??? 上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误； 对于③，令()cos 206f x x π?? =+= ?? ?，得ππ 26 k x =+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为 π 6 ，故③正确； 对于④，()2cos 22sin263F x x x ππ??=++=- ???，当3,44x ππ??∈ ???时，2,232x ππ??∈ ??? ，则()F x 在π3π,44?? ? ??上单调递增，故④正确； 故选：C. 13．（2020·贵州南明贵阳一中高三其他（理））若a ，b 是函数()2 74ln f x x x x =-+的两个极值点，则 ()()f a f b +的值为（） A ．65 4ln 24 - B ． 65 4ln 24 - C ．4ln2 D ． 654 【答案】A 【解析】4 ()27f x x x '=-+ ，因为a ，b 是函数()f x 的两个极值点，则a ，b 是()0f x '=的两根， 令()0f x '=得22740x x -+=， 则7 2 a b += ，2ab =， 2()()7f a f b a a +=-+24ln a b +-74ln b b + 2()27()4ln()a b ab a b ab =+--++ 654ln 24 =- ， 故选A ． 四、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 14．（2020·山东师范大学附中高三其他）己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则 11 a b +的最小值是_______________. 【答案】4 【解析】对()ln y x b =+求导得1 y x b ' = +， 因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)， 所以 01 1x b =+即01x b =-， 所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=， 所以 ( )1111224b a a b a b a b a b ??+=++=++≥+?= ??， 当且仅当1 2 b a == 时，等号成立. 所以 11 a b +的最小值是4. 故答案为：4. 15．（2020·四川青羊树德中学高三二模（理））已知函数2 ()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()() n n f x f x +'=()* n ∈N ，若()2()x n n n n f x e a x b x c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ?? ??-?? 的前n 项和为n S ，则[]20003S =_________ 【答案】5 【解析】由题意，函数2 ()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=() *n ∈N ， 可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，2 21()()(67)x f x f x e x x '==++ 232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021), x f x f x e x x '==+ + 又由()2 ()x n n n n f x e a x b x c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =， 数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，所以22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8, ,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=， 所以2121321(1)(42) ()()()412 n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+ =++， 所以22 2211 22(1)(22)n n n a c b n n n n ?==-++-+， 又由 2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n >=-<=-≥++--， 所以111131123121 n n S n n >+ -++ -=-++， 且111 11111 1(1)()2,(2)2 23 34 1n n n n n S <+-+-+ -++ -=-≥-， 所以数列22n n n a c b ??? ?-?? 的前n 项和为n S ，满足2,(211 1)32n n S n n <-<≥-+， 所以200011 3(13()3)20012000 2S - <<-， 即 200096233320012000 S <--<， 又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，所以[]200035S =. 故答案为：5. 16．（2020·五华云南师大附中高三月考（理））设三次函数32 11()32 f x ax bx cx = ++，（a ,b ,c 为实数且0a ≠）的导数为()f x ' ，记()() g x f x '' =，若对任意x ∈R ，不等式()()f x g x ' 恒成立，则2 22 b a c +的最大值为 ____________ 【答案】2 【解析】因为32 11()32 f x ax bx cx = ++，所以2(),()2f x ax bx c f x ax b '''=++=+，即()2g x ax b =+. 因为对任意x ∈R ，不等式()()f x g x ' 恒成立，所以22ax bx c ax b +++恒成立，即 2(2)0ax b a x c b +-+-恒成立，所以2(2)4()0b a a c b ?=---且0a >，即2244b ac a -，所以2 440ac a -，所以0c a >，所以1c a ，令c t a =，则1t .①当1t =时，2 22 ,0,0b a c b a c ===+；②当1t >时， 2 2 2 22 22 2244 444( 1)4(1)4222 21( 1)2(1)2222 (1)21 (1)c b ac a t t a a c a c t t t c t t a ----====-+++-+-++?? -+++ ?-?? 当且仅当1t =时，取得最大值为2. 故答案为2 17．（2020·江苏南通高三其他）已知直线l 与曲线2 44x y e =-（e 为自然对数的底数）和曲线ln y x =都相切， 则直线l 的斜率为______． 【答案】 2 1e 【解析】对2 44x y e =-求导得42x y e '=-，对ln y x =求导得1y x '=， 设直线l 与两曲线的切点分别为2114,4x A x e ?? - ?? ?，()22,ln B x x ， 则切线l 的方程可表示为()22 1111144442424=---=-+x x x x y x x x e e e e ； 切线l 的方程也可表示为()22222 11 ln ln 1y x x x x x x x = -+=+-， 所以1 42 2124 12ln 1 4x e x x x e ?-=????=-??， 消去2x 整理得241412ln 14??=-- ??? x e e x 即()2 114ln ln 234x x e +-=+， 令()()()2 4ln 04x f x x x e =+-<， 易知函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()()4 2 2442ln 2ln 234e f e e e -=+=+， 所以()2114ln ln 234x x e +-=+的解为2 12=-x e ， 所以直线l 的斜率24221 2l e k e e -=-=． 故答案为： 21 e . 导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即 000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数 二．导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式 2. 导数的运算法则 3. 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 导数概念及意义 1．已知函数()y f x =的图象在点()() 1,1f 处的切线方程210x y -+=，则()()121f f +'的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2 2．设函数在x ＝1处存在导数，则＝( ) A. B. 3f ′(1) C. ′(1) D. f ′(3) 3．设函数()2 f x x x =+，则=（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 4．设 是可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 5．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．设函数()f x 可导，则 ） A. ()1f ' B. C. D. ()31f -' 7．函数()x f x xe =在点()() 0,0A f 处的切线斜率为（ ） A. 0 B. D. e 8在点()1,4P 处的切线与直线l 平行且距离为，则直线l 的方程为( ) A. 490x y -+= B. 490x y -+=或4250x y -+= C. 490x y ++=或4250x y +-= D. 以上均不对 9．设()1 f x x =，则()()lim f x f a x a x a -→-等于（ ） A. 1a - B. 2a C. 21a - D. 21a ()() 011lim 3x f x f x ?→+?-? 10．已知()y f x =的图象如图所示，则()'A f x 与()'B f x 的大小关系是( ) A. ()()''A B f x f x > B. ()()''A B f x f x = C. ()()''A B f x f x < D. ()'A f x 与()'B f x 大小不能确定 11．若曲线()y h x =在点()() ,P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么( ) A. ()'0h a = B. ()'0h a < C. ()'0h a > D. ()'h a 不确定 12( ) A. 30? B. 45? C. 135? D. 60? 13．如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =4处的切线，则f ′(4)=( ) A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．已知函数()3 1f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 2 15．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 16．设曲线2 y x =在其上一点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 17．设函数()y f x =的0x x =处可导，则()0f x '等 于__________． 导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2B．4+2Δx C．4Δx+Δx2D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（）A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导． 导数的运算(二) 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 高中数学 导数及其应用复习学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ） B ． C ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间； 3.1.3导数的几何意义 教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程： 情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则 展示目标：见学案 检查预习：见学案 合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化 趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么? 新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数 就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练： 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。 例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1) 导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】 第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。 高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 导数的几何意义教案(后附教学反思) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 导数的几何意义教案（后附教学反思） 永嘉中学 数学组 周瑛 08.4.13 【教学目标】 知识与技能目标： （1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的 图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。 【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程】 （一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写： 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意 高中数学学案 导数及其应用 第1讲导数的概念及计算 考点导数的概念及其几何意义 知识点 1 导数的有关概念 (1)导数：如果当Δx→0时，Δy Δx有极限，就说函数 y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫 做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x ，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx. (2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′. 注意点 如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续. 2 导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3 几种常见函数的导数 原函数导数 y＝C(C为常数)y′＝0 y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1 y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝e x y′＝e x y＝ln x y′＝1 x y＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_a y ＝log a x (a >0，且a ≠1) y ′＝ 1 x ln a 4 导数的四则运算法则 若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③?? ?? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0， y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点. 入门测 1．思维辨析 (1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1 x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 2 2 D ．ln 2 (2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 (1)B (2)B 解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1. 根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =，得12 a =，所以1 2()f x x ==() f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为2 2 (2)y e e x -=-，即2 2 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2 导数的几何意义教学设计（教案） 一、【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的 图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。 【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】 （一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写： 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意 义奠定基础） 师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可 导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ） 导数的概念 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3.x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0 0000/)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=?-?+=→→?。 导数几何意义的应用 1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( )A．0B．－3x C．3D．－3 2．已知曲线y ＝－12 x 2－2上一点 P 处的切线的倾斜角为( )A．30° B．45°C．135°D．165°3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是() A．(0,0) B．(2,4) 4．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A ) 8.若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（） A．1a =，1 b =B．1a =-，1b =C．1a =，1b =-D．1a =-，1 b =-9.曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（） A．2y x ππ=-+B．2y x ππ=+C．2 y x ππ=--D．2y x ππ=-10.若曲线上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是. 11.（广东高考理科）曲线y=e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为. 12.(全国Ⅰ卷）已知1)(3++=x ax x f 的图像在点） ，（)1(1f 处的切线过点（2，7），则a=. 13.(江西高考理科·T13)若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是. 14.曲线12+=-x e y 在点（0，2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形面积为 15.（广东高考理科·Ｔ10）若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k=. 16.（江西高考文科）若曲线y x 1α=+（α∈R ）在点（1，2）处的切 线经过坐标原点，则α= 17.曲线)1ln 3(+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为 .18.曲线x e y =在点（0，1）处的切线与曲线x y 1= （0>x ）上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为x x y ln ?= 导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。 注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近 于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是 曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点 都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应 着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分： 求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/=x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2?k x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/= x a x x C x a x C x a x C a x n n n n n n n n n x ?--?++?-+?-+---→?)()()()()()(lim 222110 =高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
高中数学导数概念的引入
导数概念及意义
导数概念及其几何意义
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
高中数学-导数的几何意义及应用
3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)
导数的几何意义的教学设计
高中数学-导数的概念及运算练习
(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结
高中数学导数知识点归纳
导数的几何意义教学导案后附教学反思
高中数学学案-导数的概念及计算
导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)
导数的几何意义教学设计(教案)-函数的导数的几何意义教学设计
高中数学导数及其应用
高中数学选修2-2导数的概念
导数几何意义的应用
高中数学知识点总结-导数的定义及几何意义