高等数学重要公式

《高等数学》（专科升本科）复习资料

一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材

高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社

二、复习内容及方法：

第一部分 函数、极限、连续

复习内容

函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求

会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论

1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇

函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数；

2. 单调有界数列必有极限；

3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定

收敛；

4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于

零；

5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷

大量的乘积则有多种可能

6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；

7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式

1. 若,)(lim ,)(lim 0

0B x g A x f x x x x ==→→则 AB x g x f x g x f x x x x x x =?=?→→→)(lim )(lim )]()([lim 0

00； B

A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00。)0(≠B 2. 两个重要极限公式

1）1sin lim 0=→x x ；2） e x x

x =??? ??+∞→11lim ，()e x x x =+→101lim 。

3. 在求极限的运算中注意使用等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当

0→x 时，

x e x x x x x x x x x ~1,2

~c o s 1,~t a n ,~s i n ,~)1l n (2

--+。

第二部分 一元函数微积分

复习内容

导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。

复习要求

理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即

000000)()(2)()()()()(x x x f x f x x x f x x f x x f x x f x y x f --=??--?+=?-?+=??='；掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：

1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，

2.如果在“0/0”型或“∞∞/”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以达到简化运算的目的，

3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数)(x f y =的定义域，2.求出)(x f '，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧导数的符号，

4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，

5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线)(x f y =的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶导数，并求出其二阶导数等于零的点，2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果)(x f ''在0x 的两侧异号，则（)(,00x f x ）为曲线)(x f y =的拐点，4.在0)(>''x f 的x 的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在0)(<''x f 的x 的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即C x f x =∞

→)(lim ，则C y =为曲线)(x f y =的水平渐近线，若∞=→)(lim 0

x f x x ，则称0x x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线；

重要结论

1. 如果函数)(x f y =在点0x 的导数)(0x f '存在，则在几何上表明曲线)(x f y =在点

（)(,00x f x ）处存在切线，且切线的斜率为)(0x f '，且切线方程为

))(()(000x x x f x f y -'=-，

当0)(0≠'x f 时，法线方程为

)()

(1)(000x x x f x f y -'-=-， 2. 若函数在点0x 处可导，那么函数)(x f 在点0x 处必定连续，反之不一定；

3. 函数)(x f y =在点x 可微的充分必要条件是)(x f y =在点x 处可导，且有

dx y dx x f dy '='=)(；

4. 罗尔定理：若函数)(x f y =满足以下条件：

1）在闭区间],[b a 上连续，2）在开区间),(b a 内可导，3）)()(b f a f =，

则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf ；

5. 拉格郎日中值定理：若函数)(x f y =满足以下条件：

1）在闭区间],[b a 上连续，2）在开区间),(b a 内可导，

则在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得

))(()()(a b f a f b f -'=-ξ。

重要公式

1. 设)(x u u =与)(x v v =在点x 可导，则

v u v u uv '+'=')(， )0(2≠'-'='??

? ??v v v u v u v u 2. 设复合函数))((x g f y =，若)(x g u =点x 处可导，)(u f y =在相应的点可导，则复

合函数))((x g f y =在点x 处可导，且有链式法则

)()(x g u f dx

du du dy dx dy '?'=?=

3. 设)(x f y =是由?

??==)()(t y t x ψ?所确定，其中)(),(t t ψ?都为可导函数，且0)(≠'t ?，则 )

()(t t dt

dx dt dy

dx dy ?ψ''==， 4. 在求导数时，有时要注意对数求导法的应用

5. 洛必达公式：当)(),(x F x f 满足一定条件时，有

)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→，)

()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→ 同时应注意可转化为“0/0”型或“∞∞/”型的极限

第三部分 一元函数积分学

复习内容

不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。

复习要求

理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设)(u f 具有原函数)(),(x u u F ?=存在连续导函数，则有换元公式

.))(()()()()]([)(C x F C u F du u f dx x x f x u +=+=='=??????

了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义；熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式；熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。

重要结论

1. 若)(x F 为)(x f 在某区间上的一个原函数，则C x F +)(为)(x f 的所有原函

数，称为)(x f 的不定积分，记为

?dx x f )(； 2. 定积分表示一个数值，它只取决于函数)(x f 与积分区间，与积分变量无关，

即dt t f dx x f b

a b

a ??=)()(；

3.

如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则定积分dx x f b a ?)(必定存在； 4.

以b x a x x f y ===,),(及OX 轴所围成的曲边梯形的面积等于dx x f b a ?)(； 5. 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得

))(()(a b f dx x f b a -=?

ξ； 6. 如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数dt t f x x

a ?=Φ)()(在区间

),(b a 内可导，且

)(])([)(x f dt t f x x

a ='=Φ'?； 7. 若)(x f 是区间],[a a -上的连续函数)0(>a ，则

?????=??-为偶函数，为奇函数)()(2)(,0)(0

x f dx x f x f dx x f a a

a 。

重要公式

1. 先积分后求导，作用抵消，即

),())((x f dx x f ='?

先求导后积分，相差一个常数，即

C x f dx x f +=

'?)()(

2. 分部积分公式： ??'-='vdx u uv dx v u

3. 牛顿-莱布尼茨公式：1）如果)(x f 在区间],[b a 上连续，2）)(x F 为)(x f 在)

,(b a 内的一个原函数，则

)()()()(a F b F x F dx x f b

a b

a -==?。 4. 定积分的换元公式：设)(x f 在区间],[

b a 上连续，函数)(t x ?=满足以下条件：

1）;)(,)(b a ==β?α?

2）)(t ?在],[βα上为单值、有连续导数的函数，则有

dt t t f dx x f b a )())(()(??β

α'=??

。